Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

52

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-математический факультет)

1. Решите уравнение
   $$6 \cos x - \frac{1}{3} = \sqrt{32 \cos x - \frac{17}{9}}.$$

2. Решите неравенство
   $$\frac{1}{x-1} + \frac{3}{|x|+1} \geq \frac{1}{|x|-1}.$$

3. Некоторые окружности касаются прямых AB и BC соответственно в точках D и E. Точка A лежит между точками B и D, а точка C — между точками B и E. Найдите площадь треугольника ABC, если длины сторон AB и AC соответственно равны 13 и 1, а точки A, D, E и C лежат на одной окружности.

4. Из трех значений p:0,24π; 0,26π; 0,6π — найдите те, при которых уравнение
   $$\left( \frac{p-5x}{\pi} + \log_3 \frac{3p}{\pi} \right)(6 \sin (p-x) - \sqrt{18}) = 0$$
   имет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 0 < x < π/3.

5. На плоскости a, проходящей через центр шара радиуса R, задана окружность с центром O₁ и радиусом r₁, расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точки A, принадлежащей шару и удаленной от плоскости a на расстояние R. Множество отличных от A точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью с центром O₂ и радиусом r₂. Найдите расстояние от точки O₂ до плоскости a, если расстояние между точками A и O₁ равно a.

Вариант 2
(факультет вычислительной математики и киберnetики)

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 6x - 2 \cdot 3y = 2, \\ 6x \cdot 3y = 12. \end{cases}$$

2. В трапеции PQRS длина основания QR равна 10, длина диагонали QS равна 19, а величины угла QSP равна 30°. Выясните, что больше: длина основания QR или длина стороны RS.

3. Решите уравнение
   $$4 - \cos[2\pi (13x+9)^2] = 5 \cdot \sin[\pi (13x+9)^2].$$

4. Решите неравенство
   $$\frac{2 \log_{1-3}|x|(42x^2 - 14|x|+1)}{\log_{1-3}|x|(x - \frac{5}{6})^2} \leq 1.$$

5. Найдите все трейки чисел x, y, z, удовлетворяющие уравнению
   $$\sqrt{\frac{3}{2} x^2 - 2y^2 + 2z^2 + 10z + 6y + \frac{\sqrt{3}}{2} x - 17} + \sqrt{3x^2 - 2\sqrt{3} (\cos \pi y + \cos \pi z)} x + 4 = 0.$$

6. Все ребра tetraэдра ABCD имеют равную длину. На ребрах AB, AC и AD выбраны, соответствующие точки K, L, M так, что длина отрезка KB равна 15, а длина отрезка MD равна 10. Известно, что радиус шара, вписанного в tetraэдр ABCD, равен $\frac{5}{2} \sqrt{6}$, а объем пирамиды AKLM равен 375 $\sqrt{2}$. Найдите сумму радиусов двух шаров: вписанного в пирамиду AKLM и описанного около нее.

Вариант 3
(химический факультет)

1. Решите уравнение
   $$4 (\sin 6x + \sin 4x) = \cos x (4 \sin^2 5x - 5).$$

2. Решите неравенство
   $$5^{2x} - \frac{1}{3} x^2 < 5^{2x} - 2x (\sqrt{3}^5) x^2 + 24.$$

3. На координатной плоскости xOy рассматривается треугольник ABC, у которой вершина A совпадает с началом координат, вершины B и C лежат соответствующим на параболах y = 3x² - 10x + 2 и y = -2x² + 5x - 10, сторона BC параллельна оси ordinate, а абсцисса вершины B придлежит отрезку $\left[ \frac{3}{5}; \frac{3}{2} \right]$.

Какое значение должно иметь абсцисса вершины B, чтобы площадь треугольника ABC была наиболее?

4. Высота пирамиды равна 2, основание пирамиды есть ромб, площадь которого равна 8, а величины острого угла равна π/6. Некоторые шарка касается плоской боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Докажите, что прямая, соединяющая вершину пирамиды с центром шара, проходит через точку пересечения диагональной ромба. Найдите объем шара.

5. Решите систему
   $$\begin{cases} 2x + y + \log_2^3 (|y| - 2x + 5) - 20 = 0, \\ (2x + y)^2 - 7(2x + y) \log_2 (|y| - 2x + 5) - 8 \log_2^3 (|y| - 2x + 5) = 0. \end{cases}$$

Вариант 4
(блюлозческий факультет)

1. Решите уравнение
   $$\frac{1 - x}{(2 - x)(x - 3)} + 1 = \frac{1}{2 - x}.$$

2. Найдите все корни уравнения
   $$3 \cos 2x - 5 \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 1,$$

принадлежите отрезку [π; 2π].

3. Решите неравенство
   $$\frac{1}{\log_5(3 - 2x)} - \frac{1}{4 - \log_5(3 - 2x)} < 0.$$

4. На гипotenuse LM прямогоугольника LKM лежит точка N. На прямой LM взята точка P так, что точка M находится между точками N и P, а угол NKP прямой. Найдите площадь треугольника NKM, если известно, что площадь треугольников LKM и NKP равны a и b соответствственно, а величины угла LKP равна φ.

5. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение
   $$8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1$$
   Вариант 5
   (факультет почтоведения)
6. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 7\cdot 2^x+6y=2, \\ 3\cdot 2^{x+1}-5y=93. \end{cases}$$
7. Решите уравнение
   $$\lg(9-x)=-2\lg\left(\frac{1}{x+3}\right).$$
8. Найдите все корни уравнения
   $$\cos x+(1+\cos x)\mathrm{tg}^2x-1=0,$$
   удовлительющие неравенству tg x > 0.
9. Через точку D основания AB равноведенного треугольника ABC проведена прямая CD, пересекающая описанную окол треугольника ABC окружность в точке E. Найдите длину отрезка AC, если длина хорды CE равна 3 и длины отрезков DE и DC равны.
10. Пусть x=x₀ — больший из корней уравнения
    $$x^2+(3ab+3a-2)x+5ab+5a-17=0.$$
    Найдите наиболее значение x₀ при a ≥ 1, b ≥ 0.
    Вариант 6
    (отделение геолозии геолозического факультета)
11. Определите, что больше:
    $$2^{\log_35}-0, 1 \text{ или } 5^{\log_32}.$$
    Результат обосновyte.
12. Решите уравнение
    $$\frac{|x-2|}{|x-1|-1}=1.$$
13. Первый рабочий изготовил 60 деталей на три часа быстрее второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если работа вместе, они изготовят за один час 30 деталей?
14. Решите уравнение
    $$5\sin^2x-4\sin x\cos x-\cos^2x=4.$$
15. Решите уравнение
    $$\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}.$$
16. Дан куб ABCDA’B’C’D’ с ребром длины 4. На середине ребра BC взята точка M, а на ребре A’D’ на расстоянии 1 от вершины A’ взята точка N. Найдите длину кратчайшего пути между точками M и N по поверхности куба.
    Вариант 7
    (отделение геофизики геолозического факультета)
17. Определите, что больше:
    $$3^{\log_25}+10^{\frac{1}{3}\log_{10}2} \text{ или } 5^{\log_23}+10^{\sqrt{10}}.$$
    Результат обосновyte.
18. Решите неравенство
    $$\frac{|x-2|}{|x-1|-1} \ge 1.$$
19. См. вариант 6, задача 3.
20. Решите уравнение
    $$3\sin x+5\cos x=\sqrt{17}.$$
21. Решите уравнение
    $$\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}.$$
22. Конус врачается вокруг оси — прямой, перпендикулярной его высоте и проходящей через вершину. Найдите площадь сечения полученного тела врашения плоскостью, проходящей через ось врашения, если длина образующей конуса равна 5, а длина высоты равна 4.
    Вариант 8
    (географический факультет)
23. Решите уравнение
    $$4\sin x+\cos 2x=1.$$
24. Решите неравенство
    $$\log_x(3-x)>1.$$
25. Две реки с прямолинейными русами и одинаковой скоростью течение падают в одном и том же месте в озеро, образуя между собой угол в 60°. От двух прицелов, расположенных на разных реках и отстоящих друг от друга на расстоянии 28 км, одновременно вышли байдарка и лодка, скорости которых в стоячей воде соответствно равны 10 km/ч и 3 km/ч. Байдарка достига озера через 2 ч, а лодка — через 4 ч. Найдите скорость течение рек.
26. Величины углов P, Q, R треугольника PQR составляют аргументической прогрессию с разностью (-2π/9). Виссектрисы этого треугольника пересекаются в точке S. Точки P’, Q’, R’ находятся на отрезках SP, SQ, SR соответственно на одинаковом расстоянии от точки S. Докажите, что величины углов P’, Q’, R’ треугольника P’Q’R’ также образуют аргументической прогрессию. Найдите ее разность.
27. Найдите все числа b, удовлетворяющие условию -1 ≤ b ≤ 1, для которых выражение 1-2√4x²+4bxy+y²+8y+18 принимает наиболее значение лишь при одной паре чисел x, y.
    Вариант 9
    (отделение политической экономии экономической факультета)
28. Найдите все решения неравенства
    $$\frac{4x-1}{3x+1} \ge 1.$$
29. Решите уравнение
    $$2\sin x=3\mathrm{ctg}x.$$
30. Укажите все a, при которых уравнение $\log_2x+\log_a x+\log_4 x=1$ имеет решения и найдите эти решения.
31. Найдите наиболее значение функции
    $$y=\frac{2x^2+x+1}{3x^2-x+2}.$$
32. Из пункта A в пункте B вышел пешек. Не позже, чем через 40 минут след за ним вышел второй. В пункте B сначала пришел один пешек, а другой достит B не равше, чем через после этого. Если бы пешек вышли одновременно, то они приближены бы в пункте B с интервалом не более, чем в 20 минут. Определите, сколько времени требуется каждому пешеку на путь от A до B, если скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.
33. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка E — пересечение диагоналей. Известно, что площадь каждой из треугольников ABE и DCE равна 1, площадь всего четырехугольника не превыходит 4, |AD|=3. Найдите сторону BC.

55

замкнуть? Сопротивления всех резисторов одинаковые, а ЭДС источников равны. Внутренним сопротивлением источников претенбречь.

7. К некоторому источнику постоянного напряжения через подводящие провода подключено некоторое внешнее сопротивление. При этом положина мощности, развиваемой источником, выделяется в подводящих проводах, а другая положина — во внешнем сопротивлении. Какая часть мощности, развиваемой источником, будет выделяться в подводящих проводах, если они будут из того же материалов и той же длины, но с площадью секения, в два раза большеей? Внешнее сопротивление и источник остатуса теми же. Внутренним сопротивлением источника претенбречь.

8. С какой скоростью надо перемешать медный стержень AB вдоль медных рельсов CA и DB (рис. 4), чтобы в течение τ=1 с температура стальной проволоки CD увеличилась на ΔT=0,1 К? Вся конструкция находится в магнитном поле с магнитной индукцией, направленной перpendicularно плоскости рельсов и равной B=1 Тл. Удельная тепломкость железа c=0,46 кДж/(кг·К), плотность D=7800 кг/m³, удельное сопротивление q=5,6·10⁻⁸ Ом·м. Теплоотдачей претенбречь. Сопротивлением рельсов и стержня претенбречь.

