Решения задач М946—М950; Ф958—Ф962

38

Решения задач
M946—M950; Ф958—Ф962

М946. Две параболи расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболи пересекаются в четырех точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

Выберем прямоугольную систему координат $Oxy$ так, чтобы оси парабол были координатными осями (см. рисунок). Тогда уравнение одной из парабол $x=ay^2+b$ ($a>0, b<0$), другой $y=cx^2+d$ ($c>0, d<0$). координаты $(x;y)$ точек пересечения парабол удовлетворяют системе уравнения $x=ay^2+b, y=cx^2+d$. Разделив первое уравнение на $a$, второе — на $c$ и сложив получшиеся уравнения, приходим после очередных преобразований к уравнению
$$\left(x-\frac{1}{2a}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2c}\right)^2=\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4b^2}-\frac{b}{a}-\frac{d}{c}.$$
Поскольку его правая часть положительная, отсюда следует, что точки пересечения парабол лежат на окружности радиуса $R=\sqrt{\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4b^2}-\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}$ с центром в точке $Z(1/2a; 1/2c)$.

Л. П. Купцов

M947. На доске в строку написаны числа
$$1\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{4}\cdots\frac{1}{10}\frac{1}{11}\frac{1}{12}.$$
a) Докажите, что как мы ни расставили знаки «+» и «-» между этими числами, полученная сумма не будет равна нулю.
b) Какое наименьшее количество написанных чисел не обходимостерить с доски для того, чтобы после некоторых расстановки «+» и «-» между оставшими числами получалась сумма, равная нулю?

В решении обихих пунктов задачи используется следующие утверждения: сумма двух несократимых дробей $a/b$ и $c/d$ с разными значениями не может равнять нулю. (Если, скажем, $b>d$, то равенство $ad=-bc$ невозможно, так как $a$ взaimно просто с $b$, а $d$ не делится на $b$.)
a) Записьвая рассматриваемую сумму в виде
$$\left(1\pm\frac{1}{2}\pm\cdots\pm\frac{1}{10}\pm\frac{1}{12}\right)\pm\frac{1}{11},$$ мы видим, что в силу приведенного выше утверждения ни при каком выборе знаков она не обратится в нуль, так как наименьший общий значенный дробей в скобках не равен 11.
b) Ответ: 6. Из доказательства пункта a) следует, что дробь 1/11 надостерить. Точно так же доказывается, что надостерить 1/9, 1/8, 1/7. Общий вклад дробей 1/5 и 1/10 в сумму, если хотя одна из них нестерта, может равнять $\pm 1/5$, $\pm 1/10$ или $\pm 3/10$. Поскольку значенные остальные дробей не делятся на 5, и эти две дроби надостерть. Из оставшихся чисел нульевую сумму составить можно:
$$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=0.$$
С. В. Резниценко

M948. Правильный треугольник ABC полностью покрыт пятью меншими равными правилами треугольника. Докажите, что треугольник ABC можно полностью покрыть четрьма такими треугольниками (эти треугольники разрешается переведать).

Возьемем в треугольнике ABC шесть точек — вершины и середины сторона. Хотя бы две из них должны покрыться одним из пятей менших треугольников, следовательно, сторона такого треугольника не меньше половины стороны треугольника ABC. Поэтому каждый из четырех правилных треугольников, на которых средние линии

40

1,25R, где $R$ — радиус земли. В некоторых моментах сутини какапультируется со станции в направлении ее движения и переходит на эллиптическую орбиту с аноезем, удаленным от центра земли на расстояние 10R. При каком отношении $m/M$ сутини встретится со станцией, совершible один оборот вокруг земли?

Пусть $T_1$ — период обращения сутиника по орбите 1 с расстоянием от центра земли до апогея 10R, $T_2$ — период обращения сутиника по орбите 2 с расстоянием от центра земли до перигея $nR$ ($n$ — неизвестное число). Сближение сутиника и станции в точке $A$ через один оборот сутиника произойдет при условии

$$\frac{T_1}{T_2} = k > 1, \quad \text{где } k \text{ — целое число.}$$

Выражая $T_1, T_2$ через массы станции $M$ и сутиника $m$, используя для этой цели законы Кеплера, законы сохранения импульса и энергии, найдем возможность соответствия между этими массами, которые приводят к выполнению условия $T_1:T_2 = k$.

