Инверсия

26

Инверсия
Кандидат физико-математических наук
В. М. УРОЕВ

В этой статье мы рассакjem об одном замечательном геометрическом преобразовании плоскости. Это преобразование — инверсия — позволяет решать задачи, даже подступиться к которым на первый взгляд очень трудно.

§ 1. Что такое инверсия

Предположим, на плоскости α задана окружность C радиуса R с центром O. Инверсей плоскости α относительно этой окружности называется отображение, при котором каждой точке A плоскости α, за исключением точки O, ставится в соответствие лежащая на луче (OA) точка A’ такая, что

$$|OA'| = \frac{R^2}{|OA|}.$$ (1)

Из этого определения видно, что при инверсии точки A и A’ меняются местами, отображаясь друг в друга. Центр О окружности C, называемый центром инверсии, не имеет образа, и никакая точка при инверсии в него не попадает (рис. 1). Внутренность круга, ограниченного окружностью C, инверсия переводит во внешнюю область, поскольку из неравенства |OA| < R следует, что |OA’| > R, и наоборот, внешняя область отображается во внутреннюю.

Точки окружности C при инверсии остаются на месте, а из того, что внутренность круга переходит во внешность, вытекает, что других неподвижных точек нет.

На этих рисунках, выполненых учащимся ФМШ при МГУ, показано, как инверсия преобразует цветные картины. На первом рисунке окружность инверсии охватывает букву A, на втором эта окружность — край солнца.

27

Иногда инверсию называют симметрией относительно окружности (по аналогии с симметрией относительно окружности. Как и освая симметрия, инверсия относительно окружности $C$ обладает интересным свойством: ее повторное выполнение возвращает точки в исходное положение. Отметим еще, что если точку $A$ выбирать все ближе и близке к $O$, то $|OA'|$ будет неограниченно возрастать. Инверсия как бы «выворочивает» внутренность круга на его внешность и, соответственно, внешность круга выворочивается» на его внутренность.

Это наблюдается на мысль добавить к плоскости не принадлежуюей «бесконечного удалению точку» $\infty$ и считать, что при инверсии центр $O$ переходит в $\infty$, а $\infty$ — в точку $O$.

§ 2. Свойства инверсии

Постотрим, как преобразуется при инверсии прямые и окружности плоскости $a$. Непосредственно из определения следует, что прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя. При этом центр $O$ и $\infty$ меняются местами. Примая как бы «проворачивается по плоскости»: часть ее, находящаяся вне окружности вместе с «бесконечностью», переходит в диаметр окружности, а диаметр переходит в два луца, причем точка $O$ переходит в $\infty$, как бы «соединяющего» эти лучи.

А что произойдет с прямой, не проходящей через центр $O$?

Пусть $l$ — прямая, и $D$ — основание перпендикулара, опущенного из центра $O$ на $l$, точка $D'$ — образ точки $D$ при инверсии, относительно окружности $C$ (рис. 2)*. Пусть $A$ — произвольная точка на прямой $l$, а точка $D'$ — ее образ при инверсии. Из $|OA'| \times |OA| = |OD'| \cdot |OD| = R^2$ следует, что $\frac{|OA'|}{|OD|} = \frac{|OD'|}{|OA|}$. Поэтому треугольник $A'OD'$ и $AOD$ подобны, поскольку угол $AOD$ у них общий, а стороны, между которых заключит этот угол, пропорциональны. Это означает, что $OA'D' = ODA = 90^\circ$, так что точка $A'$

*) На рисунке 2 окружности $C$ нет. Но это и не нужно: наши рассудения, связанные с подобным, никак не зависит от чертежа.

Легит на окружности, построенной на $[OD']$ как на диаметре.

Итак, прямая, не проходящая через центр инверсии $O$, переходит в окружность, проходящую через точки $O$. Верно и обратное утверждение: всякая окружность, проходящая через центр инверсии $O$, переходит в прямую, не проходящую через точки $O$.

Упражнение 1. Докажите это утверждение.

Теперь выясним, что произходит с окружностями, не проходящими через центр инверсии. Пусть сначала точка $O$ лежит вне данной окружности $S$ с центром $Q$.

Проведем луч $OQ$ и рассмотрим диаметр $ED$ (см. рис. 3)*. Пусть $D'$ и $E'$ — точки, симметричные точки $D$ и $E$ относительно $C$, а $A'$ — образ произвольной точки $A$ окружности $S$.

