Обобщение чисел

2

Обобщение чисел

Академик Л. С. ПОНТРАГИН

В этой статье продолжен рассакз о возможных обобщениях понятия числа, начатый в предыдущем номере «Кванта»*). Эдесь показано, что вращаться данные в этом направлении, то есть продумывать дальнейшие обобщения чисел, отличные от рассмотренных в предыдущей статье, невозможно.

§ 6. Теорема Фробенууса

Пусть $L$ — некоторая совокупность величины $x$, которые записывают в форме

$$x = x_0 + x_1 i_1 + x_2 i_2 + \dots + x_n i_n,$$

где $x_0, x_1, x_2, \dots, x_n$ — действительные числа (координаты величины $x$), а символы

$$i_1, i_2, \dots, i_n$$

называются минимыми единицами.

В совокупности $L$ определяны сложение и умножение. Пусть $y$ — некоторая другая величина совокупности $L$

$$y = y_0 + y_1 i_1 + \dots + y_n i_n.$$

Величины $x$ и $y$ считаются равными тогда и только тогда, когда их координаты равны, то есть имеет место равенство

$$x_0 = y_0, x_1 = y_1, \dots, x_n = y.$$

Сложение величины $x$ и $y$ проискит по правилау

$$x + y = (x_0 + y_0) + (x_1 + y_1) i_1 + \dots + (x_n + y_n) i_n.$$

Таким образом, величины из $L$ складывают покординатно. Величины из $L$ можно и умножать на любое действительное число, тоже покординатно:

$$\lambda x = \lambda x_0 + (\lambda x_1) i_1 + \dots + (\lambda x_n) i_n.$$

Для того чтобы задать правило умножения величины $x$ и $y$ из $L$, мы должны прежнее всего принять, что действительные числа перестановочные с минимыми единицами (51), имеющими в $L$, то есть при переменении

$$*) См. «Кванта», № 2, c. 6.$$

выражений (50) и (52) объявим образом раскрывают скобки и группируются члены, в частности, $(x_1 i_1) \times (y_2 i_2) = (x_1 y_2)(i_1 i_2)$ и т.п. Кроме того, нужно определить, по какому правлу переменнойся минимые единицы (51), например указыть, чему равно $i_1 i_2$. При этом предполагается, что произведение двух любых минимых единиц системы (51) есть некоторая величина из $L$, однаком коммутитивности умножения минимых единиц мы не требуем. Результат Фробенууса заключается в том, что совокупность величины $L$ совпадает либо с совокупностью всех действительных чисел, в этом случае какая величина записьается в форме $x = x_0$, либо с совокупностью всех комплексных чисел, в этом случае какая величина из $L$ записьается в форме

$$x = x_0 + x_1 i,$$

(55)

либо с совокупностью всех квадратнойов, в этом случае величина из $L$ записьается в форме

$$x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k.$$

§ 7. Неколько вспомогательных утверждений

При доказательстве теоремы Фробенууса я буду считать известным понятие векторного пространства $R^m$ произвольной размерности $m^*$. Например, что каждый вектор пространства $R^m$ задается последовательностью из $m$ действительных чисел, называемых координатами вектора. В этом пространстве определено сложение векторов, которое проискит покординатно, умножение вектора на действительное число, при котором все координаты вектора умножаются на это действительное число. Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю.

Пусть

$$u_1, u_2, \dots, u_k$$

— некоторая совокупность векторов пространства $R^m$. Векторы (57) называются линейно зависимыми, если имеются действительные числа, а $a_1, a_2, \dots, a_k$, не все равные нулю, такие, что

$$a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_k u_k = 0.$$

Результат, которое я воспользовался здесь без доказательства, заключается

*) Необходимые сведения о векторных пространствах можно прочитать в Добавлении к этой статье (c.5).

3

в следующем. В векторном пространстве размерности m всякая система векторов из k штук, где k > m, линейно зависит.

Перейдем теперь к подготовительной части доказательства теоремы Фробенуса. Величину, входящую в совокупность величины L, будем считать действительными числом, если только ее координата $x_0$ отлична от нуля, остальные же равны нулю. Выберем из L такие величины z, которые удовлетворяют следующему условию: $z^2$ есть действительное неположительное число, то есть либо оно отрицательное, либо равное нулю. Совокупность таких величины обозначим через I. Заметим, что множество R действительных чисел и множество I имеют лишь один общий элемент — нуль.

Докажем теперь следующее:

Каждая величина x из L может быть представлена в виде суммы

$$x = a + z, \quad a \in \mathbb{R}, \quad z \in I$$

единивным образом.

Для доказательства этого утверждения составим последовательность величины x, начиная от нуля до n+1. Так как последовательность (60) содержит n+2 величины, а размерность векторного пространства L равна n+1, то величины (60) линейно зависит. А это значит, что существует многочлен f(u) некоторой переменной u с действительными коэффициентами, корнем которого является x, то есть выполнен условие

$$f(x) = 0.$$

Так как x есть корень многочлена f(u), число x будет корнем неприводимого многочлена с действительными коэффициентами степени один или два, как это было доказано в конце § 5. Если этот неприводимый многочлен имеет степень один, то есть имеет вид u—a, где a — действительное число, то x—a=0, и, следовательно, x есть действительное число a. Если неприводимый многочлен q(u) имеет вторую степень и его корни не являются действительными, то его легко преобразовать к виду

$$q(u) = (u-a)^2 + b,$$

где b — положительное число. Так как x является корнем этого многочлена, (x-a)^2=-b и x записьвается в форме

$$x = a + z,$$

где a — действительное число, а z ∈ I, либо z^2=-b. Таким образом, формула (59) доказана.

