Viện thép và hợp kim Moscow

51

Viện thép và hợp kim Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Đơn giản hóa biểu thức
   $$\frac{\sqrt{(x+2)^2}-8x}{\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}}$$
   và tính giá trị của nó tại $x=1,21$.
2. Giải phương trình
   $$\frac{8x^2-2,5}{16x}+\frac{8x}{16x^2-5}=1$$.
   Trong đáp số hãy viết ra gốc lớn hơn của nó.
3. Tìm khoảng cách từ gốc đến giao điểm của đồ thị hàm số $y=\sqrt{9-x}-\sqrt{4-x}$ với đường thẳng $y=1$.
4. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2 \frac{3x+3}{x+6} \leq 1$$.
   Trong đáp số viết số nguyên thỏa mãn bất đẳng thức này.
5. Tìm một số có hai chữ số có thương khi chia cho tích các chữ số của nó là $2\frac{2}{3}$ và hiệu giữa số cần tìm và số viết cùng chữ số nhưng theo thứ tự ngược lại là 18.
6. Tìm chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ trên khoảng [0; 2].
7. Rút gọn và tính toán không cần bảng
   $$\sin \frac{\pi}{5}+\sin \frac{13\pi}{15}+\sin \frac{23\pi}{15}+\sin \frac{\pi}{6}$$.
8. Giải phương trình
   $$1-\sin 3x=\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)^2$$.
   Trong đáp số viết số nghiệm của phương trình thuộc đoạn [π/2; 2π].
9. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM vuông góc với đường trung tuyến BN. Tìm diện tích tam giác ABC nếu độ dài AM là 3 và độ dài BN là 4.
10. Một trong các đỉnh của hình lập phương và điểm giữa của các cạnh của nó nổi lên từ đỉnh đối diện đóng vai trò là các đỉnh của paramid. Tìm thể tích của paramid nếu chiều dài cạnh của khối lập phương là 6.
    Tùy chọn 2
11. Tổng các số hạng của một cấp số nhân vô hạn là 4, và tổng bình phương các số hạng của nó là 48. Tìm tổng của bốn số hạng đầu tiên của nó.
12. Giải phương trình $f'(x)=0$ nếu $f(x)=\sqrt{2x-1}-2x$.
13. Giải phương trình
    $$\log_5(x-2)+\log_5(x^3-2)+\log_5(x-2)=4$$.
14. Giải bất đẳng thức
    $$(0,5)^{x^2+3x} \geq 0,125 \cdot 2^{-x}$$.

52

Trong đáp số viết số nguyên thỏa mãn bất đẳng thức.

5. Có một hợp kim của đồng với trứng nặng 10 kg, chứa 50% đồng. Phải thêm bao nhiêu kg trứng nguyên chất vào mảnh này để hợp kim thu được có 40% đồng?

6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
   $$f(x) = x^4 + 2x^2 + \frac{1}{(x^2 + 1)^2} + 5.$$

7. Tìm tan α · tan β nếu $$\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{1}{3}.$$

8. Giải phương trình
   $$\sin x + \cos x - 1 = 0.$$

Trong đáp số viết tổng các nghiệm của phương trình thuộc khoảng ] 0; 4 [.

9. Các đỉnh của một tam giác đều nằm trên ba đường thẳng song song, đường thẳng trong cách nhau $$\sqrt{21} \text{ и } \sqrt{84} \text{ от крайних прямых. Найдите длину стороны треугольника.}$$

10. Một hình trụ có thể tích lớn được nội tiếp trong một hình nón sao cho một đáy của hình trụ nằm trên đáy hình nón, và đường tròn của đáy kia nằm trên mặt bên của hình nón. Tìm tỉ số thể tích của hình nón và thể tích của hình trụ.

Vật lý

Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Trong giây cuối cùng của quá trình rơi, một vật rơi tự do đi được quãng đường $l = 63,7$ m. Vật rơi từ độ cao bao nhiêu?