Упражнение 2. Докажите, что $\triangle OA'D' \sim \triangle OAD$, а $\triangle OA'E' \sim \triangle OAE$.

Отсюда следует, что $D'A'E' = OEA - ODA = EAD = 90^\circ$. Итак, отрезок $D'E'$ виден из каждой точки $A'$ под прямым углом, а это и значит, что образом окружности $S$ является окружность $S'$, построенная на $D'E'$ как на диаметре.

Упражнение 3. Докажите, что утверждение остается в силу, если центр инверсии лежит внутри окружности $S$.

Для доказательства достагоно аккуратно построить чертеж и proveсти почти дословно рассудения из упражнения 2.

Объединия результаты упражнения 2 и 3, мы видим, что образом всякой

*) На рисунке 3 смачокность инверсии не изображена.

29

Задание 1. Если при инверсии относительно некоторой окружности $C$ точки $A$ и $B$ окружности $T$ переходят друг в друга, то окружность $T$ переходит в себя (см. рис. 5).

Решение. Центр инверсии $O$ должен лежать на прямой $AB$, которая переходит в себя, причем $OA \cdot OB = R^2$, где $R$ — радиус окружности $C$. Проведем касательную $OD$ к окружности $T$. По доказанному теореме $|OA| \cdot |OB| = |OD|^2$. Значит, $|OD| = R$. Проведем теперь произвольную секущую $OK$ к окружности $T$. По теореме о квадрате касательной $|OK| \cdot |OL| = |OD|^2 = R^2$, и, значит, точки $K$ и $L$ переходят друг в друга, а поэтому окружность $T$ переходит в себя.

Задание 2. Пусть $A'$ и $B'$ точки, симметричные точки $A$ и $B$ относительно окружности радиуса $R$ с центром $O$. Доказите, что $|A'B'| = \frac{R^2 \cdot |AB|}{|OA| \cdot |OB|}$.

Указание. Воспользовитесь подобным треугольников $OAB$ и $OA'B'$.

Задание 3. Прямы $MA$ и $MB$ касаются окружности $C$ в точках $A$ и $B$, точка $D$ — середина хорды $AB$. Доказите, что точки $D$ и $M$ симметричные относительно окружности $C$ (рис. 6).

Доказательство. $\triangle OAD \sim \triangle OAM$. Поэтому $\frac{|OA|}{|OM|} = \frac{|OD|}{|OA|}$. Отсюда сразу следует, что $|OA|^2 = R^2 = |OM| \cdot |OD|$.

Задание 4 (теорема Полемея). Доказите, что в любом вписанном четырехугольнике $ABCD$ произведение длины диагоналей равно сумме произведений длины противоположных сторон (рис. 7):

$$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|.$$

Доказательство. Выполним инверсию с центром в вершине $A$. Тогда описанная окружность $T$ перейдет в прямую $T'$, вершины $B, C, D$ — соответственно в точки $B', C', D'$ на прямой $T'$. Обозначим $R$ — радиус описанной окружности. Обращаясь к задаче 2, получаем

$$|C'B'| = \frac{R^2 \cdot |BC|}{|AB| \cdot |AC|},$$

$$|B'D'| = \frac{|BD| \cdot R^2}{|AD| \cdot |AB|},$$

$$|C'D'| = \frac{R^2 \cdot |CD|}{|AC| \cdot |AD|}$$

Отсюда видно, что утверждение теоремы Полемея выражает следующий факт: $|B'D'| = |B'C'| + |C'D'|$. Действительно, подставляя в это равенство найденные значения $|C'B'|, |B'D'|, |C'D'|$ и приводя к общему знаменателю, приходим к искому соответствию.

Задание 5. На окружности $C$ даны две точки $A$ и $B$. Расматривают всевозможные пары окружностей, лежащие внутри $C$, одна из которых касается окружности $C$ в точке $A$, другая — в точке $B$ и касающей друг друга, (рис. 8). Найдите множество $X$ всех точки, в которых касаться друг друга две окружности такой пары.

