Пинг-понг... в умывальнике

15

Пинг-понг…
в умывальнике

Кандидат физико-математических наук
А. В. БЯЛКО

Опыты, о которых поддет речь, доступны всем и не требуют никакого специального оборудования. Вам понадобятся только шарик для настольного тенниса (пинг-понга), стандартная раковина для умывания (или ванна), миллиметровая линейка, трехлитровая банка и часы с секундной стрелкой.

Опыт 1. Закройте сливное отверстие раковины (ваны) и наполните ее водой до уровня 3 — 5 см. Подставьте пинг-понговый шарик под струю там, где она прорезает поверхность воды, и отпустите его. Инутитивка кажется, что струя должна отбросить шарик в сторону. Но это не так! Наоборот, струя захватывает шарик, и он остается в месте ее padения.

Присмотритесь внимание. Оказывается, шарик не неподвижен — под действием струи он совершает небольшие колебания. Сложите ладони лодочкой и подведите их под шарик так, чтобы он продолжал плавать под струей, не касаясь рук. Теперь поднимайте шарик вдоль струи. Вы заметите, что частота колебаний при подъеме шарика уменьшается.

Опыт 2. Откройте сливное отверстие. В стандартной раковине (ване) оно представляется собой ямку цилиндрической формы с решетчатым домом глубиной около 20 мм и диаметром около 40 мм. Шарик для пинг-понга немного меньше — его диаметр равен 37 мм, так что шарик свободно помещается в сливном отверстиии, и еще остается зазор в 1 — 2 мм (рис. 1).

Поднесите шарик под водой к сливному отверстию и отпустите. Поток воды втянет его в отверстие, несмотря на то, что шарик в воде не тоет. Но что это? Вы слышите низкий гудящий звук, оченьindo, вызванный колебаниями шарика. Первая мысль, которая приходит в голову, — что шарик подпрыгивает на решетке. Однако не в этом. Прикоснитесь сверху к шарику пальцем, и вы убедитесь, что он колебляется не вертикально, а горизонтально — насколько позволяет ему величины зазора.

Более того. Посмотрите на фабричное kleймо на шарике, и вы видите, что шарик еще и врашается, причем достагоно медленно, так что это можно заметить глазом. Иногда врашение проискит только в одну сторону, а иногда направление врашения шарика время от времени произвольно изменяется.

Как же обязанить эти опыты? Сразу скажем, что оба они служат яркой иллюстрацией закона Бернулли — од-

16

ного из первых законов гидродинамики. Качественный его можно формулировать так («Физика 8», § 65): в движущейся жидкости давление больше в тех секундах, где меньше скорость движения, и наоборот, там, где скорость больше, давление меньше. Другими словами, при увеличении скорости движения жидкости давление в ней падает. Это уменшение давления и приводит к тому, что в обихах опытах поток воды как бы втягивает пластмассовый шарик внутри себя.

Закон Бернулли поможет объяснить и колбания шарика в стреуе и в ответсти раковины. Но прежде давайте оценим скорость воды в стреуе из водопроводного крана.

Нетрудно подобрать такой приток воды в раковину (или ванну), при котором уровень воды в ней почти не изменяется. С помощью трехлитровой банки и секундомера можно измерить соответствующий расход жидкости (то есть массу жидкости, расходуемой в единицу времени). Он оказывается равным примерно (80 — 100) г/c. Теперь линейкой измерим диаметр струи вблизи поверхности воды в раковине. Он близок к 6 мм. Этому соответствует скорость струи около 3 м/c (проверьте это). Конечно, скорость текущей можно сделать и больше и меньше полученного значения, но в дальнейших оценках давление считать ее именно такой.

Для более детального обсуждения наблюдаемых эффектов нам понадобится не только качественная, но и количественная формулировка закона Бернулли*). Согласно этому за

кону, в любом сечении струи жидкости остается постоянной сумма

$$\frac{\varrho v^2}{2} + p + \varrho gh,$$

где $\varrho$ — плотность, $v$ — скорость, $p$ — давление жидкости, $h$ — высота выбранного сечения.

Объяснение опыта 1. Давайте временно упростим себе задачу: расстояние не взаимодействие шарика с цилиндрической стреуей, а воздействие плоской стреуи на цилиндр. Существое физическое явление от этого не изменится, а рассуждается нам будет проще.