2. Xác định lực tác dụng lên thanh AB nếu góc $a = 45^\circ$ và khối lượng của tải trọng là $m = 2$ kg (hình 1).

3. Xác định tốc độ mà vật phải có tại điểm D để chuyển động đến điểm A và dừng lại ở đó (hình 2). Hệ số tam giác cho chuyển động của cơ thể $μ = 0,2$, $|AB| = 0,5$ m, $|DB| = 10$ m.

4. Một thanh mùi có khối lượng $m = 6$ kg được treo trên hai sợi dây có chiều dài bằng nhau $l = 0,5$ m mỗi sợi (hình 3). Xác định lực căng của sợi dây nếu chiều dài của thanh là $a = 0,8$ m.

5. Trong một ống thủy tinh bịt kín một đầu có một bàn không khí được bịt kín bằng một bàn thủy ngân cao $h = 200$ mm. Nếu ống được giữ thẳng đứng với các đầu hướng lên trên thì chiều dài của bàn không khí là $l_1 = 6$ cm, và nếu ống quay 180° thì chiều dài của bàn không khí sẽ là $l_2 = 15$ cm. Áp suất khí quyển là gì? Nhiệt độ được coi là không đổi.

6. Sau khi cạo hỗn hợp dễ cháy, nhiệt độ của sản phẩm cạo trong xi lanh bằng pít-tông phụ tăng lên $t_1 = 600^\circ\text{C}$, khoảng cách giữa pít-tông và nhà xi-lanh tăng lên $l = 50$ cm. Bằng khoảng cách nào

Puc. 1. Puc. 2.

Liệu piston có chuyển động khi chất thải trong xi lanh được làm nguội đến nhiệt độ $t_2 = 90^\circ\text{C}$? Tránh trọng lượng của piston và sự va chạm của nó với thành xi lanh. Lấy hệ số giãn nở thể tích bằng $a = 1/273$ К$^{-1}$.

7. Một tụ điện có công suất $C_1 = 3$ µF được tích điện đến hiệu điện thế $U_1 = 300$ V. Một tụ điện có công suất $C_2 = 2$ µF được tích điện đến hiệu điện thế $U_2 = 200$ V. Các tụ điện được nối bằng các bản nhỏ khác nhau. Xác định giá trị trung bình của dòng điện phát sinh khi mắc một tụ điện nếu thời gian chạy qua của nó là $t = 1$ s.

8. Xác định khối lượng dây đồng cần thiết để lắp đặt đường dây truyền tải hai dây từ nguồn điện có điện áp $U = 2400$ V đến người tiêu dùng nằm cách nguồn điện áp $l = 5$ km. Công suất truyền đến người tiêu dùng là $W = 60$ kW. Độ sụt áp trên đường dây là 8%.

9. Trong mạch ở hình 4, giá trị biên độ của dòng điện trước khi đóng công tắc là $I_1$, và sau khi đóng công tắc - $I_2$. Xác định tỷ số $I_1/I_2$ nếu công tắc đóng khi điện áp trên các tụ đạt cực đại. Điện dung của tất cả các tụ điện là như nhau: $C_1 = C_2 = C_3$, và độ tự cảm của cuộn dây không đổi và bằng $L$. Trước khi đóng chìa khóa, các tụ điện $C_1$ và $C_2$ không được tích điện.

10. Carbon disulfide có chiết suất $n = 1,63$ kéo dài theo chiều rộng của bình đến độ cao $h = 10$ cm, tính từ đáy bình. Ở đáy tàu, một nguồn sáng điểm được đặt ở giữa. Tìm diện tích bề mặt của carbon disulfide tại bề mặt tiếp xúc với không khí mà ánh sáng thoát ra.

Tùy chọn 2

1. Chuyển động nhanh dần đều, một điểm vật chất trong hai khoảng thời gian liên tiếp bằng nhau đầu tiên $t = 4$, mỗi điểm di chuyển được quãng đường $l_1 = 20$ m và $l_2 = 30$ m. Xác định khoảng cách ban đầu dọc theo vòng tròn với tốc độ $v = 10$ m/s. Xác định mô hình thay đổi động lượng của một điểm vật chất trong một phần tư chu kỳ quay.