Решение. Пусть $T_1$ и $T_2$ касающиеся окружности $D$ — их точки касания (см. рис. 8). Выполним инверсию с центром в точке $A$ относительно произвольной окружности. Тогда окружности $C$ и $T_1$ перейдет в парал-

30

лельные прямые $C'$ и $T'_1$. Окружность $T_2$ перейдет в окружность $T'_2$, касаощуся прямой $T'_1$ в образце $D'$ точки $D$, а прямой $C'$ — в образце $B'$ точки $B$ (рис. 9). Очевидно, точка $D'$ лежит на перпендикуляре $m'$, восставленном к $C'$ в точке $B$. При другом выборе пары $T_1, T_2$ получится другая прямая $T'_1$, паралельная $C'$, но точка $D'$ будет по-прежнему лежать на перпендикуляре $m'$. Следовательно, искомое множество точек инверсия отображает на луч $m'$.

Очевидно, каждая точка луча $m'$ может быть точкой касания неокторой прямой $T'_1$, паралельной $C'$, и окружности $T'_2$, касаощейся $C'$ в точке $B$. Следовательно, любая точка $(m')$ является образом неокторой точки $D$ множество $X$. При повторном выполнении инверсии, сделанной вначале, все точки вернутся на прежнее место, поэтому луч $m'$ перейдет в множество $X$ точек касания. Следовательно, искомым множество является лежащая внутренри $C$ дуга окружности, пересекающей $C$ в точках $A$ и $B$ под прямым углом.

Задача 6 (теорема Эйлера). Пусть $r$ и $R$ — радиусы вписанной $T_1$ и описанной $T_2$ окружностей треугольника $ABC$, а $d$ — расстояние между центрами этих окружностей. Доказите, что $\frac{1}{R+d} + \frac{1}{R-d} = \frac{1}{r}$, то есть $d^2 = R^2 - 2Rr$.

Указание. Обозначим $M, N, K$ — точки касания вписанной окружности со стороны треугольника $ABC$ (рис. 10). Сделаем инверсию относительно вписанной окружности $T_1$. Тогда вершины $A, B, C$ треугольника отображается на середины $P, Q, R$ сторона треугольника $MNK$ (см. задачу 3), поэтому описанная окружность $T_2$ перейдет в окружность $T_3$, описную около треугольника $PQR$. Сама окружность $T_1$, описанная около треугольника $MNK$, останется на месте. треугольники $PQR$ и $MNK$ подбны с коэффициентом 1/2, поэтому радиус окружности $T_3$ равен 1/2r. Проведем диаметр $GF$ окружности $T_2$, проходящий через центр $O_1$ вписанной окружности $T_1$. При инверсии относительно $T_1$ точки $G, F$ перейдет в точки $G'$ и $F'$, лежащие на концах диаметра окружности $T_3$, проходящего через точку $O_1$. Следовательно, выполняется соответствие $|O_1G'| + |O_1F'| = 2 \cdot r/2$, откуда $\frac{r^2}{|O_1G|} =$

Упражнения

9. Четыре окружности касаются друг друга внешним образом, как показано на рисунке 11. Доказите, что четыре касания $A, B, C, D$ лежат на одной окружности.

10. На отрезке $AB$ отмещена точка $M$ и на отрезках $AB$ и $AM$ как на диаметрах построены полукругности $C_1$ и $C_2$. Okружность $C_3$ касается полукругности $C_1$, $C_2$ и перпендикура $m$, восставленного к $(AB)$ в точке $M$ (рис. 12). Доказите, что общая касательная к окружности $C_2$ и $C_3$ проходит через точку $B$.

11. На отрезке $AB$ отмещена точка $M$ и на отрезках $AB, AM$ и $MB$ как на диаметрах построены полукругности $C_1$, $C_2$ и $C_3$ соответственно. Пусть точка $O$ — центр окружности $T$, касаощейся полукругности $C_1, C_2, C_3$ (рис. 13). Найдите расстояние от точки $O$ до прямой $AB$, если радиус окружности $T$ равен $r$.

31

§ 4. Задачи на построение

ИНверсия с большим успехом может применяться при решении задач на построение.

В основе решения всех задач лежит способ построения точки $A'$, симметричной данной точки $A$ относительно окружности $C$ (см. рис. 14). Способ этот заключится в следующем (для точки $A$, лежащей вне окружности $C$). Проводим касательную $AM$ и из точки $M$ опускаем перпендикуляр на $OA$. Основание перпендикура — искомая точка $A'$ (см. задачу 3 из § 3).