9. Стеклянная равноведренная призма (сечение в виде равноведренного треугольника) опущена вершиной в воду так, что ее основание горизонтальное и совпадает с поверхностью воды (рис. 5). Показатель преломления стекла n_c, показатель преломления воды n_b (n_c>n_b). При каких значениях угла (при вершине призмы) α луч света, падающий по вертикали на основание призмы, испытает полное (внутреннее) отражение на боковой поверхности призмы в точке A?

10. С помощью тонкой линзы получено изображение H точечного источника S (рис. 6).

Расстояния c, a, b, определяющие положения источника и изображения относительно оптической оси линии OO′, известны (b>a, b—a≤c). Найдите фокусное расстояние линии.

Механико-mатематический факультет, факультет вычислительной математики и кибернетики, химический, географический и геологический факультеты и факультет почвоведения

1. Пуля, выпущенная из винтовки, попадает во врашающся с частотой n=50 1/c тонкостенный пластмассовый цилиндр диаметром d=0,2 м. Определите скорость пули, если выстрел производен по диаметру цилиндра, а к моменту вылета пули из цилиндра входное отвергение сместилось на l=0,01 м.

2. Врусок с массой m=0,2 кг находится на гладкой поверхности наклонной плоскости, составляющей угол α=30° с горизонтом. Он удерживает на этой поверхности с помощью невесомой и нерастворимой нити, расположенной параллельно наклонной плоскости и закрепленной у ее верхнего края (рис. 7). Найдите силу давления груза на наклонную плоскость, если она движется вертикально вверх сускорением a=2,2 м/c². Ускорение свободного падения g=9,8 м/c².

3. К потолку подвешен одноподный стержень длиной L=0,8 м. Пружины в нерастучном состоянии имеют одинаковую длину, но различные коэффициенты урруости k₁ и k₂. Найдите соответствие между k₁ и k₂, если стержень занимает горизонтальное положение (рис. 8). Пружина с коэффициентом урруости k₁ прикреплена к одному концу стержня, а пружина с коэффициентом урруости k₂ прикреплена на расстоянии a=0,2 м от другого конца стержня.

56

4. Тела с массами $m_1$ и $m_2$ находятся на одной вертикали на расстоянии $h_1$ друг от друга, причем тело с массой $m_2$ расположено на высоте $h_2$ от горизонтальной поверхности (рис. 9). Тела массой $m_1$, падая свободно, содержится абсолютино неупруго с положимся телом массой $m_2$, которое в момент удара отпускают. Затем эта система тел абсолютино неупруго содержится с горизонтальной поверхности. Пренебрегая изменением импульса тел при их содержении друг с другом, определяйте, с какой силой система тел действует на поверхности, если продолжительность содержания равна $\Delta t$.

5. В двух сообщающихся цилиндрических сосудах с одинаковым поперечным сегментом площадью $S=10^{-2}$ м² находится ртуть (рис. 10). В один из сосудов поверх修士 наливают воду массой $m=20$ кг и в нее опускают плавать груз массой $m_1=7,2$ кг. На какое расстояние $h$ переместится уровень ртути во втором сосуде? Плотность ртути $q=13,6 \times 10^3$ кг/м³.

6. В цилиндрической сосуд объемом $V=8,31$ м³ накачали вначале газ массой $m_1=3,2$ кг с молярной массой $M_1=0,032$ кг/mоль при температуре $T=300$ К, а затем добавили газ массой $m_2=4,4$ кг с молярной массой $M_2=0,044$ кг/mоль при той же температуре $T$. Какое давление устанавливается в сосуде после того, как смесь газов изтермических при температуре $T$ созмут с помощью поршня до объема $V/3$? Универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль·К).

7. В $U$-образную, запаянную с одной конца трубуку с длиной колена $L$ наливается жидкость плотности $q$, причем в запаянном конце остается столь воздуха, а уровень жидкости в открытом колене совпадает с краем трубики (рис. 11). Затем часть жидкости выпускают через краан. При этом уровни жидкости в обихках коленах сравняются и оставалисьяются на высоте $L/2$. Какова была пероначальная высота $x$ столба воздуха в запаянном колене трубики? Атмосферное давление $p_0$.

8. Восемь точных зарядов $|q_1|=...=|q_8|=9 \cdot 10^{-6}$ Кл находятся в вершинах куба, стороны которого $a=0,2$ м. Четыре положительные заряды на вершинах нижнего основания, четые отрицательных — в вершинах верхнего основания куба. Определите направление электрического поля в центре куба. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,9 \times 10^{-12}$ Ф/м.

9. Стержень длиной $l=0,20$ м, на концах которого находятся маленькие шарики с зарядами $q_1=2 \cdot 10^{-5}$ Кл и $q_2=5 \cdot 10^{-5}$ Кл, может врачаться вокруг вертикальной оси, перpendикулярной стержню и прохождения через его середину. Стержень находятся в однородном электрическом поле с направлением $E=10^3$ В/м. Силовые линии гори-зонтальны и составляют с направлением стержня угол $\alpha=30^\circ$. Какую по величины работы совершает электрическое силы, если стержень повернуть так, что сильные линии будут составлять с его направлением угол $\beta=45^\circ$?

10. До какой разности потенциальзарядиется конденсатор в цепи, изобравенной на рисунке 12, если ЭДС источника $E=4,8$ В, внутреннее сопротивление его $r=1$ Ом, $R_1=2$ Ом, $R_3=5$ Ом? Какой заряд будет при этом на обкладках конденсатора, если его емкость $C=2$ мК?

11. Во сколько раз КПД $\eta_1$ линии электропередачи при направлении $U_1=200$ кВ больше КПД $\eta_2$ линии электропередачи при направлении $U_2=100$ кВ, если сопротивление линии $R=400$ Ом, а передаваемая мощность $P=10^4$ кВт?

