Loại đáp số nào?

26

Loại đáp số nào?

Lý do viết ghi chú này là bài toán như sau:
Tại mức p nào thì phương trình
$$\lg(x^2+2px)-\lg(8x-6p-3)=0$$
có một gốc?

bài toán này, được đề xuất trong kỳ thi tuyển sinh môn toán tại Học viện Kỹ thuật Belarus mang tên. S. M. Kirov, đã có lúc được đưa vào bộ sưu tập bài toán, xuất bản năm 1983 trong ấn bản thứ hai *). Bộ sưu tập này chứa lời giải chưa hoàn chỉnh - chỉ có một trường hợp có thể được xem xét.

Để hiểu những gì đang diễn ra ở đây, trước tiên chúng ta sẽ xem xét một ví dụ đơn giản hơn với cùng một công thức, trong đó, bằng cách vẽ một bức tranh, bạn có thể nhìn thấy ngay mọi thứ.

Đây là ví dụ này:
Tại mức p nào thì phương trình
$$\frac{\lg px}{\lg(x+1)}=2$$
có một gốc?

Lời giải. Phương trình này tương đương với hệ
$$\begin{cases} px>0, \\ x>-1, \\ px=(x+1)^2, \\ x>-1, \\ x^2+(2-p)x+1=0. \end{cases}$$
Trường hợp đầu tiên. Phương trình bậc hai có một nghiệm duy nhất (hình 1).

Trong trường hợp này, phân biệt của phương trình bằng 0, tức là $(2-p)^2=4$, do đó p=0 và p=4. Vì p=0 không phù hợp với chúng ta nên chúng ta chỉ còn lại p=4. Với p=4 có một nghiệm duy nhất x=1.

Trường hợp thứ hai. Một phương trình bậc hai có hai nghiệm, nghiệm lớn hơn rơi vào ODZ, còn nghiệm nhỏ hơn thì không.

Do đó, nếu $x_1$ và $x_2$ ($x_1<x_2$) là nghiệm của một phương trình bậc hai thì phải có $x_2>-1$ và $x_1\leq-1$ (xem hình 2, a, b). Điều kiện này tương đương với thực tế là đối với hàm $f(x)=x^2+(2-p)x+1$ phải có $f(-1)\leq0$. Từ đây chúng ta tìm thấy p<0. Vì px>0 nên p=0 không phù hợp. Vì vậy, đáp số trong na-

*) E. A. Ostrovsky, I. M. Angileiko, P. V. Atrashonok, R. V. Kozlova. Đề thi môn toán vào đại học. Minsk: Trường trung học, c. 15.