Сначала обсуждим случай, когда цилиндр лишь слегка касается стреуи, и оценим действующую на него силу (рис. 2). Согласно закону Бернулли, внутри изгибающая стреуя давление падает на величины

$$p_0 - p = \frac{\varrho}{2} (v^2 - v_0^2)$$

(слагаемым $\varrho gR$ можно пренебречь, поскольку в нашем случае величины $gR \approx 0,2 \text{ m}^2/\text{c}^2$ заметно меньше, чем $v^2/2 \approx 4,5 \text{ m}^2/\text{c}^2$). Траектория части жидкости, описающих цилиндр, —дуга окружности, поэтому они движутся с центростремительным ускорением. Это ускорение обусловлено разностью атмосферного давления $p_0$ (он же есть давление воды в прямой стреуе) и давления $p$ в изогнутой стреуе:

$$m \frac{v^2}{R} = (p_0 - p)S,$$

или $$\frac{v^2}{R} = \frac{p_0 - p}{\varrho d},$$

где $S$ — площадь соприкосовения стреуи с цилиндром. Для стреуи, толщина которого $d$ много меньше радиуса цилиндра $R$, скорость обтекания лишь немного больше начальной скорости $v_0$. Поэтому сила, отклоняющая стреую, равна

$$F = (p_0 - p)S = \frac{\varrho v_0^2 d}{R} S.$$

Такая же по модулю, но противоположно направлена сила действует на цилиндр.

Этот результат, полученный для обтекания цилиндра, остается справедливым и для обтекания шарика, возможно, с другими численными коэффициентом. Площадь соприкосовения стреуи с шариком практически всегда порядка квадрата его радиуса $R$. Поэтому сила, втягиающая шарик

17

Рис. 3.

в струю при их касании, по порядку величины равна

$$F \sim \varrho v_0^2 Rd.$$

Рассмотрим теперь центральное обтекание шарика, когда струя падает точно на его вершину (рис. 3). В этом случае вода обтекает шарик симметрично, и поэтому $F=0$. Для центрального обтекания нетрудно найти толщину слоя $d$. Из условия построения потока следует, что

$$d \sim \frac{r_0^2}{R}$$

(показите это самостояльно).

Наконец, для промежутного случая, когда смешение $x$ шарика от оси симметрини струи неверлико по сравнению с его радиусом $R$ (рис. 4), оказывается, что сила $F$ линейно зависит от $x$ и направлена так, чтобы вернуть шарик в положение равновесия:

$$F \sim -\varrho v_0^2 d \cdot x \sim \frac{\varrho v_0^2 r_0^2}{R} x.$$

(К сожалению, точное значение силы $F$ для этого случая получить трудно.)

Под действием этой силы шарик и будет совершать колбания. Выражение для частоты колбаний можно написать по аналогии с колбаниями грузика наружие:

$$F_{\pi p} = -kx \Rightarrow \omega_{\pi p} = \sqrt{\frac{k}{m}},$$

$$F_{\pi} \sim -\frac{\varrho v_0^2}{R} x \Rightarrow \omega_{\pi} \sim v_0 r_0 \sqrt{\frac{\varrho}{RM}}.$$

При массе шарика $M \approx 3$ г получаем $\omega_{\pi} \sim 40 \text{ c}^{-1}$, и $v_{\pi} \sim 6 \text{ Гц}$.

При подъеме шарика в ладонях

Рис. 4.

вверх по струе одновременно изменяется $r_0$, и $v_0$, но остается постоянным произведение $v_0 r_0^2$. Поскольку $r_0$ растет, произведение $v_0 r_0$ падает. Следовательно, по мере подъема к источнику частота колбаний шарика должна уменьшаться, что и наблюдается на опыте.

При уменьшении частоты колбаний можно заметить, что шарик еще и поворачивает в разные стороны. В тонких медленных струях колбание и врашение шарика объединяются в сложное красивое движение вокруг струи. Убедитесь в этом сами на опыте.

Объяснение опыта 2. Пусть начальное положение шарика такое, как изображено на рисунке 5 (вид сверху). Оценим скорость течение взаюре сливного ответия. Площадь зазора не зависит от положения шарика и равна $\pi(R_{\text{отв}}^2 - R^2) \approx 1 \text{ cm}^2$, поэтому средняя скорость течение вокруг шарика составляет $v \approx 1 \text{ m/c}$. Эта скорость, однako, относительно не постоянна по сечению зазора: в его широкой части она существенно больше, чем в сухойшейшейшей (вблизи точки касания $A$), где течение тормозится tremendum о стенки. Согласно закону Бернулина давление в движущейся жидкости больше там, где меньше скорость. Поэтому появляется сила зазора,

(Окончание см. на с. 48)

Рис. 5.