Эволюционные процессы и обыкновенные дифференциальные уравнения

Квант 1986, №2 с. 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20 Тег 0QWV

В. И. АРНОЛЬД

«Уравнение было очень сложное, но процессор с присущей ему скромностью называл его обыкновенным».

Из газетного интервью с математиком.

Дифференциальные уравнения — одно из основных орудий математического естественного назывения. Избрел их Исаак Ньюотон (1642—1727). Задчи по существу приводаше к дифференциальным уравнениям появлялись и до Ньюотона. Однако решать их умели лишь такие гении, как президент французской Академии наук X. Гойгенс (1629—1695) и учитель Ньюотона, математик и богослов, проповедник английского короля И. Барруу (1630—1677). После Ньюотона их решают любые студенты и даже школьники.

Ньюотон считал свое изобретение настолько важным, что защищовал его в виде анграммы*), смысл которого в современных терминах можно волно передать так: «полезно» решать дифференциальные уравнения (так как им выражаются законы природы).

В другой, более длинной анграмме Ньюотон защищал также и придуманный им решит решения всех уравнений, в том числе и дифференциальных.

Teorия дифференциальных уравнений переработывает вопросы естественного

*) бассдаe13eff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx. Рассшифровка: Data aequatione quotunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire et vice versa, то есть «по данному уравнению, содержащему сколько-нибудь функций, найти производу и обратно». Эта анграмма содержится в знаменитом «втором письме» Ньюотона секретарю Королевского общества (английской академии наук) Ольденбергу от 24 октября 1676 г. Письмо предназначалось Лейбниццу (1646—1716) и содержало сообщение об изобретении математического анализа. Переписку с Лейбницем, жившим в Германии, Ньюотон вел через Ольденбурга (которого впследствие заключили в Тауэр за связь с иностранцами).

Знания в геометрическе задачи о кривых, определяемых векторными полями (см. ниже) подобно тому, как декартов метод координат превращает вопросы об алгебраических уравнениях в задачи о линейях и поверхностях.

Состояния процесса

Чтобы изучить какой-либо процесс, нужно прежде всего уметь описывать множество всехозможных состояний этого процесса. Посмотрим, как это делается, на примерах.

Движение точки по прямой. Опыт показывает, что для определения движения матриальной точки по прямой в отсутствие внешних сил достагоно задать в начальной моменте ее скорость и положение на прямой. Поэтому множество всех состояний математикой отложствует с координатной плоскостью (s; v): каждой точке на этой плоскости obtueает матриальная точка, движущаяся со скоростью v и занимающая положение с координатой s, и обратно — каждому состояние ответает свойства точки плоскости (рис. 1).
Колебания матрика. Состояние плоского матрика тоже описывается двумя параметрами, например углом отклонения θ от вертикали и угловой скорость ω матрика (рис. 2). Стало бы, множеством состояний матрика снова будет плоскость? Не совсем. Дело в том, что при изменении угла θ на 2π матрик возвращается в прежнее положение. Поэтому множествое состояние здесь — цилиндрическая поверхность (рис. 2).
Положение возврана на двух дорогах. Города A и B соединены двумя непересекающими дорогами, на каждой из которых находится возвр; нас интересует их взаимное расположение. Положение возврана на первой дороге (рис. 3) можно определить числом — долей расстояния от A до B (по первой дороге), заключенной между A и возвром; аналогично, возвр должен определяться такой же долей по второй дороге. Поэтому интересующей нас множество состояний описывается точками (x; y) единичного квадрата (0≤x≤1, 0≤y≤1).

Множества состояния процесса в теории дифференциальных уравнений называют фазовыми пространствами.

Итак, каждая точка фазового пространства (фазовая точка) изображает состояние процесса. А само течение конкретного процесса изображается линий в фазовом пространстве; эти линии называются фазовым траекториями.

