Tổng quát hóa các con số

2

Tổng quát hóa các con số

Viện sĩ L. S. PONTRAGIN

Bài viết này tiếp tục câu chuyện về những khái quát hóa có thể có của khái niệm số, đã bắt đầu từ số trước «Kvant»*). Ở đây cho thấy rằng không thể xoay dữ liệu theo hướng này, nghĩa là phải suy nghĩ về những khái quát hóa sâu hơn về các con số khác với những gì đã thảo luận trong bài viết trước.

§ 6. Định lý Frobenus

Cho $L$ là một tập đại lượng nhất định $x$, được viết dưới dạng

$$x = x_0 + x_1 i_1 + x_2 i_2 + \dots + x_n i_n,$$

trong đó $x_0, x_1, x_2, \dots, x_n$ là số thực (tọa độ của giá trị $x$) và ký hiệu

$$i_1, i_2, \dots, i_n$$

được gọi là đơn vị tối thiểu.

Cùng với nhau, $L$ định nghĩa phép cộng và phép nhân. Đặt $y$ là một giá trị khác của tổng $L$

$$y = y_0 + y_1 i_1 + \dots + y_n i_n.$$

Các đại lượng $x$ và $y$ được coi là bằng nhau khi và chỉ khi tọa độ của chúng bằng nhau, nghĩa là đẳng thức giữ nguyên

$$x_0 = y_0, x_1 = y_1, \dots, x_n = y.$$

Việc cộng các đại lượng $x$ và $y$ diễn ra theo quy luật

$$x + y = (x_0 + y_0) + (x_1 + y_1) i_1 + \dots + (x_n + y_n) i_n.$$

Do đó, các đại lượng từ $L$ được cộng theo tọa độ. Các giá trị từ $L$ cũng có thể được nhân với bất kỳ số thực nào, cũng theo tọa độ:

$$\lambda x = \lambda x_0 + (\lambda x_1) i_1 + \dots + (\lambda x_n) i_n.$$

Để đặt ra quy tắc nhân các đại lượng $x$ và $y$ với $L$, trước hết chúng ta phải chấp nhận rằng các số thực có thể hoán vị với đơn vị tối thiểu (51) có trong $L$, tức là khi thay đổi

$$*) См. «Кванта», № 2, c. 6.$$

biểu thức (50) và (52) mở dấu ngoặc đơn và nhóm các thuật ngữ, đặc biệt là $(x_1 i_1) \times (y_2 i_2) = (x_1 y_2)(i_1 i_2)$, v.v. Ngoài ra, bạn cần xác định quy tắc biến nào cho các đơn vị tối thiểu (51), ví dụ: cho biết $i_1 i_2$ bằng bao nhiêu. Trong trường hợp này, giả định rằng tích của hai đơn vị tối thiểu bất kỳ của hệ (51) là đại lượng nào đó từ $L$, tuy nhiên, chúng tôi không yêu cầu phép nhân của các đơn vị tối thiểu phải có tính chất giao hoán. Kết quả của Frobenous là tập hợp số lượng $L$ trùng với tập hợp các số thực, trong trường hợp đó số lượng được viết dưới dạng $x = x_0$, hoặc với tập hợp các số phức, trong trường hợp đó số lượng $L$ được viết dưới dạng

$$x = x_0 + x_1 i,$$

(55)

hoặc với tổng của tất cả các ô vuông, trong trường hợp đó giá trị từ $L$ được viết dưới dạng

$$x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k.$$

§ 7. Một số câu bổ trợ

Khi chứng minh định lý Frobenus, tôi sẽ giả sử rằng đã biết khái niệm không gian vectơ $R^m$ có chiều tùy ý $m^*$. Ví dụ: mỗi vectơ trong không gian $R^m$ được cho bởi một dãy số thực $m$, được gọi là tọa độ của vectơ. Trong không gian này, phép cộng các vectơ được xác định, xảy ra theo tọa độ, phép nhân vectơ với một số thực, trong đó tất cả tọa độ của vectơ được nhân với số thực này. Vectơ 0 là vectơ có tọa độ đều bằng 0.

