Полезные формулы

33

много чисел, являющихся квадратами и суммами двух квадратов одновременно; это — «пифагоровы тройки». Также существует бесконечного много кубов, являющихся суммами трех кубов, и т. д.

В 1742 году в переписке двух академников Петербургской Академии наук Х. Гольдбаха и Л. Эйлера возникла следующая проблема (она носит название проблемы Гольдбаха): верно ли, что каждое четное число, большее двух, представляет в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечетное число, большее семи, представляет в виде суммы трех простых чисел. Существный вклад в решение этих проблем внесли советские математики И. М. Виноградов и Н. Г. Чудаков.

Класс проблем, связанных с представлением чисел в виде сумм чисел заданного вида, получили название additивной теории чисел (от латинского additivus — прилагаемый, получающийся в результате сложения).

В противоположность простым числам, математики рассматривают числа, имеющие очень много делителей. Натуральное число называется сверхсоставным, если у него больше различных делителей, чем у любого из натуральных чисел, меньше его. Единица со своим единственным делителем является сверхсоставным числом (поскольку нет натурального числа, меньше ее). Следующим сверхсоставным числом будет простое число 2, имеющее два делителя 1 и 2; далее — число 4 с тремя делителями 1, 2 и 4; потом 6 с четырьмя делителями. Можно было предположить, что всякое число $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ будет сверхсоставным, но это не так. Попробуйте отыскать следующие десять сверхсоставных чисел.

Для нахождения числа различных делителей у чисел существует формула. Известно, что всякое натуральное число $n$ представляет в виде произведения степени простых чисел и притом единственным образом:

$$n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots \cdot p_s^{k_s}$$

(эта теорема носит название основной теоремы)

А. П.

Полезные факты

Признак делимости на 11

Для того чтобы число, записанное в десятичной системе счисления, делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делилась на 11.

Теорема Вильсона

Число $(n-1)!+1$ делится на $n$ в том и только в том случае, если $n$ — простое число.

Малая теорема Ферля

Если $p$ — простое число, то для любого натурального числа $a$ число $a^p$ — а делится на $p$.

34

В результате в чрезвычайно узкой зоне контакта шарика и пластины образовывался медно-золотой сплав.

Температура плавления чистого золота — 1063 °C, чистой меди — 1083 °C, а сплавы золота с медью плавятся при более низких температурах. Например, сплав, состоящий из равного количества атомов золота и меди, плавится уже при 910 °C. Именно это обстоятельство является ключевым для разгадаки секрета ювелиров Этрурии. Они повышали температуру до того предела, что расплавлялась только зона образовывающего сплава, а сами золото и медь оставались в твердом состоянии. При последующем охлаждении расплав затвердевал, и крупинка, практические не потеряв своей сферической формы, приварилась к основанию из меди. Этот процесс одновременно происходит во всех крупинках, и весь приклеенный к папирсу узор оказывается как «сведенным» (по аналогии с переводными картинами) на медь. Папирус при столбь высоких температурах сторал dotла, и изделия было готово. Медь описывается не успевала, так как процесс проискодил достаточно быстро и значительно часть кислорода принимал на себя при сторании папирус.

Древние ювелирные секреты и сегодня разгаданы не до конца. Остатся неясным, например, как эструкам удавалось изготовлять мелчайшие золоты шарики. Но более всего удивляет то, как вообще сумели мастер далекого прошло выработать столбь изшренную технологию. Какой удивительной комбинации случая, опыта и произнения обязаны эструки своему открытию? может быть, это когда-нибудь станет известным, а пока мы может лишь воздать должное исчезнутьшему народу и повторить слова древнеримского историка Гая Саллюстия: «ЧERO люди сумeiот добиться, возделывая землю, плавая металл и возводя строения, зависит от их духовной силы».

Наша обложка

(Начало см. на с. 27)
касается той же плоскости, было равно $2\sqrt{R_1R_2}$, где $R_1$ и $R_2$ — радиус шара и основания цилиндра.