12. Гибкий замкнутый проводник сопротивлением $R=100$ кОм, образующий квадрат со стороны $a=0,1$ м, помещен в однородное магнитное поле с индикцией $B=5$ Тл. Плокость квадрата перpendикулярна вектор магнитной индикции. Какой зарядует по проводнику, если из квадрата сделать равносторонний треугольник, не меняя плоскости его расположения?

13. Светящая точка $S$, находящая в среде с показателем преломления $n_1=1,33$, расматривается из среды с показателем преломления $n_2=1,5$ под небольшим углом к нормали, проводенной к границе раздела двух сред. Каково будет кажущее расстояние от точки $S$ до границы раздела сред, если истинное расстояние $h=0,133$ м?

14. Через имеющиеся в доске круглое отвергение диаметром $d=10$ см проходит скодящая пучок света, который дает на экране, расположенном за докой паралельно ей, круглое пятно диаметром $D=5$ см. Если в отвергение вставить рассеивающую линну с фокусным расстоянием $F=30$ см, то пятно превращается в точку. Найдите расстояние между доской и экраном.

15. Спутник, летящий по круговой орбите на высоте $h=100$ км над Землей, сформирован неподвижным фотоаппаратом, объективного моментом имеет фокусное расстояние $F=0,5$ м, делая видержку $t=1$ с. Какой длины получится изобравнение спутника на пластинке? Изменением силы тяжести с высотой перебрежь. Считать, что радиус Земли $R=6300$ км, аускорение свободного падения $g=10$ м/c².

Публикацию подготовили
В. С. Панферов, А. С. Пахомов, И. Н. Сердеева, А. Н. Соколихин

57

Программирование на микрокалькуляторе

(Начало см. на c. 46)

сравнение с первым вариантом наша программы улучшилась: например, из-за того, что перед нами не было записи на алгоритмическом языке, первый вариант программы не имеет ввод — программа расчитывает угол только для одного треугольника, что, конечно же, никака не годится. С другой стороны, вычислительная часть первого варианта получилась лучше из-за того, что учтены некоторые особенности калькулятора: например, то, что после засылки в памяти значение остается на регистре X и его можно тут же использовать для дальнейшего вычисления. Дело в том, что мы используем очень упрощенный алгоритмический язык: чуть-чуть улучшив его, можно получить оптимальные программы.

Введем возможность записи:
— вывод〈выражение〉, ознакомший, что надо выражение вычислить и без записи в переменную вывести (на индикатор, печать…);
— промежуточного присваивания: например, $a := (b := c - k) \hat{x}$; ознакомет, что разность $c$ и $p$ надо записать в $b$, а кроме того, умножить на $p$ и записать результат в $a$;

Ответы, указания, решения

Эволюционные процессы и обикновенные дифференциальные уравнения

1. $x = e^t / (1 + e^t)$.
2. Нет.
3. Нет.
4. $T \approx 2\pi \left(1 + \frac{a^2}{16} + \dots\right)$.
5. $\infty$.
6. $\pi/2$.

Задания на сравнение чисел
(cm. c. 24)

1. $[(9 - \sqrt{193})/8; (11 - \sqrt{201})/8]$.
2. $] - \infty; \log_2 3$; да, так как $\sqrt{2} < \log_2 3$.
3. $] \log_2 3; \log_2 2$; нет, так как $\lg \frac{1}{32} > \log_2 2$.
4. $] - \infty; \frac{5}{2} \left[ \cup \right] \log_2 6; 3$.

— конструции вида $a := \text{ввод} - 4$, означающий, что введенное значение не заполняется в переменной, а из него вычитается 4 и заполняется только результат вычитания; и конструкции вида $a2 := (\text{ввод} a)^2$, означающий, что введенное значение заполняется в $a$, и тут же возводится в квадрат с заполнениям результата в $a2$.

Тогда нашу программу можно очень коротко записать в виде:
алг КОСИНУС
(вещ $a, a2, b, c, k$)
apr $a, a2, b, c$
рез $k$
нач $a2 := (\text{ввод} b)^2 + (\text{ввод} c)^2 - a2)/2/b/c$
кон
а трансляция ее в коды калькулятора дает оптимальный программу (разбереть в ней самостояльно);

$FX^2 \Pi O C/ \Pi \Pi 1 FX^2 C/ \Pi \Pi 2 FX^2 + \Pi 0 - 2 \div \Pi 1 \div \Pi 2 \div C/ \Pi$

Инструкция по ее использованию также же, как у первой программы: набрать значение $a$, нажать $C/ \Pi$, после остановки набрать значение $b$, нажать $C/ \Pi$, после остановки набрать $c$, нажать $C/ \Pi$, после остановки процедить результат.

Задания

1. Написать программу, которая по сторонам треугольника $a, b, c$ дает значение в радианах всех трех углов треугольника.
2. Написать программу решения квадратного уравнения в предположении, что дискрипит положитель.

Законы Кеплера и школьная физика

1. Большая получость «Востока» $a = R_3 + (H + h)/2$. Сравнение с результатами задачи 1 в статье дает
   $T = T_{\min}(a/R_3)^{3/2} \approx 89,4$ мин.
2. По аналогии с задачей 3 в статье найдем минимальное расстояние от кометы до Солнца. Оно оказывается равным 0,8 а. е. Следовательно, комета подходит к Солнцу близке, чем Земля, и может пересечь ее орбиту.
3. Площадь затрихованной на рисунке 3 в статье фигуры
   $S_1 \approx \frac{100}{360} \pi \left( \frac{r_{\min} + R_H}{2} \right)^2$.