Введение фазового пространства процесса геометризует теорию — вопросы о хode процесса превращаются в вопросы о поведении фазовых траекторий. Получащие геометрические задачи могут быть трудными. Однако бывают и так, что уже одно введение фазового пространства позволяет решить трудную задачу.

Задача (H. H. Константинов). Из города А в город В ведут две непересекающая дороги. Известно, что две машины, выездящие по разным дорогам из А в В и связанные вервой некоторой длины, меньше 2l, смолли проехать из А в В, не порвав вервки. Могут ли разминутся, не коснущись, два крульных воза с семом радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг друга?

Фазовым пространством здесь служит единчный квадрат. Начальное положение машин (в городе A) соответствует левому нижнему углу квадрата, а движение машин из A в B изображается кривой, ведущей в противоположный угол квадрата (левый верхий). Но всякие две кривы в квадрате, соединяющие разные пары противоположных вершин, пересекаются. Поэтому, как бы ни движались возы, наступит момент, когда пара возовзамет полностью, в котором была в некоторый момент времени пара малина. В этот момент расстояние между центрами возов будет меньше 2l. Итак, разминутся не удается.

В рассмотрении задаче не участвовали дифференциальные уравнения, но ход рассужdenный близок к тому, чем мы будем заниматься дальнейше: описание хода процесса как линии подхождения фазового пространства часто оказывается чрезвычайно полезным.

Общая схема теории дифференциальных уравнений такова. Посокльку начальное состояние рассматриваемых нами процессов определяет их будущий ход, оно определяет и скорость изменения состояния, то есть скорость движения фазовой точки. Зависимость скорости движения фазовой точки от ее положения (или локальный закон эволюции процесса) как раз и выражается, по Ньюотону, дифференциальным уравнением. Геометрические это уравнение изображается векторное поле фазовой скорости (см. например, рисунки 5,11 ниже). Теория дифференциальных уравнений должна по векторному полю описывать ход процесса, то есть нахождение траектории движения фазовых точки, отвечать на вопросы о характеристике их движения (например, на такие вопросы: будут ли траектории ограничены? возвращаются ли они к исходной точке?). Значение этих вопросов для изучения процесса очень удобно.

Уравнение математического матрика

Согласно законам механики угловое ускорение матрика пропорционально моменту силы тяжести (рис. 4)

Рис. 1. Движение по прямой. Рис. 2. Колебания матрика.

Рис. 3. Задча о двух возах на двух дорогах.

$I\ddot{\theta} = -mgl \sin \theta,$

где $m$ — масса, $l$ — длина, $\theta$ — угол отклонения; точка сверху означает производную по времени $t$ (здесь и всиду ниже), две точки — вторую производную*), $I = ml^2$ — момент инерции. Знак минус в уравнении объясняется тем, что момент стремиста уменшить отклонение. Последнее получим $\ddot{\theta} = -k \sin \theta$ , где $k = g/l$ . Коэффициент $k$ можно сделать равным 1 подходящим выбором масштаба времени (поделив $t$ на $\sqrt{k}$ ). Тогда уравнение математического матрика примет вид

$\ddot{\theta} = -\sin \theta.$

(1)

Фазовым пространством матрика является цилиндр ( $\theta; \omega$ ), где $\omega = \dot{\theta}$ — угловая скорость. Мы можем записать уравнение (1) в виде системы

$\dot{\theta} = \omega, \dot{\omega} = -\sin \theta,$

(2)

в котором входят только первые производные неизвестных $\theta$ и $\omega$ . Эта система выражает локальный закон эволюции состояния матрика: скорость изменения выражена через само состояние.