Пусть $A$ и $C$, $B$ и $D$ — точки касания шаров радиусов $R_1$ и $R_2$ соответственно с плоскостью, $l$ — прямая, по которой цилиндр касается плоскости. Из приведенного выше утверждения следует, что $AB=BC=CD=DA=2\sqrt{R_1R_2}$, то есть $ABCD$ — ромб (рис. 2), причем его диагонали равны $2R_1$ и $2R_2$.

Кроме того, точки $A$ и $C$ удалены от прямой $l$ на одной и то же расстояние (равное $2\sqrt{R_1r}$). Следовательно, эта прямая либо проходит через середину $O$ отрезка $AC$ (центр ромба), либо параллельна $AC$. После нее невозможно, так как точки $B$ и $D$ также удалены от $l$ на одной и то же расстояние ($2\sqrt{R_2r}$). В итоге получается чертеж, показанный на рисунке 2.

Из прямогоного треугольника $AOB$ получаем уравнение $AB^2=AO^2+OB^2$, или $4R_1R_2=R_1^2+R_2^2$.

Далее, если $\alpha$ и $\beta=\pi/2-\alpha$ — углы между прямой $l$ и прямыми $OA$ и $OB$, то $\sin \alpha=2\sqrt{R_1r/R_1}=2\sqrt{r/R_1}$, $\cos \alpha=\sin \beta=2\sqrt{r/R_2}$, следовательно,

$$1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=4r\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right).$$

Решая уравнения (1) и (2) совместно, получим ответ: $R_1=4r(3\pm\sqrt{3}), R_2=4r(3\mp\sqrt{3})$ (знаки выбираются согласно).

В. Д.

36

как показано на рисунке 1: $|AB|=l, |BC|=2l$. Стержень подвешен за точку $A$ к очень длинной неверсомой нити $AO$. В начальной момент стержень удерживают в горизонтальном положении, и нить при этом вертикальная; затем стержень отпускают. Какой будет скорость точки $A$ в тот момент, когда стержень будет проходить низшее положение?

Г. Л. Коткин

Ф979. В сосуде, имеющим форму двух «состыкованных» цилиндров одинаковой длины $l$ и с площадями сечений $S$ и $\alpha S$ ($\alpha>1$), находится идеальный газ. Посредние каждаго цилиндра находится поршни, соединенные жестким стержнем (рис. 2); при этом давление в отсеке $I$ равно $p$, в отсеке III давление равно $\beta p$, поршни находится в равновесии. К системе подвели телло $Q$ так, что температура возросла, оставаясь во всех отсеках одинаковой. Определите, как изменилось давление в отсеке $I$. Внутренняя энергия одного моля газа равна $cT$ (с — молярная теплоемкость газа). Теплоемкость цилиндров и поршней пребрежимо малы; треннем пребрежчь.

В. С. Фадин

Ф980. Четыре одинаковых металлических пластины площади $S$ каждая с зарядами $q_1, -q_1, q_2, -q_2$ установлены параллельно друг другу на расстоянии $d$ одна от другой (рис. 3; $d$ много меньше линейных размеров пластин). Внешние пластины 1 и 4 соединяют проводиком. Найти разность потенциаль между пластинами 2 и 3.

Т. В. Федогович

Ф981. На груз массы $M$, высший наружное,кладут груз массы $m$ (рис. 4), удерживая груз $M$ в первоначальном положении, а затем грузы отпускают. Найти максимальный силу, действующего на груз $m$ со стороны груза $M$.

П. И. Зубков

Ф982. Как известно, предельный размер размещаем детали изображения на кинопленке определяется размерами кристалков светочувствительной слоя. С уменьшением размера кристалков четкость изображения растет. Оцените предельный размер кристалков, при котором зритель перестает заметать рост четкости изображения на экране кинозала. Предполагается, что вы хорошо представьте явление, может сами задать необходимые для решения величины, выбрать достаточно правильные численные значения и получить численный результат.

Г. В. Меледин

Problems

M966—M970; P978—P982

M966. Prove that any triangle can be cut up by line segments into four pieces from which two triangles similar to the original one can be put together.

L. D. Kurlyandchik

M967. Denote by $\sigma(n)$ the sum of all positive integer divisors of the number $n$ (including 1 and $n$) and by $\varphi(n)$ the quantity