Докажем теперь, что слагаемые a и z в разложении (59) однозначно определяны величины x. Это утверждение легко проверяется в случае, когда x — действительное число, так как тогда z=x-a, а R и I имеют лишь один общий элемент — нуль, так что z есть нуль. Допустим, что нарушу с разложением (59) имеет место другое разложение:

Герман Грассман (1809—1877), немецкий математик, физик и филолог, создатель общего понятия векторного пространства и (наряду с A. Кейли и Y. Гамильтоном) теории кватернонов.

$$x = a_0 + z_0.$$

Случай, когда одна из величины z или z₀ равна нулю, нами уже разобран. В дальнейшем будем считать, что они обе отличны от нуля. Из соответствий (59) и (63) вытекает равенство

$$z = z_0 + (a_0 - a).$$

Возвода это соответствие в квадрат, получаем

$$z^2 = z_0^2 + 2z_0(a_0 - a) + (a_0 - a)^2.$$

Так как z² и z₀² — действительные числа, из этого соответствия вытекает, что произведение z₀(a₀ - a) есть действительное число. Так как z₀ не равно нулю, это возможно лишь тогда, когда a₀—a=0. Таким образом, единственное разложения (59) устанавливается.

Заметим, что нарушу с любым элементом z из множества I в него входит произведение этого элемента на любое действительное число. Наряду с элементом z≠0 в I входит и элемент z⁻¹, обратный к z. Запишем это в виде формул:

$$\text{При } a \in \mathbb{R}, \quad z \in I \quad \text{имеем } az \in I.$$

$$\text{При } 0 \neq z \in I \quad \text{имеем } z^{-1} \in I.$$

Докажем теперь следующее:

I есть линейное пространство в относении действительных чисел, то есть нарушу с двумя величинами u и v из I в I входит также их линейная комбинация с действительными коэффициентами

4

entами $a$ и $b$. В виде формулы запишем это утверждение так:

$$\text{При } a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}; u \in I, v \in I \text{ имеем } au + bv \in I. \tag{67}$$

Для доказательства последнего утверждения нам достаточно рассмотреть случай, когда $a$ и $b$ не равны нулю, так как случай, когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю, содержится в уже доказанном утверждении (65). В силу разложения (59) имеем

$$au + bv = z_1 + a_1, \text{ где } z_1 \in I, a_1 \in \mathbb{R}. \tag{68}$$

Возведем соответствие (68) в квадрат. Тогда мы получим

$$a^2u^2 + b^2v^2 + ab(uv + vu) = 2a_1z_1 + a_1^2 + z_1^2. \tag{69}$$

В силу разложения (59) мы имеем

$$uv + vu = z_0 + a_0, \text{ где } z_0 \in I, a_0 \in \mathbb{R}. \tag{70}$$

Здесь величины $z_0$ и $a_0$ не зависит от чисел $a$ и $b$, а зависит лишь от $u$ и $v$. В силу единственности разложения (59) из (68) и (70) вытекает равенство

$$abz_0 = 2a_1z_1. \tag{71}$$

А так как числа $a$ и $b$ оба предполагаются не равными нулю. Мы получаем

$$z_0 = \frac{2a_1}{ab}z_1. \tag{72}$$

Из последнего равенства вытекает, что если $z_0 \neq 0$, то $a_1 \neq 0$. (73)

При этом $a_1 \neq 0$ при любых значениях $a$ и $b$, так как $z_0$ не зависит от $a$ и $b$. Принимая во внимание последнее равенство, мы можем перепись соответствие (68) в виде:

$$au + bv = cz_0 + d, \tag{74}$$

где $c = ab/(2a_1)$ — не равное нулю действительное число. Выберем теперь два кажих-нибудь числа $a'$ и $b'$, не пропорциональные $a$ и $b$, то есть такие, чтобы не имело место равенство

$$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}. \tag{75}$$

Тогда в силу доказанного мы имеем

$$a'u + b'v = c'z + d', \tag{76}$$

где число $c'$ не равно нулю. Вычитем теперь из соответствия (74) соответствие (76), умноженное на такое действительное число $a$, чтобы выполнялось равенство $c - ac' = 0$. Тогда мы будем иметь

$$a''u + b''v = d'', \tag{77}$$

где $a''$, $b''$ и $d''$ — действительные числа. Или, иначе,

$$a''u = -b''v + d''. \tag{78}$$

Так как левая часть этого равенства принадлежит $I$, в правой части этого равенства должен быть элемент из $I$ (в силу единственности разложения (59)), то есть $d'' = 0$. Мы приходим к выводу, что векторы $u$ и $v$ пропорциональны между собой. Для этого случая наше утверждение (67) привально. Таким образом, утверждение (67) доказано.

Из доказанного следует, что в соответствии (68) действительное число $a_1$ всегда равно нулю и, следовательно, в силу соответствия (72) величины $z_0$ также всегда равна нулю. И поэтому

$$uv + vu = a_0 \tag{79}$$

есте действительное число. Из этого