По третьему закону Кеплера

$$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^{3/2} = \left( \frac{45}{5+4n} \right)^{3/2} = k,$$

где $a_1, a_2$ — большие полуоси соответствующих орбит (см. рис.ок). Выразим $n$ через массы $m$ и $M$.

При разделном движении станции и сутиника вокруг земли сохраняется их полные механические энергии. Так как потенциальная энергия тела массы $m$ в поле тяготения земли на расстоянии $r$ от центра земли равна

$$U = -\frac{GmM_3}{r} = -\frac{mgR^2}{r}$$

(g — ускорение свободного падения, $M_3$ — масса земли), то из закона сохранения энергии следует, что

$$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{mgR^2}{5R/4} = \frac{|m(v_1')^2|}{2} - \frac{mgR^2}{10R},$$

$$\frac{Mv_2^2}{2} - \frac{MgR^2}{5R/4} = \frac{M(v_2')^2}{2} - \frac{MgR^2}{nR},$$

где $v_1'$ — скорость сутиника в апогее, $v_2'$ — скорость станции в перигree, $v_1$ и $v_2$ — скорости, прибретаемые соответственно сутиником и станцией в момент расстоявки в точке $A$ (см. рис.ок).

Согласно закону сохранения импульса скорости $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ связаны соответствием

$$(M + m)v_0 = mv_1 + Mv_2,$$

где $v_0$ — скорость станции и сутиника до расстоявки. Величину $v_0$ найдем из уравнения движения станции и сутиника как целого (до расстоявки):

$$\frac{(m + M)v_0^2}{5R/4} = G \frac{(m + M)M_3}{(5R/4)^2},$$

откуда

$$v_0 = \sqrt{\frac{GM_3}{5R/4}} = 2\sqrt{\frac{gR}{5}}.$$

Второй закон Кеплера позволяет установить связь между скоростью $v_1$ и $v_2'$,

$$\frac{5}{4}Rv_1 = 10Rv_1',$$

42

Ф960. Для того чтобы получить две совершенню одинаковые катушки, их наматьают на немагнитный сердечник одновременно, используя сложные вместе провода (рис. 1). Однако из катушки подключают через ключи K к батарею B с напряжением U₀, вторую — к резистору R. Ключ замыкают. Рассчитайте мощность тока на резисторе. Нарисуйте график зависимости силы тока через батарейку от времени.

Через время т ключ размыкают. Какое количество теплоты выделяется в резисторе, начиная с этого момента? Индуктивность каждого из катушки L. Батарейку считать идеальной. Сопротивлением проводов претензей.

Рис. 1.

Рис. 2.

При расчете ЭДС индукции в цепи каждой катушки нужно учитывать полный магнитный поток через нее, то есть сумму потоков, создаваемых токами обиха катушки.

После замыкания ключа в обихах цепях возникают одинаковые ЭДС $E_1 = E_2 = U_0$, и мощность, выделяющаяся на резисторе, равна

$$P = \frac{E_2^2}{R} = \frac{U_0^2}{R}.$$

Так, текущий через 2-ю катушка, равен $I_2 = U_0/R$. Магнитный поток, произвольный 1-ю катушка, равен

$$\Phi_1 = LI_1 + LI_2,$$

где $I_1$ — ток через 1-ю катушка и через батарейку. (Поток через каждую катушка, создавемый током $I_2$, один и тот же — катушки намотаны вместе.) Следовательно,

$$E_1 = U_0 = \left| \frac{d\Phi_1}{dt} \right| = \left| L \frac{dI_1}{dt} + L \frac{dI_2}{dt} \right| = \left| L \frac{dI_1}{dt} \right|$$

(так как $I_2 = \text{const}$). Отсюда

$$I_1 = \frac{U_0}{R} + \frac{U_0}{L} t.$$

График $I_1(t)$ приведен на рисунке 2. Скачок тока в первый момент связаан с тем, что полный поток через катушки не должен меняться скачком, и сразу после включения возникнет добавочный поток, направленный против потока, создаваемого 1-й катушки.