Время пребывания Плутона внутри орбиты Нептуна

59

получаем $|AB| = \frac{1}{k} |AO_1| = \frac{ar_1^2 R}{r_1 \sqrt{R^2} - r_2^2}$. По теореме косинусов для треугольника $AOB$ имеем
$$\cos AOB = \frac{|AO|^2 + |BO|^2 - |AB|^2}{2 |AO| \cdot |BO|} = \frac{2R^2 r_1^2 - r_1^2 r_2^2 - a^2 r_2^2}{2Rr_1^2 \sqrt{R^2} - r_2^2}.$$
Наконец, из прямогоного треугольника $OO_2D$ получаем
$$|O_2D| = |OO_2| \sin O_2O_1D = -\sqrt{R^2} - r_2^2 \cdot \cos AOB.$$
Вариант 2

1. {$(1; \log_3 2)$}. 2. $|RS| > |QR|$. Указание. Из треугольника $SQR$, по теореме косинусов, получаем
   $$|SR|^2 = 461 - 190 \sqrt{3} > 10^2 = |QR|^2.$$
2. $x = -\frac{9}{13} \pm \frac{1}{13} \sqrt{\frac{1}{2} + 2n}, n \in \mathbb{Z}, n \geq 0.$
   Указание. Подстановкой $y = \sin \pi(13x+9)^2$, уравнение приводится к виду $2y^2 - 5y + 3 = 0.$
3. $-\frac{1}{3}; \frac{-7 - \sqrt{7}}{42} \left[ \cup \left[ \frac{-15 + \sqrt{197}}{84} ; 0 \right] \right] 0;$
   $\frac{13 - \sqrt{141}}{84} \cup \left[ \frac{13 + \sqrt{141}}{84} ; \frac{1}{3} \right].$ Указание.
   Поскольку $1 - 3 |x| < 1$ при $x \neq 0$, неравенство равносильно совокупности двух систем:
   $$\begin{cases} \log_{1-3}|x|(4x^2 - 14|x| + 1) \leqslant \log_{1-3}|x| \left| x - \frac{5}{6} \right|, \\ 0 < \left| x - \frac{5}{6} \right| < 1 \end{cases}$$
   $$\begin{cases} \log_{1-3}|x|(4x^2 - 14|x| + 1) \geqslant \log_{1-3}|x| \left| x - \frac{5}{6} \right|, \\ |x - \frac{5}{6}| > 1. \end{cases}$$
4. $\left\{ \left(-\frac{2}{3} \sqrt{3}; 1; 1\right); \left(-\frac{2}{3} \sqrt{3}; 7; -9\right) \right\}.$
   Указание. Уравнение равносильно системе
   $$\begin{cases} \frac{3}{2} x^2 - 2y^2 + 2z^2 + 10z + 6y + \frac{\sqrt{3}}{2} x - 17 = 0, \\ 3x^2 - 2\sqrt{3} (\cos \pi y + \cos \pi z) x + 4 = 0. \end{cases}$$
   Рассматривая второе уравнение системы как квадратное относительное $x$, запишем условие неотрицательности дискриминента:
   $D = 12 (\cos \pi y + \cos \pi z)^2 - 48 \geqslant 0$, откуда сле-
   Puc. 3.
   дует, что $|\cos \pi y + \cos \pi z| \geqslant 2$. Это возможно лишь в двух случаях:
   $$\begin{cases} \cos \pi y = 1, & \cos \pi y = -1, \\ \cos \pi z = -1, & \cos \pi z = -1, \end{cases}$$
   то есть
   $$\begin{cases} y = 2k, & z = 2l, \quad (k, l \in \mathbb{Z}), \\ y = 2n + 1, & z = 2m + 1, \quad (m, n \in \mathbb{Z}). \end{cases}$$
   Подставляя $y = 2k, z = 2l$, получим $x = \frac{2}{3} \sqrt{3}, 7 = 4l^2 - 4k^2 + 10l + 6k$, что невозможно.
   В случае $y = 2n + 1, z = 2m + 1$, имеем $x = -\frac{2}{3} \sqrt{3}, -2n^2 + n + 2m^2 + 7m = 0$. Посленее равенство перешелим следующим образом:
   $(2n + 2m + 3)(m - n + 2) = 6$. Число $2n + 2m + 3$ нечетное, поэтому для нахождения чисел $m$ и $n$ получаем 4 системы
   $$\begin{cases} 2n + 2m + 3 = \pm 3, \\ m - n + 2 = \pm 2. \end{cases}$$
5. $\frac{15 \sqrt{2}}{2} \left(1 + \frac{8}{11 \sqrt{3} + \sqrt{43}}\right).$ Указание.
   Пусть $a$ – длина ребра треугольра $ABCD$, а $r$ – радиус вписанного в нее шара. Тогда
   $r = \frac{a}{4} \sqrt{\frac{2}{3}}$ и поэтому $a = 30, V_{ABCD} = 2250 \sqrt{2}$.
   Отношение объемов примиди $AKLM$ к объему треугольра $ABCD$ равно
   $$\frac{V_{AKLM}}{V_{ABCD}} = \frac{|AK| \cdot |AL| \cdot |AM|}{|AB| \cdot |AC| \cdot |AD|} = \frac{1}{3} \frac{|AL|}{|AC|} = \frac{1}{6}.$$
   Позному $|AL| = \frac{1}{2} |AC| = 15.$
   Итак, $|AK| = |AL|$ и треугольник $AKL$ – правильный. Поскольку $AKL$ пересекает описанной околой примиди $AKLM$ сферы по окружности радиуса $R = \frac{|KL|}{2 \sin KAL} = \frac{15}{3} = 3 \sqrt{3}$. Пусть $Q$ – середина стороны $KL$ (рис. 3). Тогда $|AP| = 10 \sqrt{3}$. Поскольку $AMP$ проходит через центр описанной сферы (почему?) и поэтому для радиуса этой сферы получаем выражение
   $$R_{\text{оп}} = \frac{|MP|}{2 \sin MAP},$$ но $\sin \widehat{MAP} = \sqrt{\frac{2}{3}}, |MP|^2 = |AM|^2 + |AP|^2 - 2 |AM| \cdot |AP| \cos \widehat{MAP} = 300$, то есть $|MP| = 10 \sqrt{3}.$
   Итак, $R_{\text{оп}} = \frac{10 \sqrt{3}}{2 \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{15}{2} \sqrt{2}.$
   Для вычисления $R_{\text{оп}}$ – радиуса сферы, выпаной в примиди $AKLM$, воспользуемся формулой

