Московский инженерно-физический институт

50

Московский инженерно-физический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$1 + \log_6 (4 \cos^2 x - \cos x - 1) = \log_6 (4 - 7 \cos x).$$

2. Каждый из двух сосудов содержит водный раствор уксусной кислоты. В первом сосуде содержится 15 % кислоты, а во втором — 75 % воды (по объему). Сколько литров каждого раствора нужно взять, чтобы, смешав их, получить 2 л нового раствора, содержащого не более q % кислоты?

3. Решите уравнение
   $$\sqrt{\frac{x}{4}} + 2 = c + \sqrt{\frac{x}{4}} - 3.$$

4. Высота SO правильно треугольной примыды SPQR имеет длину h и составляет с боковым ребром SP угол величины β. Найти плоскаде сечения примыды плоскостю, проходящей через ребро PR, если известно, что эта плоскад имеет наименьшее возможное значение.
   Вариант 2

5. Решите неравенство
   $$(x^2 + 13,3x + 44,1) \cdot \sqrt{\log_{0,3} |x + 6|} \ge 0.$$

6. Пунktы R и F находятся на реке, владающей в озеро, а пунktы E и Q — на озере. Пути от пунktов E и Q до устяраки (по озеру) парoxод преодолевает за p часов и за p+5 часов соответственно, а пути от устяраки до пунktов F и R за 11 часов и 13 часов соответственно. С какой скоростью движался парoxод по озеру, если скорости парoxода в стоячей воде и реки постоянны, а пути от E до F и от Q до R равны соответствующим 105 км и 131 км.

7. Найти все значения c, при которых система
   $$\begin{cases} \left(ctg x - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)(x + c) = 0, \\ -4 \leq x - 2 \end{cases}$$
   имеет только одно решение.

8. Вправильно усеченной четырехугольной примыде $PQRTP_1Q_1R_1T_1$ радиус окружности, описанной около ее нижнего основания $PQRT$, равен r, и боковая грань составляет с плоскостью $PQRT$ угол величины γ. В квадрат, образованный при пересечении данной примыды плоскостю, параллельной плоскости $PQRT$, вписан круг, является основанием прямого конуса с вершиной в точке пересечения диагоналей квадрата $PQRT$, причем секущая плоскость проведена так, что конус имеет наиболее возможный объем. Определите высоту этого конуса, если $|P_1Q_1| = a$.

Физика
Задачи устного экзамена

1. Два тела A и B с массами $m_1=1,5$ кг и $m_2=0,45$ кг соответственно подвешены на нитях к легкому коромыслу, плечи которого имеют длину $l_1=0,6$ м и $l_2=1$ м, причем тело A лежит на полу (рис. 1). На какой минимальный угол α следует отклонить подвеся тела B, чтобы после его отпускания тела A оторвалось от пола?
2. Пуля массой $m_1=9$ г, имеющая скорость $\vec{v}_0 (v_0=160 \text{ m/c})$, направленную под углом α=30° к горизонту (рис. 2), пробивает лежащую на подставках доку массой $m_2=0,3$ кг, после чего поднимается на максимальный высоту $H=45$ м над уровнем подставок. На какую высоту подрыгнет дока? Соответствием воздуха претенбруется.
3. Подвешенному на нити шарику сообщили начальную скорость в горизонтальном направлении. Когда нить отклонилась на угол α=30° от вертикали, ускорение шарика оказалась направленным горизонтальным. Найти угол максимального отклонения нити.
4. Шайба, скользывающая по гладкому полу со скоростью $v_0=12 \text{ m/c}$, поднимается на трамплин, верхняя часть которой горизонтальная, и сокращает с него (рис. 3). При какой высоте трамплина h дальность полета шайбы s будет максимальной? Какова эта дальность?
5. Телу массой $m_1=1$ кг, лежащему на длиной горизонтальной доске массой $m_2=2$ кг, сообщили начальную скорость $v_0=2 \text{ m/c}$ (рис. 4). Какой путь пройдет тело относительно доски, если коэффициент треня между ними μ=0,2, а трене между докой и плоскостью откутствует?
6. В закрытом откачанном цилиндре наружные подвешен скользывающий без треня поршень AB, положение равновесия которой находится у дна цилиндра (рис. 5). Под поршень вводится некоторое количество воздуха так, что поршень поднимается на высоту $h_1=10$ см при температуре воздуха $t_1=27^\circ\text{C}$. На какую высоту при температуре воздуха $t_1=27^\circ\text{C}$. На какую высоту при температуре воздуха $t_1=27^\circ\text{C}$.