К моменту размыкания ключа полный поток через 2-ю катушки равен

$$\Phi_{2\tau} = -LI_2 + LI_{1\tau} = L \frac{U_0}{L} \tau = U_0 \tau.$$

Сразу после размыкания ключа в этой катушка возникнет ток

$$I_p = \frac{U_0 \tau}{L},$$

поскольку поток через катушка не должен меняться скачком. Тепло, которое выделится на резисторе с момента размыкания, —

$$W = \frac{1}{2} LI_p^2 = \frac{U_0^2 \tau^2}{2L}.$$

А. Р. Зильберман

Ф961. Для поддержания постоянной температуры воды в проточном аквариуме пользоваться двумя одинаковыми надревателями (см. рисунок). В обычном режиме используется прихождение увеличивается в три раза. Как нужно изменить расход холодной воды, если надреватели включены в сеть последовательного? Каким должен быть расход холодной воды, если включена одна спираль мощность

Тепло, получаемое водой от нагревалей, компенсирует тепловые потери — тепло, отдаваемое аквариумом в окружающей среду. Мощность потерь зависит от разности температуры воды в аквариуме и окружающей среду. Если эти температуры не меняются, то и мощность потерь остаются неизменной.

Обозначим секундный расход воды в первом случе (включена одна спираль) $\Delta m$. Тогда

$$P = c \cdot \Delta m \cdot (t_2 - t_1) + q,$$

(1) где $q$ — мощность потерь. Во втором случе (включены две спирали, соединенные параллельно) мощность возвращается в два раза, и

43

$$2P = c \cdot 3m \cdot (t_2 - t_1) + q.$$ (2)

Из (1) и (2) сразу можно получить

$$q = \frac{1}{2} P.$$

Но в том случае, когда спирали будут включены последовательно, выделяемая имми мощность составит как раз $P/2$. Значит, в этом случае-body следует отключить.

Тепер из уравнения (1) и (2) найдем секундный расход воды при условии, что включена одна спираль:

$$\Delta m = \frac{P}{2c(t_2 - t_1)} = \frac{100}{2 \cdot 4,2 \cdot 10^3 \cdot 17} \text{ кг/c} \approx 7 \cdot 10^{-4} \text{ кг/c}.$$

А. P. Зильберман

Ф962. Точенные источники, расположенные на главной оптической оси линзы, образуют равномерно светящую нить (проходящий через фокус линзы). Найти закон изменения $E(x)$ освещности в точках, лежащих на той же оси по другую сторону линзы на больших от нее расстояниях $x$ ($x \gg F$, где $F$ — фокусное расстояние линзы).

Отрезки светящейся нити, расположенные на расстояниях $y > F$ от линзы, дают действительные изображения на оптической оси справа от линзы. Для нахождения освещности $E(x)$ единиц们 длины на оптической оси, то есть мощности изображения, падающего на единицу длины, рассмотрим, как проискодит преобразование малого отрезка предмета $dy$ в отрезок изображения $dx$ (см. рисунок).

Пусть мощность, изображая с единиц们 длины светящейся нити, равна $E_0$. Тогда суммарная мощность изображения, попадающего на элемент $dx$ изображения, равна

$$E(x) \cdot dx = E_0 \frac{\Omega(y)}{4\pi} dy.$$ (*)

Здесь учтено, что линза фокусирует только часть изображения элемента $dy$ — изображение, попадающего на элемент $dx$ изображения задается формулой $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{F}.$$ Поэтому $dy$ в формуле (*) можно выразить через $dx$ следующим образом:

$$dy = \left| \frac{dy}{dx} \right| dx = \frac{F^2}{(F-x)^2} dx.$$

(Производная взята по модулю, поскольку длины отрезков и мощности положительных.) Подставляя значение $dy$ в (*) и учитывая, что для $x \gg F$ $y \approx F$ и телесный угол $\Omega(y \approx F)$ не зависит от $x$, получим

$$E(x) \approx E_0 \frac{\Omega(F)}{4\pi} \frac{F^2}{(F-x)^2} \approx E_0 \frac{\Omega(F) \cdot F^2}{4\pi x^2} \sim \frac{1}{x^2}.$$

M. A. Воронцов, B. E. Кунцын