Решить уравнение (1) (или систему (2)), оказывается, не так легко. Если ограничиться небольшими углами $\theta$ (мальые колебания), то $\sin \theta \approx \theta$ . Поэтому при малых $\theta$ пользовется вместе (1) приближенным уравнением $\ddot{\theta} = -\theta$ . Оно называется уравнением малых колебаний матрика. Его решения $\theta = C \sin (t + \varphi)$ вам известны из курса физики: при малых углах отклонения плоской математической матриксовает гармоничное (синусоидальное) периодическое колебания. Вопрос о том, насолько меняется этот выбор при переходе к истинному уравнению матрика (1), нуждается в специальном исследовании.

Воспользуемся фазовым пространством системы (2) — цилиндром ( $\theta; \omega$ ). В каждой точке фазового пространства построим вектор фазовой скорости, то есть вектор с координатами ( $\dot{\theta}; \dot{\omega}$ )=(ω; —sin $\theta$ ) — геометрический эквивалент закона природы (1). Полученная картика — поле фазовой скорости — изображена на рисунке 5 (для наглідності мы разрезали цилиндр по образу щей и развернули его).

На этой картине можно разгладеть следующое. В двух точках фазовая скорость равна нулю. Точке $A$ obtueает нижнее (устойчивое) положение равновесия, точке $B$ — верхнее (неустойчивое) положение равновесия. При малых значениях $\theta$ , $\dot{\theta}$ видно, что точки фазового пространства перемещаются по замкнутым кривым, положим на окружности (мальые колебания), при увеличении $\theta$ замкнутые кривые увеличиваются и растягиваются в подобие элиппсов (колебания большой амплитуды)*). Особую роль играют траектории, помещенные красным

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin tg x - tg \sin x}{x - 0} = \arcsin \arctg x - \arctg \arcsin x$

мгновенно из геометрических сообщений (редко кто из современных математиков справляется с вычислением этого предела за час).

ными стрелками: упавший из положения неустойчивого равновесия матрик совершает полный оборот и вновь замирает в верхнем положении. Эта траектория отделяет колебания от (неравномерных) врашений, которые совершает матрик, если его скорость при $\theta = 0$ превышает в наших безразмерных единицах число 2.

Караси ( нормальное размножение)

В большомруду разводят караси. Караси не мешают друг другу, когда им хватает. Как будет меняться число караси $x(t)$ с течение времени $t$ ? Скорость прироста караси при этих условиях оказывается пропорционально количеству особей; поэтому можно написать

$\dot{x} = kx, \quad k > 0.$

(3)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением нормального или мальтизанского размножения*). (Напомним, что $\dot{x}$ обозначает производную по времени.)

Теорема существования. Любая функция вида $x = Ce^{kt}$ , где $C$ — постоянная, является решением уравнения (3).

Доказательство: подставьте в уравнение.

Из доказанной теоремы следует

Теорема единственности. Других решений у уравнения (3) нет.

Доказательство. Любую функцию можно записать в виде $x(t) = C(t)e^{kt}$ . Тогда $\dot{x} = Ce^{kt} + kx$ . Поэтому для выполнения равенства $\dot{x} = kx$ необходимо и достаточно, чтобы $C = 0$ , то есть чтобы $C$ было константой.

Графики решений уравнения называются интегральными кривыми. Эти кривые лежат в пространстве — времени, то есть на плоскости с координатами $(t; x)$ . Для вычерчивания интегральных кривых полезна заготовка, которая называется полем направленной уравнения и состоит из маленьких отрезков, приложенных в каждой точке пространства — времени под углом к оси времени, тангенс которого равен правой части уравнения.

*) В некоторых случаях скорость размножения оказывается пропорциональной не числу особей, а числу пар. Такое anomalное размножение города медленнее обычно при малой плотности населения (например, китам неокторы видов трудно найти пару). Например, при больших $x$ размножение со скоростью, пропорциональной $x^2$ , приводит к *взрыву» за конечное время: график $x(t)$ имеет вертикальное асимптоту (почему?). Эта ситuation реализуется в уравнении химической кинетики, где скорость реакции пропорциональная количеству каждой из реакентов.

