Phụ lục về không gian vectơ

5

$$k^2 = -1; \quad ki = -ik = j; \quad jk = -kj = i.$$
Do đó, với giá trị $i, j, k$ (85)

tất cả các điều kiện áp dụng cho đơn vị quaternion đều được đáp ứng (xem «Kvant» Số 2, trang 11). Nếu bây giờ bất kỳ phần tử $z$ nào của $I$ phụ thuộc tuyến tính vào giá trị $i, j, k$, thì $L$ trùng với tập hợp tất cả các quaternion.

Vẫn còn phải xem xét trường hợp khi $L$ chứa phần tử $z$ độc lập tuyến tính với giá trị $i, j, k$. Chúng ta hãy đặt (xem (59))

$$iz = a_1 + z_1; \quad jz = a_2 + z_2; \quad kz = a_3 + z_3.$$ (86)

Chúng ta cũng hãy đặt

$$l = a(z + a_1i + a_2j + a_3k).$$ (87)

Có thể dễ dàng kiểm tra xem đối với giá trị tùy ý của số thực $a \neq 0$ thì giá trị $l$ thuộc về $I$ và không bằng 0. Ta chọn số $a$ sao cho thỏa mãn điều kiện

$$l^2 = -1.$$ (88)

Từ thư từ (80) nó suy ra rằng

$$il = -li; \quad jl = -lj; \quad kl = -lk.$$ (89)

Bây giờ hãy xem xét số lượng $ilj$. chúng tôi có

$$ilj = i(-jl) = -kl; \quad ilj = -lij = -lk = kl.$$ (90)

Vì vậy, chúng ta đi đến kết luận rằng $-kl = kl$, điều này là không thể vì $(kl)^2 = -1$. Như vậy, chúng ta đã đi đến mâu thuẫn - định lý Frobenus đã được chứng minh.

Phụ lục về không gian vectơ

Xét tập $V_3$ của tất cả các vectơ trong không gian ba chiều có gốc tọa độ tại một điểm cố định $O$. Nếu chúng ta giới thiệu một hệ tọa độ $x_0, x_1, x_2$ trong không gian có gốc tọa độ tại điểm $O$, thì bất kỳ vectơ $v \in V_3$ nào cũng được biểu diễn duy nhất dưới dạng

$$v = x_0i_0 + x_1i_1 + x_2i_2,$$ (1)

ede $i_0, i_1, i_2$ là các vectơ duy nhất của trục $Ox_0, Ox_1, Ox_2$ và $x_0, x_1, x_2$ là một số số (được gọi là tọa độ của vectơ $v$). Khi cộng vectơ, tọa độ của chúng được cộng và khi nhân vectơ với một số, tọa độ của nó được nhân với số này, nghĩa là

$$v + v' = (x_0i_0 + x_1i_1 + x_2i_2) + (x'_0i_0 + x'_1i_1 + x'_2i_2) =$$

$$= (x_0 + x'_0)i_0 + (x_1 + x'_1)i_1 + (x_2 + x'_2)i_2;$$ (2)

$$av = a(x_0i_0 + x_1i_1 + x_2i_2) =$$

$$= (ax_0)i_0 + (ax_1)i_1 + (ax_2)i_2.$$ (3)

Sau khi giới thiệu tọa độ, chúng ta có thể giả sử rằng các vectơ trong không gian không gian là bộ ba số $(x_0, x_1, x_2)$ và quên đi nguồn gốc hình học của chúng. Với điều đó

có cách tiếp cận nghiên cứu thuần túy đại số và dựa trên công thức (1) - (3).

Phương pháp đại số giúp dễ dàng xác định không gian vectơ có số thay đổi lớn hơn ba. Cụ thể, với bất kỳ $n \geq 1$ nào, không gian vectơ n chiều (số học) là tập hợp các tập hợp $v = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ của $n$ số thực trong đó các phép cộng được thực hiện:

$$u + v = (x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) =$$

$$= (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n) = w$$ (4)

và nhân với số $a \in R$:

$$au = a(x_1, x_2, \dots, x_n) =$$

$$= (ax_1, ax_2, \dots, ax_n).$$ (5)

Trong trường hợp này, các tập hợp $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ được gọi là vectơ $n$ chiều. Chúng có thể được viết ở dạng $(x_1i_1 + x_2i_2 + \dots + x_ni_n)$ hoặc ở dạng $x_0 + x_1i_1 + \dots + x_{n-1}i_n$, như đã được thực hiện trong bài viết của L. S. Pontryagin (xem trang 2).

Khái niệm chính khi nghiên cứu không gian vectơ $n$ chiều là sự phụ thuộc tuyến tính: một tập hợp vectơ $v_1, v_2, \dots, v_k$ được cho là phụ thuộc tuyến tính nếu có các số $a_1, a_2, \dots, a_k$, không phải tất cả đều bằng 0, sao cho

$$a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_kv_k = 0.$$

Có thể chứng minh rằng bất kỳ tập hợp nào nhiều hơn $n$ các mảnh vectơ trong $n$-không gian chiều phụ thuộc tuyến tính; Ngoài ra, trong không gian này bạn có thể chỉ định một bộ $n$ các mảnh vectơ độc lập tuyến tính (một tập hợp như vậy tùy thuộc vào cơ sở), ví dụ như một tập hợp $i_1 = (1, 0, 0, \dots, 0), i_2 = (0, 1, 0, \dots, 0), \dots, i_n = (0, 0, \dots, 0, 1).$

Bài tập

1. Chứng minh khẳng định về $V_3$ in nghiêng ở đầu Phụ lục này.
2. Chứng minh rằng hai vectơ trong không gian phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng nằm trên cùng một đường thẳng và ba vectơ - khi chúng nằm trong cùng một mặt phẳng.
3. Chứng minh (hình học) rằng bốn điểm bất kỳ trong không gian đều phụ thuộc tuyến tính.
   4*. Chứng minh rằng mọi vectơ $n+1$ trong không gian $n$ chiều đều phụ thuộc tuyến tính.
   5*. Chứng minh rằng tập hợp các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng thể tích của không gian vectơ số học có chiều bốn, cơ sở của nó có thể là các đa thức $x^3, x^2, x, 1$.

O.M.