61

лишь те, которые удовлетворяют условияю $0 \leq t < \pi/2$, получаемровно четыре различных корня (при $n = 0, n = 1, m = 0$ и $m = 1$).

Вариант 5

1. $\{(3; -9)\}$. 2. $\{0\}$.
2. $x = \frac{\pi}{3} + (2n + 1)\pi (n \in \mathbb{Z})$.

Указание. Приведите уравнение к виду
$$\frac{(\cos x - 1)\left(\cos x + \frac{1}{2}\right)}{\cos^2 x} = 0$$
и заметьте, что если $x = 1$, то $tg tx = 0$, а если $x = -\frac{1}{2}$, то $tg x > 0$ только при $x = \frac{\pi}{3} + (2n + 1)\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Указание. Треугольники ACD и EAC подобны, так как вписанные углы BAC и AEC опираются на конгрузительные дуги.
5. 3. Решение. Обозначая $p = ab + a$, получаем равенство
      $$x^2 + (3p - 2)x + 5p - 17 = 0$$
      где $p \in [1; \infty]$ (действительно: с одной стороны, $a \geq 1, b \geq 0$, поэтому $p \geq 1 \cdot 0 + 1 = 1$; с другой стороны, любое значение $p \geq 1$ можно получить, например, при $b = 0$ и $a = p \geq 1$). Таким образом, среди всех пар чисел $p \geq 1$ и $x = x_0$, удовлетворяющих получению равенству, нужно найти пар с наиболее значением $x_0$. Для таких пар должны быть:
      $$p = \frac{17 + 2x_0 - x_0^2}{3x_0 + 5} \geq 1$$
      ($x_0 \neq -\frac{5}{3}$, так как это число не удовлетворяет уравнению ни при каких $p$). Преобразуя (*), получаем
      $$\frac{(x_0 - 3)(x_0 + 4)}{3x_0 + 5} \leq 0$$
      и, следовательно, $x_0 \leq 3$. Наконец, проверка показывает, что пара чисел $p = 1$ и $x = 3$ удовлетворяет требуемому равенству.

Вариант 6

1. Второе число больше. Указание. $2^{\log_3 5} = 5^{\log_3 2}$.
2. ]2; $\infty[$. 3. 9. 4. $x_1 = \arctg 5 + \pi k, x_2 = -\frac{\pi}{4} + \pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.
3. {7}. Указание. Уравнение приводится к виду $(\sqrt{x} + 6 + \sqrt{(x + 2)}(\sqrt{2x} - 1 - 3) = 4$. Умножив левую и правую части на $\sqrt{x} + 6 - \sqrt{x} + 2$, получим $\sqrt{2x} - 1 - 3 = \sqrt{x} + 6 - \sqrt{x} + 2$.
4. $\sqrt{61}$; один путь. Указание. Путь, проходящий через граны $BAA'B'$, короче пути через соседние грани $ABCD$ и $A'ADD'$, в чем можно убедиться, рассматривая развертку куба.

Вариант 7

1. Первое число больше. Указание. $3^{\log_2 5} = 5^{\log_2 3}$.
2. ]-\infty; 0[ $\cup$]2; +\infty[. 4. $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n - \arctg \frac{5}{3} (n \in \mathbb{Z})$. 5. {2}. Указание. Переписав уравнение в виде
   $$\sqrt{3x^2 - 7x + 3} - \sqrt{3x^2 - 5x - 1} = \sqrt{x^2 - 2} - \sqrt{x^2 - 3x + 4}$$
   преобразуем левую и правую части по формуле

Рис. 5.
$$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$
$$-2x + 4 = \frac{\sqrt{3x^2 - 7x + 3} + \sqrt{3x^2 - 5x - 1}}{\sqrt{3x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - 3x + 4}}$$

Ясно, что $x = 2$ удовлетворяет уравнению. При $x \neq 2$ левая и правая части имеют разные значки.
6. 50 аргументов 4/5. Указание. Освоее сечение тела вращения имеет вид, показанный на рисунке 6, а, состоит из двух секторов окружности радиуса 5. Само тело показано на рисунке 6,6.

