Задачи М861—М865; Ф873—Ф877

42

Задчи

М861—М865; Ф873—Ф877

М861. Докажите, что из любых $n$ чисел можно выбрать несколько (быть может, одно) так, что сумма выбранных чисел отличается от ближайшего к ней целого числа не более, чем на $1/(n+1)$.

С. Ю. Оревков

М862. а) Внутри данного правильного треугольника указывает множество всех точек $M$ таких, что расстояние от $M$ до его сторона сами служат длинами сторона неокторого треугольника.

6. Внутри данного правильного треугольника множество всех точек $M$ таких, что расстояние от $M$ до граней треугольника служат длинами сторона неокторого четырехугольника.

З. А. Ясиновый

М863. В каждой клетке доски $n \times n$ стоит по фишеке. Можно ли переставить их так, чтобы любые две фишки, угрожавшие друг другуходом коня, после перестановки стали угрожать друг другуходом короля, если $n=3$, $6$ $n=6$, в) $n=4$?

С. Стефанов

М864. Наозем «красивым» разбение треугольника на подобные ему треугольники,никакие два из которых не равны по размерам.

a) Докажите, что для всякого прямого треугольника существует красное разбение.

6. • Можно ли устроить красное разбение равностороннего треугольника?

в) Для каких неравносторонних треугольников существует красное разбение?

А. В. Савкин

М865. Обозначим через $[a, b]$ наименьшее общее кратное целых чисел $a$ и $b$. Докажите, что для любых $n+1$ чисел $a_0 < a_1 < ... < a_n$ выполено неравенство

$$\frac{1}{[a_0, a_1]} + \frac{1}{[a_1, a_2]} + ... + \frac{1}{[a_{n-1}, a_n]} \leq 1 - \frac{1}{2^n},$$

если $n=2$; $6$ $n=3$; в) $* n$ — любое натуральное число.

Б. М. Ивлев

Ф873. Выпел на мачте корабля образует угол $60^\circ$ с курсом корабля при его скорости 20 км/ч. Не меняя курса, корабль уvelичил скорость в 2 раза, и угол стал равным $30^\circ$. Найти по этим данным скорость

43

ветра (считая ее неизменной). При какой скорости корабля угол станет равным 90°?

В. Е. Скороваров

Ф874. Автомобиль движется вдоль прямой $OO'$ (рис. 1) и в точке $A$ начинает поворачивать, не снижая скорости. В точке $B$ автоматically сбил приодоожный столбик. Оцените скорость, с которой мог ехать автоматically. Считайте сцепление шин с асфальтом хорошим. Руль автоматically управляет его передними колесами.

А. Р. Зильберман

Ф875. По горизонтальном параллельном рельсам, расстояние между которых равно $d$, может скольать без трения перемычка, масса которой равна $m$ (рис. 2). Рельсы соединены резистором с сопротивлением $R$ и помещены в вертикальное магнитное поле, индукция которого $B$. Перемычке сообщают скорость $v_0$. Найти путь, пройденный перемычкой до остановки. Как зависит от направления вектора $B$? от направления скорости?

А. Н. Буздин

Ф876. Два спутника движутся по одной орбите на небольшем (по сравнению с радиусом $R_0$ Земли) расстоянии друг от друга. Расстояние это при движении перiodических меняется от $l_1$ до $l_2$. Определените минимальное и максимальное удаления спутников от центра Земли, если период обращения спутников равен $T$.

В. Е. Скороваров

Ф877. При каких положениях точного источника относительно тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F=1$ м можно хотя бы из одной точки видеть одновременно и изобравнение, и источник?

А. Р. Зильберман

Problems

M861—M865; P873—P877

M861. Prove that it is always possible to choose some numbers (possibly only one) from any given $n$ numbers so that the sum of the chosen numbers differs from the nearest integer by no more than $1/(n+1)$.

S.￥u. Orevkov

M862. a) Inside a given equilateral triangle indicate the set of all points $M$ such that the distances from $M$ to the triangle’s sides are the lengths of the sides of some triangle

b) Inside a given regular tetrahedron indicate the set of all points $M$ such that the distances from $M$ to the tetrahedron’s faces are the lengths of the sides of some quadrilateral.

E. А. Yasinovi

M863. A different pawn is placed in each case of an $n \times n$ chess board. Is it possible to rearrange them