Cho phép

$$u_1, u_2, \dots, u_k$$

là một tập vectơ nhất định trong không gian $R^m$. Các vectơ (57) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có các số thực và $a_1, a_2, \dots, a_k$, không phải tất cả đều bằng 0, sao cho

$$a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_k u_k = 0.$$

Kết quả mà tôi đã sử dụng ở đây mà không có bằng chứng là

*) Thông tin cần thiết về không gian vectơ có thể được đọc trong Phụ lục của bài viết này (tr.5).

3

trong phần tiếp theo. Trong không gian vectơ có chiều m, mọi hệ k vectơ, trong đó k > m, đều phụ thuộc tuyến tính.

Bây giờ chúng ta chuyển sang phần chuẩn bị chứng minh định lý Frobenus. Một đại lượng nằm trong tập các đại lượng L sẽ được coi là số thực nếu chỉ có tọa độ $x_0$ của nó khác 0, các đại lượng còn lại đều bằng 0. Chúng ta hãy chọn từ L các giá trị z thỏa mãn điều kiện sau: $z^2$ là số thực không dương, nghĩa là nó âm hoặc bằng 0. Chúng ta biểu thị tập hợp các đại lượng như vậy bằng I. Lưu ý rằng tập R gồm các số thực và tập I chỉ có một phần tử chung - 0.

Bây giờ chúng ta chứng minh điều sau:

Mỗi giá trị x của L có thể được biểu diễn dưới dạng tổng

$$x = a + z, \quad a \in \mathbb{R}, \quad z \in I$$

một cách độc đáo.

Để chứng minh nhận định này, hãy tạo một chuỗi các giá trị x, bắt đầu từ 0 đến n+1. Vì dãy (60) chứa n+2 đại lượng và chiều của không gian vectơ L bằng n+1, nên đại lượng (60) phụ thuộc tuyến tính. Điều này có nghĩa là có một đa thức f(u) của một số biến u với các hệ số thực, nghiệm của nó là x, nghĩa là điều kiện được thỏa mãn

$$f(x) = 0.$$

Vì x là nghiệm của đa thức f(u), nên số x sẽ là nghiệm của một đa thức tối giản với hệ số thực bậc một hoặc hai, như đã được chứng minh ở cuối § 5. Nếu đa thức tối giản này có bậc một, nghĩa là có dạng u - a, trong đó a là số thực, thì x - a = 0, và do đó x là số thực a. Nếu đa thức tối giản q(u) có bậc hai và nghiệm của nó không thực thì nó có thể dễ dàng chuyển về dạng

$$q(u) = (u-a)^2 + b,$$

trong đó b là một số dương. Vì x là nghiệm của đa thức này nên (x-a)^2=-b và x được viết dưới dạng

$$x = a + z,$$

trong đó a là số thực và z ∈ I, hoặc z^2=-b. Như vậy, công thức (59) đã được chứng minh.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng các số hạng a và z trong khai triển (59) được xác định duy nhất bởi đại lượng x. Tuyên bố này có thể dễ dàng xác minh trong trường hợp x là số thực, do đó z=x-a, và R và tôi chỉ có một phần tử chung - 0, vì vậy z bằng 0. Giả sử rằng nếu chúng ta vi phạm khai triển (59), thì một khai triển khác sẽ diễn ra:

Hermann Grassmann (1809-1877), nhà toán học, vật lý học và ngữ văn học người Đức, người tạo ra khái niệm chung về không gian vectơ và (cùng với A. Cayley và Y. Hamilton) lý thuyết quaternons.

$$x = a_0 + z_0.$$

Trường hợp một trong các giá trị z hoặc z₀ bằng 0 đã được chúng tôi thảo luận. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ giả sử rằng cả hai đều khác 0. Sự tương ứng (59) và (63) hàm ý sự bình đẳng

$$z = z_0 + (a_0 - a).$$

Nâng cao sự tương ứng này bằng bình phương, chúng ta nhận được

$$z^2 = z_0^2 + 2z_0(a_0 - a) + (a_0 - a)^2.$$

Vì z₀(a₀ - a) là một số thực, nên từ sự tương ứng này, tích z₀(a₀ - a) là một số thực. Vì z₀ không bằng 0 nên điều này chỉ có thể xảy ra khi a₀—a=0. Do đó, khai triển duy nhất (59) được thiết lập.

