Какой же ответ?

26

Какой же ответ?

Поводом для написания этой заметки послужила следующая задача:
При каких p уравнение
$$\lg(x^2+2px)-\lg(8x-6p-3)=0$$
имеет один корень?

Эта задача, предложенная на вступительном экзамене по математике в Белоруссом техническом институте им. С. М. Кирова, была в свое время включена в сборник задач, вышедший в 1983 году вторым изданием *). В этом сборнике приведено неполное решение — рассмотрен только один возможный случай.

Чтобы получить, в чем здесь дело, мы сначала разберем более простой пример с точно такой же формулировкой, в котором, нарисовав картину, можно сразу все увидеть.

Вот этот пример:
При каких p уравнение
$$\frac{\lg px}{\lg(x+1)}=2$$
имеет один корень?

Решение. Данное уравнение эквивалентно системе
$$\begin{cases} px>0, \\ x>-1, \\ px=(x+1)^2, \\ x>-1, \\ x^2+(2-p)x+1=0. \end{cases}$$
Первый случай. Квадратное уравнение имеет единственный корень (рис. 1).

В этом случае дискриминант уравнения равен нулю, то есть $(2-p)^2=4$, откуда p=0 и p=4. Поскольку p=0 нам не годится, остается p=4. При p=4 находится единственный корень x=1.

Второй случай. Квадратное уравнение имеет два корня, больший из которых попадает в ОДЗ, а меньший — не попадает.

Таким образом, если $x_1$ и $x_2$ ($x_1<x_2$) — корни квадратного уравнения, то должно быть $x_2>-1$, а $x_1\leq-1$ (см. рисунки 2, а, б). Это условие эквивалентно тому, что для функции $f(x)=x^2+(2-p)x+1$ должно быть $f(-1)\leq0$. Отсюда находится p≤0. Поскольку px>0, значение p=0 не годится. Таким образом, ответ в на-

*) Е. А. Островский, И. М. Ангилейко, П. В. Атрашонок, Р. В. Козлова. Задание по математике на вступительных экзаменах вузах. Минск: Вышэйшая школа, c. 15.