Рис. 6. Поле направленной уравнении нормального размножения $\dot{x} = kx$ и решение, проходяще через начальную точку $(t_0, x_0)$ .

нения ( $kx$ для уравнения (3), см. рис. 6). Интервальная кривая в каждой точке касается соответствующего отрезка и, обратно, кривая, всуду касающаяся наших отрезков, будет графиком решения (в этом и состоит геометрический смысл дифференциального уравнения).

Мы только что доказали, что через каждую точку пространства — времени проходитровно одна интегральная кривая $x = Ce^{kt}$ уравнения (3). Эта формула выражает закон нормального размножения: для уравнения количества караси всегда требуется одно и то же время независимо от их количества. Период уравнения населения Земли в настоящее время около 40 лет. Следовательно, число жившихся людей больше числа всех когда-либо умерших людей, если бы скорость прироста не менялась. Время существования человека получается тогда порядка 2000 лет; следовательно, скорость прироста населения равше бы меньше 1/v(x). Вдоль интегральной кривой (если она нигде не параллельна оси $t$ ) можно выразить $t$ в виде функции от $x$ . Обозначая производную по $x$ шрихом, получим $t' = 1/v(x)$ . Значит, $t$ есть первообразная от

Рис. 7. Поле направлен и графики решений логического уравнения $x=(1-x)x$ . Решения $x=1$ и $x=0$ отведют положимым источником и неустойчивого равновесия.

1/v. Это позволяет выразить $t$ через $x$ , а затем и $x$ через $t$ . (Разумеется, прямые пространства — времени, где $v(x)=0$ , приходит выкидывать, чтобы не делить на нуль.) При $v(x)=kx$ получаем $t'=1/kx$ , $kt=\ln|x|+const$ , $x=Ce^{kl}$ .

Теорема единственности, утверждающая, что не совпадает интервальные кривые не пересекаются, — чрезвычайно удивительные факты, противоречий наглядной очевидности и физической опыту. Например, интервальные кривые уравнения (3) при $k=1$ , проходящие через точки (0; 0) и (0; 1) при $t=-5$ на глаз неразличимы, а при $t=-30$ между ними не уменьшаются и.atoms. Тем не менее математики считают их нересекающимся и при $t=-10^{10}$ .
В физической литературе последнего времени подвергается сомнению данный Ньюотоном в 1684 году вывод законов Кеплера из (указанного ему Гуком в письме от 6 января 1680 г.) закона всемирного теотения: этот вывод не использовет не доказываемого Ньюотом теорему единственности для уравнения движения. В действительности, однako, единственное следует из существования решения, зависимости которого от начальной точки выражается дифференцируемой функцией. Доказательство единственности в этом случае аналогично приведному выше для уравнения разновения, нужное же решение Ньюотон предъявил. В письме Галлею о своей дискуссии с Гуком Ньюотон для описание различных между подходами математков (Ньюотона) и физков (Гука) к естественным, остающейся актуальным и сегодня: «Математики, которые все открывают и установливают и продельывают всю работу, должны довольствовать роль сухих вычислителей и черногоабочики; другой, который всего лишь все схватывает и на все претендует, присваивает себе изобретения как своих последовательелей, так и своих предшественников». В обязанности Гука как куратора Королевского общества входило доказывать опитами на ежедневных засаданных общества по 2 или 3 новых закона природы, что он и делал в течение 40 лет. Доказываемые законы могут быть открыты и другими, но Гук насчитывает до 500 законов, открыты лишь им. Естественно, он не все успевал обосновывать математические.

Вернемся, однако, к нашим карамям. Через некоторое время карамей станет стол много, что им не будет хватать корма и им станет тено; дальнейший прирост уже не будет удовлетворять уравнению (3).