Вариант 8

1. $x = \pi n (n \in \mathbb{Z})$. 2. ]1; 1,5[. 3. 4 km/ч. Указание. Приимите теорему косинусов.
2. $-\frac{\pi}{18}$. Указание. Воспользовавшись равенствами типа
   $$Q'P'S' = \frac{1}{4} (\hat{Q} + \hat{P}),$$
   получите соответствия
   $$\hat{P}' = \frac{1}{4} (\pi + \hat{P}), \hat{Q}' = \frac{1}{4} (\pi + \hat{Q}), \hat{R}' = \frac{1}{4} (\pi + \hat{R}).$$
3. $$\left[ -\frac{1}{3}; \frac{1}{3} \right].$$ Решение. Пусть $b \neq \pm 1$. Преобразуя подкоренное выражение
   $$4x^2 + 4bxy + y^2 + 8y + 18 = (x + by)^2 + \left(y \sqrt{1 - b^2} + \frac{4}{\sqrt{1 - b^2}}\right)^2 + \left(18 - \frac{16}{1 - b^2}\right),$$
   получаем, что исходное выражение имеет вид
   $$1 - 2 \sqrt{A + B^2 + C^2},$$
   где
   $$\begin{cases} 18 - \frac{16}{1 - B^2} = A, \\ x + by = B, \\ y \sqrt{1 - b^2} + \frac{4}{\sqrt{1 - b^2}} = C \end{cases}$$
   (заметим, что для любого набора значений $b \in ]-1; 1[$, $B$ и $C$ последняя система имеет единственное решение). Если $A \geq 0$ (что равенство $b^2 \leq \frac{1}{9}$), то исследуем выражение приимает наименьшее значение $1 - 2\sqrt{A}$ только при $B = C = 0$, то есть при одной пар чисел $x, y$. Если же $A < 0$, то наименьшее значение равно 1 и достигается уже при $B = 0$, $C = \pm \sqrt{-A}$, то есть по меньшей мере при двух пар чисел $x, y$ (в действительности же таких пар в этом случае бесконечного много).
   При $b = \pm 1$ исходное выражение имеет вид
   $$1 - 2 \sqrt{D + B^2},$$
   где

62

Рис. 7.

$$\begin{cases} 8y + 18 = D, \\ x + by = B. \end{cases}$$

В этом случае наименьшее значение равно 1 и достигается при $D \leqslant 0$, $B = \pm \sqrt{-D}$, то есть при условиях, которые удовлетворяют не единственная пара чисел $x, y$.

Вариант 9

1. $] -\infty; -1/3[\cup [2; +\infty]$.
2. $x = \pm \pi/3 + 2k\pi (k \in \mathbb{Z})$.
3. $x = 4^{\frac{\log_2 a}{3 \log_2 a + 2}}$ при $a > 0, a \neq 1, a \neq 2^{-2/3}$.
4. $y_{\min} = y(-3/5) = \frac{7}{23}$.
5. 40 мин и 1 ч. Указание. Обозначим пешекодов буквами $a$ и $b$, причем $a$ движется быстрое $\beta$. Пусть $t$ время, затраченное $a$ при пешекоде из $A$ в $B$, а $\tau$ – время, затраченное $\beta$. По условияю $\tau = 3/2t$. По условияю $\tau - t \leqslant \frac{1}{3}$. Если первым вышел из $A$ пешекод $a$, то, по условияю

$$\begin{cases} t/2 \leqslant \frac{1}{3}, \\ n \leqslant \frac{2}{3}, \\ t/2 + n \geqslant 1 \end{cases}$$

(Здесь $n$ – время, через которого $\beta$ выходит из $A$ после вышел из $A$ пешекод $a$.) Складывая первым два неравенства, получим $t/2 + n \leqslant 1$. Поэтому $t/2 + n = 1, n = 2/3, t = 2/3 = 40$ мин, $\tau = 1$ ч. Если $B$ первым вышел из $A$ и пришел в $B$, а $n$ – время затраченное $a$, то получается система

$$\begin{cases} t/2 \leqslant 1/3, \\ n \leqslant 2/3, \\ \tau - (t + n) \geqslant 1, \\ s = 3/2n, \end{cases}$$

из которой следует, что $n = t/2 \leqslant 1; n - t/2 \geqslant 1$, что невозможно. Если же первым в $B$ приходит $a$, то получается система

$$\begin{cases} t/2 \leqslant 1/3, \\ n \leqslant 2/3, \\ s - (t + n) \geqslant 1, \\ s = 3/2n, \end{cases}$$

или

$$\begin{cases} n + t/2 \leqslant 1 \\ t/2 - n \geqslant 1 \end{cases}$$

что тоже невозможно.

6. 3. Указание. Пусть $S_{BEC} = S_1, S_{CED} = S_2, S_{ADE} = S_3, S_{ABE} = S_4$. Так как $S_2 = S_4, S_{ABD} = S_{ACD}$, точки $B$ и $C$ равнодалены от стороны $AD, BC \parallel AD$ и $\triangle BEC \sim \triangle AED$ (рис. 7).

Кроме того, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_4}{S_3}$, то есть $S_1 \cdot S_3 = S_2 \cdot S_4 = 1$. А так как $S_1 + S_2 \leqslant 2$, имеем $S_1 = S_3 = 1$. Поэтому $\triangle BEC \cong \triangle AED$.

Вариант 10

1. $x = (-1)^n \pi/6 + \pi n (n \in \mathbb{Z})$. Указание. Уравнение равнослую систему

$$6 \sin x \geqslant 0 \\ \sin x = 1 - \sin^2 x.$$

2. $] -\infty; -5/3] \cup [0; 1/3]$.

3. 10. Указание. Из условия следует, что $BQ$ – медиана (см. рис. 8). Из точки $H$ проведем $KH \parallel BP$. Тогда $|BH|/|HQ| = 2$ и поэтому $|PK| = 2|KQ|$, значит $|PK| = 2$, кроме того $|AP| = |PK|$, так как $|AE| = |EH|$.
4. 12. 4. Указание. Пусть $v$ скорость катера, $u$ – скорость течение. Условие задачи приводит к системе

$$\begin{cases} \frac{s}{u + v} = 10, \\ \frac{s}{2v + u} + \frac{s}{2v + u} \geqslant 16, \\ \frac{s}{2v + u} \leqslant 6. \end{cases}$$

5. $\left\{ \left(\frac{4}{\sqrt{13}}; \frac{6}{\sqrt{13}}; \frac{9}{\sqrt{13}}; \frac{6}{\sqrt{13}}\right) \right\}$. Указание.