Lưu ý rằng với bất kỳ phần tử z nào từ tập I, nó bao gồm tích của phần tử này với một số thực bất kỳ. Cùng với phần tử z≠0, tôi cũng bao gồm phần tử z⁻¹, nghịch đảo với z. Hãy viết điều này dưới dạng công thức:

$$\text{При } a \in \mathbb{R}, \quad z \in I \quad \text{имеем } az \in I.$$

$$\text{При } 0 \neq z \in I \quad \text{имеем } z^{-1} \in I.$$

Bây giờ chúng ta chứng minh điều sau:

I là không gian tuyến tính đối với các số thực, tức là với hai đại lượng u và v từ I, I cũng bao gồm tổ hợp tuyến tính của chúng với các hệ số thực

4

entami $a$ và $b$. Chúng ta hãy viết tuyên bố này dưới dạng một công thức:

$$\text{При } a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}; u \in I, v \in I \text{ имеем } au + bv \in I. \tag{67}$$

Để chứng minh khẳng định cuối cùng, chúng ta chỉ cần xét trường hợp khi $a$ và $b$ không bằng 0, vì trường hợp có ít nhất một trong các số này bằng 0 nằm trong khẳng định đã được chứng minh (65). Nhờ khai triển (59) ta có

$$au + bv = z_1 + a_1, \text{ где } z_1 \in I, a_1 \in \mathbb{R}. \tag{68}$$

Hãy để chúng tôi bình phương tương ứng (68). Sau đó chúng ta sẽ nhận được

$$a^2u^2 + b^2v^2 + ab(uv + vu) = 2a_1z_1 + a_1^2 + z_1^2. \tag{69}$$

Nhờ khai triển (59) ta có

$$uv + vu = z_0 + a_0, \text{ где } z_0 \in I, a_0 \in \mathbb{R}. \tag{70}$$

Ở đây các giá trị $z_0$ và $a_0$ không phụ thuộc vào các số $a$ và $b$ mà chỉ phụ thuộc vào $u$ và $v$. Do tính duy nhất của khai triển (59) nên đẳng thức suy ra từ (68) và (70)

$$abz_0 = 2a_1z_1. \tag{71}$$

Và vì các số $a$ và $b$ đều được coi là khác 0. chúng tôi nhận được

$$z_0 = \frac{2a_1}{ab}z_1. \tag{72}$$

Từ đẳng thức cuối cùng, suy ra rằng nếu $z_0 \neq 0$ thì $a_1 \neq 0$. (73)

Ngoài ra, $a_1 \neq 0$ đối với mọi giá trị của $a$ và $b$, vì $z_0$ không phụ thuộc vào $a$ và $b$. Xét đẳng thức cuối cùng, chúng ta có thể viết lại thư từ (68) dưới dạng:

$$au + bv = cz_0 + d, \tag{74}$$

trong đó $c = ab/(2a_1)$ là số thực khác 0. Bây giờ chúng ta chọn hai số $a'$ và $b'$, không tỷ lệ với $a$ và $b$, tức là không xảy ra đẳng thức

$$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}. \tag{75}$$

Khi đó, nhờ điều đã được chứng minh, ta có

$$a'u + b'v = c'z + d', \tag{76}$$

trong đó số $c'$ không bằng 0. Bây giờ chúng ta hãy trừ đi tương ứng (74) tương ứng (76), nhân với một số thực $a$, sao cho đẳng thức $c - ac' = 0$ giữ nguyên. Sau đó chúng ta sẽ có

$$a''u + b''v = d'', \tag{77}$$

trong đó $a''$, $b''$ và $d''$ là số thực. Hoặc, nếu không,

$$a''u = -b''v + d''. \tag{78}$$

Vì vế trái của đẳng thức này thuộc về $I$ nên vế phải của đẳng thức này phải chứa một phần tử từ $I$ (do tính duy nhất của phép phân tách (59)), tức là $d'' = 0$. Chúng ta đi đến kết luận rằng các vectơ $u$ và $v$ tỷ lệ thuận với nhau. Đối với trường hợp này, tuyên bố của chúng tôi (67) là rất quan trọng. Như vậy khẳng định (67) đã được chứng minh.

Từ những gì đã được chứng minh, suy ra rằng, theo (68), số thực $a_1$ luôn bằng 0 và do đó, do sự tương ứng (72), giá trị $z_0$ cũng luôn bằng 0. Và thế là

$$uv + vu = a_0 \tag{79}$$

là một số thực. Từ đây