Караси при нежватке пищи (логистическая кривая)

Если наш продукт с карамями неVELик, или если число карамей в большом продукty сильно возросло, конкуренция из-за пищи приводит к уменьшению скорости прироста. Простейшее предположение состоит в том, что коэффициент $k$ зависит от числа карамей линейно, то есть $k=a-bx$ (при неслишком больших $x$ всякую гладкую функцию можно аппроксимировать линейной). Мы приходим, таким образом, к уравнению размножения с учетом конкуренции: $\dot{x}=(a-bx)x$ . Коэффициенты $a$ и $b$ можно превращать в единицы выбором масштабов $t$ и $x$ . Мы получаем так называемое логистическое уравнение

$\dot{x}=(1-x)x.$ (4)

Поле направлену уравнения (4) в пространстве — времени показано на рисунке 7, а рядом, на рисунке 7, б, показаны графики решений. S-образные интервальные кривые в полосе $0<x<1$ называются логистическими кривыми. Мы видим, что 1) процесс имеет два положения равновесия: $x=0$ и $x=1$ ;
2) между прямыми $x=0$ и $x=1$ поле направлено вверх от 0 к 1, а при $x>1$ — вниз к 1.

Таким образом, положение равновесия 0 неустойчиво (раз появшеся населенение карамей начинает расстил), а положение равновесия 1 устойчиво (меньше населенение расстил, больше — убывает). Каким бы ни было начальное число карамей $x>0$ , с течение времени процесс выходит к устойчивому состоянию равновесия $x=1$ . У каждой пруда, таким образом (при неизменных прочих условиях), имеется свое «правильное» число карамей, и любая популяция карамей будет к этому числу стремиться.

Ловля карасей

До сих пор мы рассматривали свободную популяцию карасей, развивающийся по своим внутренним законам. Предположим теперь, что мы карасей вылавливаем (скажем, колхозный пруд регуляро снабжает местный рыбный магазин живой рыбой). Предположим, что скорость отлова постоянна. Мы приходим к дифференциальному уравнению отлова
$\dot{x} = (1-x)x-c.$ (5)

Величина $c$ характеризует разрешаемую скорость отлова и называется кватой.

На рисунке 8 показаны три разновидности графиков решения уравнения (5) при трех разных $c$ .

Мы видим (рис. 8, а), что при неслишком большой скорости отлова ( $0<c<1/4$ ) существует два положения равновесия ( $x=A$ и $x=B$ на рисунке). Нижнее положение равновесия $A$ неустойчиво. Если по каким-либо причинам (перелов, болеени) в некоторых моменте величины популяции $x$ осуществляется ниже $A$ , то в дальнейшем все популяция за конечное время исчезнет. Верхнее положение равновесия $B$ устойчивое — это Staционный режим, на который выходит популяция при постоянном отлове $c$ . Естественно, равновесное населенение пруда, в котором произвольится отлов менше, чем в пруду, в котором лов не ведется.

Если $c > 1/4$ (рис. 8, b), то равновесий нет и все караси будут отловлены за конечное время (завышенный план по продаже живой рыбы в магазина приведет к ее гибели; исторический пример такого рода — истребление стеллеровой коровы).

При $c = 1/4$ (рис. 8, б) имеется одно неустойчивое состояние равновесия $(A=B=1/2)$ . Отлов с такой скоростью при достаточно большой начальной популяции математически возможно в течение сколь угодно длительного времени, однako сколь угодно малое количество численности установившейся равновесной популяции вниз (см. точку $F$ ) приводит к полному отлову карасей за конечное время (план отлова $c = 1/4$ для магазина «Рыба» тоже не годится).

Таким образом, хотя теоретически допустимы любые квоты вплоть до максимальной ( $c \leq 1/4$ ), максимальная kvota $c = 1/4$ приводит к неустойчивости и недопустима*. Более того, практические недопустимы и близкие к $1/4$ kvоты, так как при них опасный порог $A$ близок к установившейся режиму $B$ (необольшие случайные отклонения отравыают популяцию ниже порога $A$ , после чего она погибает).

