Московский энергетический институт

53

4. Оdnородный стержень $AB$ опирается на шероховатый пол и удерживает от падения прикрепленной к вертикальной стенке горизонтальной нитью $BC$ (рис. 5). Коэффициент трения между стержнем и полом $\mu=0,5$. При каком угле наклона стержня к горизонтали стержень будет находиться в равновесии?

5. В цилиндре, закрытом поршнем, находится $m=0,2$ кг углесклого газа. Определите работу, которая совершается при изобарном нагревании газа на $\Delta T=88$ К.

6. Определите давление насыщенного водяного пара при температуре $t=17$ °C, если в комнате объемом $V=50$ м³ при относительной влажности $\varphi=65\%$ и указаанной температуре находится $m=0,476$ кг паров воды.

7. В схеме, изобаренной на рисунке 6, ключ $K_1$ замыкается и конденсатор заряжается. Затем ключ $K_1$ размыкается, а замыкается ключ $K_2$. Найдите ЭДС батарей, если направление на первом слева конденсатор после замыкания ключа $K_2$ стало равным $U=0,5$ В. Емкость всех конденсаторов одинакова.

8. Математический матрик представляет собой шарик массой $m=1$ г, подвешенный на нитей длиной $l=36$ см. Чему будет равен перiod колбанный матрика, если, сообщив шарик положительный заряд $q=6,7 \cdot 10^{-9}$ Кл, поместить матрик в однородное электрическое поле направенно $E(E=3 \cdot 10^5$ В/м), сольные линия которого направлены вертикально вниз?

9. Квадратная рамка со стороны $a=50$ см помещена в однородное магнитное поле перpendicularно магнитным линям поля. Определите индекцию магнитного поля, если известно, что при исчезновении магнитного поля в течение $\tau=0,01$ с среднее значение ЭДС индекции, возникающей в рамке, $\delta=50$ мВ.

10. Пучок параллельных лучей света шириной $b=20$ см выходит из стекаляной пластинки в воздухах через плоскую границу пластинки. Определите ширину лучка в воздухе, если угол падения луча на границу стекло — воздух $a=30^\circ$, а показатель преломления стека $n=1,8$.

Публичкацию подготовили
В. И. Башкиров, В. А. Карасев

Московский энергетический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Упростив выражение для $f(x)$, найдите $f'(x)$, если $f(x) = \left[ \frac{(\sqrt{3}+x)(\sqrt{3}-\sqrt{3}x)^{-1}}{(\sqrt{3}-\sqrt{3}x)(\sqrt{3}x-1)} \right]^{-1} + \frac{\sin x-\cos x}{\cos x} - \left( \sin \frac{\pi}{6} \right)^{-1}$, удовлетворяющие неравенству $\sqrt{(3\pi^2-\pi x-4x^2)^{-1}} \geq \log_\pi(1/e)$.

2. Диагональ прямогоного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол $a$, а с большей боковой границы — угол $\beta$. Найдите объем параллелепипеда, если площад его основания равна $S$.

Задачи устного экзамена

1. Пусть $M$ — ортцентр треугольника $ABC$ (то есть точка пересечения высот треугольника $ABC$). Докажите, что точка $M'$, симметричная точке $M$ относительно любой стороны треугольника $ABC$, лежит на окружности, описанной около этого треугольника.

2. Докажите, что функция $y=\cos \sqrt{3}x$ не является перiodичной.

3. Докажите, что при любом $a<4$ уравнение $\frac{\sin^2 x}{\sin^2 2x} + \frac{\sin^2 3x}{\sin^2 4x} + \frac{\sin^2 4x}{\sin^2 x} = a$ не имеет решения.

4. Докажите, что при всех $a \in ]0; \pi/2[$ справедливо неравенство

$$\text{ctg} \frac{a}{2} > 1 + \text{ctg} a.$$

5. Постройте графики функций

a) $y = \frac{x-1}{|x-1|}$; b) $y = 10^{\lg(-x)}$.

6. Найдите значения произвольных функций

a) $f(x)=2^{|x|}$; b) $f(x)=\frac{x|x-2|}{2(x-2)}$ в точке $x=1$.

54

7. Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt{\sin^{-4}x + \sin^4x + 2^{-x} - 3}$.

8. Докажите, что $\lg 1 - \lg 2 + \lg 3 - \lg 4 + \lg 5 - \lg 6 + \ldots + \lg 99 - \lg 100 < -1$.

9. Упростите выражение
   $$\left[ 2 + \lg \frac{x^2}{y^2} - 2 \lg (-x) + 2 \lg (-y) \right]^{\lg_2 3}.$$

10. Вычислите без таблиц
    $$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ.$$

С 1982 года в Московском энергетическом институте проводится эксперимент по проведению устного экзамена по математике с применением ЭВМ. В 1984 году такой экзамен проводился на одном из факультетов. Мы проводим один из вариантов экзаменационного задания, состоящего из 20 примеров и задачи. Абитуриент записьвает ответ на специальном бланке. Проверку правильности ответа проводит ЭВМ.