Упражнение 12. Придумайте построение точки $A'$, если $A$ лежит внутри окружности $C$.

Зная, как строить образы точки, мы без труда можем построить образы прямых и окружностей. Например, если требуется построить образ прямой $l$, не проходящей через точку $O$, достаточно опустить из точки $O$ перпендикуляр $OD$ на прямую $l$, построить точку $D'$ и описать окружность на $OD'$ как на диаметре.

Упражнение 13. А как построить образ окружности, не проходящей через точку $O$? Вспомните, что об этом написано в § 2.

Приведем теперь пример задачи на построение, решаемой с помощью инверсии.

Задача 7. Построите окружность, касающейся данной прямой $l$ и проходящую через данные точки $A$ и $B$. Сколько решений имеет эта задача?

Решение. Предположим, что искомая окружность $T$ построена. Сделаем произвольную инверсию с центром в точке $A$. Прямая $l$ перейдет при этом в некоторую окружность $l'$, точка $B$ — в точку $B'$, а окружность $T$ — в прямую $T'$, касающейся окружности $l'$ (см. рис. 15).

Отсюда сразу вытекает способ построения: выполняем инверсию с центром в точке $A$, из точки $B'$ проводим касательные к окружности $l'$, выполняем еще одну инверсию с центром в точке $A$, получаем требуемое. Всего будет, вообще говоря, два решения. (А одно решение может получить?)

Упражнения

14. Построите окружность, проходящую через данные две точки $A$ и $B$ и касающейся данной окружности $L$. Сколько решений имеет эта задача?

15. Построите окружность, касающейся данной окружности $S$ в точке $A$ и $a$) данной прямой $l$; б) данной окружности $T$.

16 (задочка Аполлоня). Построите окружность, касающейся трех данных окружностей. Об этой знамененной задаче см. статью А. П. Савина «Инверсия и задочка Аполлоня» («Квант», 1971, № 8, с. 23).

17. Проведите две окружности равных диаметров, которые касались бы друг друга в данной точке $D$ и проходили соответствующее данные точки $A$ и $B$.

§ 5. Инверсия и stereografическая проекция

Рассмотрим сферу $Q$, касающейся плоскости $a$ в точке $O$. Пусть точка $N$ диаметрально противоположна точке $S$. Стереografическая проекция сферы $Q$ на плоскость $a$ называется отображением, которое каждой точке $B$ сферы, за исключением точки $N$, сопоставляет точку $A$ плоскости $a$, полученную в результате пересечения прямой $NB$ с плоскостью $a$ (рис. 16). Заметим, что любая точка $A$ плоскости $a$ является образом некоторой точки $B$ сферы при stereografии

32

фической проекции. Точка $B$ — есть пересечение прямой $NA$ со сферой $Q$.

Покажем, как устроены на сфере множество точек, соответствующие некоторым хорsoю известным линям в плоскости $a$. При этом нам удобно будет пользоваться «географический» терминологический, называя сферу $Q$ глобусом, а точки $S$ и $N$ — южным и северным полюсом.

Параллели, то есть окружности, проведенные на сфере «параллельно» плоскости $a$, отображаются на концентрические окружности с центром $S$. «Южный полюс» $S$, принадлежащий одновременно и сфере и плоскости, переходит в себя. «Северный полюс» образа не имеет.

Построим множество точек сферы, отображающейся на прямую линю $l$, лежащую в плоскости $a$. Поскольку через полюс $N$ и прямую $l$ можно проведить единственную плоскость $B$, то все лучи, выходящие из точки $N$ и осуществляющие stereografическая проекцию исходного множества на прямую $l$, лежат в плоскости $B$ (рис. 17). Следовательно, прямая $l$ сопоставляется множеству точек сферы, принадлежащему пересечению сферы $Q$ с плоскостью $B$, т. е. окружности с выброшенной точкой $N$. В частности, «мериданны», проходящие через точки $S$ и $N$, отображаются на лучи, выходящие из точки $S$. Заметим, что если точки $A$ на плоскости $a$ неограниченно удаляется от точки $S$ (например, по прямой), то соответствующая ей точки $B$ сферы приближается к полюсу $N$. Это сообщение дает возможность вновь определить понятие бесконечного удаленной точки плоскости $a$ как мысленный образ полюса $N$ при stereografической проекции.

Оказывается, инверсия плоскости $a$