Оказывается, что все же можно так организовать отлов, чтобы устойчиво получать лов со скоростью $c = 1/4$ . Посмотрим, как это делается.

Введение обратной связи

Фиксируем вместе абсолотной скорости отлова относительно, то есть фиксируем отлавливаему его единицу времени долю наличной популяции:

$\dot{x} = (1-x)x - px.$ (6)

На рисунке 9 показано пространство — время для уравнения (6) (при $p < 1$ ) и графики некоторых решений. Видно, что нижнее, неустойчивое положение равновесия теперь в точке $x = 0$ , второе положение равновесия $B$

*) Важный для экономики вывод математической экономии: стремление максимизировать приблы, доход или количество продукции через/to возникновением неустойчивости системы.

Рис. 8. Решения уравнения отлова $\dot{x} = (1-x)x - c$ при разных значениях квоты отлова $c$ . При $c < 1/4$ любая популяция стреми к устойчивому равновесию $x = A$ , при $c = 1/4$ положение равновесия неустойчиво, при $c > 1/4$ любая популяция вымирает.

множение карасей приведет к тому, что со временем ищу нанунт размножаться.

Но вернемся ли мы к точке A? Иными словами, будет ли процесс колебания повторяться периодически? Ответ на этот вопрос зависит от выбора начальной точки A (а также от значения параметров системы). К этому вопросу мы вернемся в одном из следующих номеров журнала.

Задачи

Найти уравнение логистического кривой.
Являются ли интегральные кривы уравнения (5) и (6) расстояния логистических кривыми?
Докажите, что интегральные кривы уравнения (5) и (6), расстояние в неполосы между A и B, имеют вертикальные асимптоты.

Города для электронов

(Начало см. на c. 6)

После формирования разводки и контактов БИС готовы. Каждый из них тщательно проверяет на работоспособность прямо на пластине. Kontrolный автомат, управляемый компьютером, опускает на БИС точныйше иглы- контакты и посылает в схему серию тестовых импульсов тока (как говорят, «прозваивания» схему). Если схема содержит миллион элементов, то число тестовых импульсов — до десять тысяч. Ответ экзаменуемой схемы принимает ЭВМ. Если БИС отзывается не так, как надо, или молчит, контрольный автомат помещает ее капелькой магнитной краски. После того как кремневую пластину разделят на сотни готовых микросхем (это делают алмазным резцом или лазерным лучом), электромагнит выберет менее забракованные схемы.

А исправные готовые БИС теперь осталось помещить в корпус. Небольшая коробочка из керамики, металла или пластиссы должна ограничить микросхему от внешних повреждений, воздействия атмосферы, случайных электрических полей, обеспечить охлаждение работающего микросхемы. Поэтому, несмотря на внешнюю про-
стоту, конструкция корпуса тщательно продумывается и просчитывается. В некоторых типах микросхем стоимость корпуса и работ по «упаковке» достигает третьи все стороны БИС.

Тепер, когда процесс изготовления микросхемы закончился, кончается и аналогия с градостроительством. Никакой город-новостройка не подвергается испытаниям на устойчивость к строгадуной жарке и к морозу в —60 °C, к землетрясению в 9 баллов, к удару при padении с трехметровой высоты; добавьте проверку на герметичность в морском тумане, на выдерживание предельного рабочого режима и т.п. Если БИС все это выдерживает, ее можно передать потребителю.

Микроэлектронка — это союз многих наук: матерIALоведения, точной механики, квантовой оптики, электрофиизики, фотохимики, кибернетики,… Нельзя сказает, что здесь главное, что второстепенное. Лучше, чем располагают сегодня наука и техника, создает технологию производства микросхемы. Мы рассмотрели лишь самые типичные и сравнительно простые для понимания элементов технически. Но и они, и другие варианты технически и близкие перепективы технически БИС всегдают надежны на то, что вершины микроэлектронной технически еще далеко впереди.