Вариант 1

1. Сколько цфр содержится в числе $2^{100}$, если считать, что $\lg 2=0,301$?
2. Найдите значение произвольной функции $f(x)=2 \cdot \sin \left(x+\frac{1}{x}\right)$ при $x=1$.
3. Найдите число, 7,5 % которого равно $A$, где
   $$A = \frac{\left(8 \frac{7}{55} - 6 \frac{17}{110}\right) \cdot 1 \frac{3}{217}}{\left(\frac{2}{5} - \frac{3}{20}\right) \cdot 1 \frac{7}{8}}.$$
4. Известно, что числа $x$, $\sin 2x$, $\sin 3x$ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите значение $y = \lg 2x - 0,21$.
5. В правильной четырехугольной прямоугольнике диагональ основания равна ее боковому ребру. Найдите объем прямоугольника, если ее боковое ребро равно $\sqrt{3}$ см.
6. Решите уравнение
   $$\frac{x}{2} - 2 = \frac{x^2}{2(\sqrt{x} + 1) + 1)^2}.$$
7. Найдите наименший положительный перiod функции $f(x)=5 \sin (xx-1)$.
8. Какое число больше: первое или второе?

1. $(\log_2 5)^2$; 2) $\log_2 20$. В ответе указывает число числа.

9. Найдите значение $x$ из пропорции
   $$\frac{3^{1/3} \cdot x}{\left(\frac{1}{9}\right)^{-2}} = \frac{81^{-4} \cdot (\sqrt{3} \sqrt{9})^2}{\left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \sqrt[8]{81}}.$$
10. Решите уравнение
    $$\log_\pi \cos x = x^2.$$
11. Найдите наименшее значение функции $f(x)=\sin \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin^2 \frac{x}{4}$.
12. В геометрической прогрессии третий член равен 16, седьмой член равен 1. Найдите перый член этой прогрессии.
13. При каком значении $a$ уравнение $\sin x = \frac{1}{2} (a+2)$ допускает решение $x = \frac{\pi}{6}$?
14. В уравнение $5x^2 + bx - 28 = 0$ найдите значение коэффициента $b$, если известно, что число $b$ целое и что корни уравнения $x_1$ и $x_2$ связаны соотношением $5x_1 + 2x_2 = 1$.
15. Вычислите без таблицы $(\lg 10^{\sin 1})^2 + (\log_3 3^{\cos 1})^2$.
16. Okоло кругга радиуса 2 см описана равновесная трапеция с острым углом $30^\circ$. Найдите длину средней линии трапеции.
17. Решите систему уравнений
    $$\begin{cases} \lg(x) = 0, \\ x^2 - x \sqrt{3} = 0. \end{cases}$$
18. Найдите наибольший корень уравнения $\log_2(9^{x-1} + 7) = 2 + \log_2(3^{x-1} + 1)$.
19. Вычислите значение $\sin^6 a + \cos^6 a$, если известно, что $\sin 2a = \frac{1}{5}$.
20. Сколько целых значений $x$ удовлетворяют неравенству
    $$\left| \frac{3}{x+4} \right| > 1?$$

Физика
На одних факультетах экзамен по физике проводится в письменной форме, на других — в устной.

Писменный экзамен
Вариант 1

1. Электромагнитная индукция. Поток магнитной индукции. Электродвижущая сила индукции. Правило Ленца.
2. Электрический заряд +Q перемещается в электрическом поле плоского конденсатора по траектории $ABCDA$ (рис. 1). На каких участках работа поля по перемещению заряда отрицательна? положительная? равна нулю? Какова работа по перемещению заряда по всей траектории $ABCDA$?
3. Пушка, стоящая на платформе, стреляет в направлении рельсов под углом $a=30^\circ$ к горизонту. Масса снаряда $m=50$ кг, начальная скорость снаряда $v_0=600$ м/с. Какую скорость прибретет платформа при выстреле, если ее масса с пушкой составляет $M=5 \cdot 10^4$ кг? Платформа не заторможена.
4. Луч света падает под углом $a$ на плоскопаральную пластину, толщина которого $d$. Вычислите среднее луца при его прохождения сквозь пластину. Показатель предположения стека $n$.
5. При одинаковых соуса, соединенных тонкими телопропроводящими трубками, заполнены при температуре $T_1=10$ К неокотorbим количеством газообразного гелия. Затем один из сосудов нагрели до $T_2=40$ К, а второй до $T_3=100$ К. Температура третьего соуса остается неизменной. Во сколько раз изменилось давление в системе?
   Вариант 2
6. Закон Архимеда для жидкости и газов. Выталкивающая сила. Условие плавания тела.
7. Постройте ход луечей 1 и 2, предположенных рассеяющей линзой; $F_1$ и $F_2$ — фокусы линзы (рис. 2).
8. Два одинаковых проводящих шарика, обладающие зарядами $Q_1=5 \cdot 10^{-8}$ Кл и $Q_2=1 \cdot 10^{-8}$ Кл, находятся на расстоянии $l=4$ см друг от друга. Их приводят в соприкосновение и удаляют на прежнее расстояние. Найдите силу взаимодействия до и после соприкосновения шариков. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м.
9. С какой высоты $H$ падает тело массой $m$ на невескомуюружину жесткости $k$, если