Непослушные задачи с устного экзамена по математике

36

Непослушные задачи

с устного экзамена по математике

В этой заметке приведится несколько простых задачи, взятых из практики устныхступительных экзаменов по математике. Но пустычитель не смотрит на них свысиока и не сметется над теми, кто их решал с ошибками. На устном экзамене решать не так просто, как дома за столом: воленение, незнакомые экзаменаторы, давления над абитурентом ответственность часто приводит к торопливости, к потере необходимой расудительности, порой к непоправимым ошибкам «наровном месте». Чтобы их избежать, нужно подходить к легком вопросу, заданному на устном экзамене, не менее серезно, чем к трудному. Не бросайте меновению в вычисления — подумав немного заранее, вы сможете избежать подвода или существование упростить ход решения, тем самым поднять себя в главах экзаменатора.

На устных вступительных экзаменах я люблю давать вот такую задачу: Решите уравнение sin x = π/3.

Очень часто абитриент тут же пишет

$$x = (-1)^k \arcsin \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},$$

а в ответ на вопрос: «Так сколько же будет у него решений?» — ответает, — «Бессонечно много». А иногда при этом продолжает предыдущое равенство так:

$$x = (-1)^k \frac{\sqrt{3}}{2} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots,$$

(!)

Сидя за столом, читатель наверное давно сообщил, что π/3 > 1 и поэтому данное уравнение не имеет решений. Важно проявлять подобную сообщительность икладокровие в экзаменационной обстановке. Надеюсь, что вам в этом помогут другие простые задачи (с небольшим подвохом) из мого экзаменационного арсенала. Советую их прорешать самостояльно, затем просмотрить комментарий к ним и только при необходимости заглянуть в конец журнала в раздел «Ответы, указания, решения». Если ошибок будет много, тренируйтесь — в конце статьи для этого помещены дополнительные задачи.

Задачи

1. Решите уравнение sin √x = -1.
2. Решите относительно x неравенство ax + b ≥ 0.
3. Решите систему

$$\begin{cases} |x - y| = x + y, \\ |x + y| = x - y. \end{cases}$$

4. Решите неравенство x sin 3x > 3x.
5. Решите неравенство √4 + 3x - x² > -2.
6. Решите относительно x неравенство

$$\frac{x^2 - 2x + 2^{|x|}}{x^2 - 1} < 0.$$

7. Что больше: log₂ 3 или log₅ 8?
8. Построите график функции

$$y = \lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{1+x^n}, \quad x \in [0; +\infty].$$

9. На отрезке AB, как на диаметре, построен получрусц. Точки C и D делят получрусц на три конгрузные части. Докажите, что площadb фигуры F, ограниченной хордами AC и AD и дуой CD, равна трети площади получрусца.
10. Дан четыреруольник, три уела которого тупые. Докажите, что диагональ нетырегуольника, содержащая вершину его острою ула, больше других его диагонали.
11. Вычислите сумму всех векторов, начало каждого из которых лежит в центре правильно п-уольника, а концы расположены в вершинах этого п-уольника.
12. Существует ли многообразник с 25 ребрами?
13. В основании трехговорной парамды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороны d, длины боковых ребер SA, SB, SC равны a, b, с соответствующим. На боковых ребрах SA, SB и SC соответственно выбраны точки P, Q и R так, что |SP|:|SA| = |SQ|:|SB| = |RC|:|SC| = 1:2. В каком отношении плоскость PQR делает объем парамды SABC?

Комментарий к задачам

1. Многие абитриентны почему-то говорят, что это уравнение решений не имеет, так как функция y = √x отрицательных значений не принимает. Решения же легко находятся.
2. «Ответ» x ≥ b/a — неполный!
3. Многие абитриентны долго рисунот области на плоскости Oxy и ищут их пересечения, при этом часто ошибаются. Воспользуйтесь симметрией системы.
4. Здесь снова облегчает жизнь свойство |sin x| ≤ 1.