Точка $(x; y)$ лежит на окружности $x^2 + y^2 = 4$, поэтому существует угол $\alpha$ такой же, для некоторого угла $\beta$ будет $z = 3$ сوسь, $v = 3$ сوسь. Из неравенства по лучаем $6(\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta) \geqslant 6$, то есть $\sin(\alpha + \beta) \geqslant 1$. Позному $\sin(\alpha + \beta) = 1$ и $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k (k \in \mathbb{Z})$, $x + z = 2 \cos \alpha + 3 \cos \beta = 2 \cos \alpha + 3 \sin \alpha = \sqrt{13} \sin(\alpha + \varphi)$, где $\varphi = \arcsin \frac{2}{\sqrt{13}}$. Максимум $x + z$ достигается при $\alpha = \frac{\pi}{2} - \varphi$.

Вариант 11

1. $x_1 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x_2 = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m (n, m \in \mathbb{Z})$.
2. $] -\infty; 1[$.
3. 20 ч.
4. 4 и 1,5. Указание. Функция имеет вид $y(x) = \begin{cases} -4x - 6 \text{ при } -2,5 \leqslant x < -2, \\ 2x^2 + 6x + 6 \text{ при } -2 \leqslant x < -1, \\ 4x + 6 \text{ при } -1 < x \leqslant -0,5, \end{cases}$ следовательно, убывет на промежутке $]-2,5; -1,5[$ и возвращает на промежутке $]-1,5; -0,5[$.

$$\sqrt{2} \sin^2 \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \sin \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \cdot R^2.$$

Инее. Пусть точка $O$ – центр окружности, а точки $D$ и $E$ лежат на хорде $A'C'$, причем

63

точка $D$ расположена между точками $E$ и $A'$ (рис. 9). Заметим, что $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} < A'BC'$. Поэтому $AA'C = A'AC'$ и $\overset{\frown}{CA'} = \overset{\frown}{AC} - A'A' = C'A' - A'A = C'A$, следовательно, вписанные углы $CAA'$ и $C'A'A$ конгруэнты. Поэтому перpendикular к хорде $AA'$, проведенный через середину, содержит обе точки $D$ и $O$ (равноудаленные от точек $A$, $A'$) и является bicсекторской угла $CDC'$, а значит,

$$\overset{\frown}{ADO} = \overset{\frown}{ADE} + \frac{1}{2} \overset{\frown}{CDC'} = \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) + \frac{1}{2} \left( \pi - \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3}{8} \pi + \frac{\alpha}{2},$$

поскольку $\overset{\frown}{AED} = \pi - \alpha$, $\overset{\frown}{CAB} = \frac{\pi}{4}$.

Далее, имеем

$$\overset{\frown}{AOD} = \pi - \overset{\frown}{DAO} - \overset{\frown}{ADO} = \pi - \frac{\pi}{4} - \left( \frac{3\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$$

и, применяя теорему синусов к треугольникам $AOD$, $AED$, получаем

$$|AD| = |AO| \cdot \frac{\sin \overset{\frown}{AOD}}{\sin \overset{\frown}{ADO}} = R \frac{\sin \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} \right)}{\sin \left( \frac{3\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} \right)},$$

$$|DE| = |AD| \cdot \frac{\sin \overset{\frown}{DAE}}{\sin \overset{\frown}{AED}} = R \frac{\sin \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} \right)}{\sin \left( \frac{3\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} \right)} \cdot \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\sin \alpha}.$$

Наконец, $S = \frac{1}{2} |AD| \cdot |DE| \sin \overset{\frown}{ADE}$.

6. $] - \frac{5}{11}; - \frac{1}{3}$. Решение. Искодное уравнение приводится к виду $(x + 2y)(3x + 5y) = 7,$

позному целочисленная пара $(x + 2y; 3x + 5y)$ совпадает с одной из четырех пар: $(1; 7), (-7; -1), (-1; -7)$ и $(7; 1)$ и поэтому уравнение имеет соответствие четырех целочисленных решений $(x; y), a$ и именно: $(9; -4), (33; -20), (-9; 4), (-33; 20)$, среди которых только первый два удовлетворяют неравенству $x + y > 0$. Таким образом, требуется найти все значения $a$, при которых выполеноровно одно из неравенств:

$$4a^2 \cdot 9 - 3a(-4) < 0$$

или

$$4a^2 \cdot 33 - 3a(-20) < 0.$$

Теперь остается заметить, что первое неравенство выполено при $a \in ] - \frac{1}{3}; 0[$; а второе — при $a \in ] - \frac{5}{11}; 0[$.

Вариант 12

1. $-\frac{7\pi}{4}; -\frac{3\pi}{2}$. 2. 6. Указание. При составлении уравнения воспользуемся свойством средних членов арфметической и геометрической прогрессии.

2. [1; 2].

3. $\frac{36}{13} (5\sqrt{2} + 6).$ Решение. Площади треугольников $PBC$ и $ABC$, имеющих общую высоту (опущенную из вершины $C$), относится как длины соответствующих оснований $PB$ и $AB.$ Площаду

$$S = \frac{|PB|}{|AB|} S_{ABC} = \frac{|PB|}{|AP| + |PB|} \cdot \frac{1}{2} |BD| \cdot |AC| = \frac{18}{13} |AC|.$$

Из прямогольных треугольников $ABD$ и $CBD$ по теореме Пифагора имеем

$$|AD| = \sqrt{|AB|^2 - |BD|^2} = 12,$$

$$|DC| = \sqrt{|BC|^2 - |BD|^2} = 10\sqrt{2},$$

Рис. 10.

откуда (см. рис. 10).

$$|AC| = |DC| \pm |AD| = 10\sqrt{2} \pm 12.$$

Проверка показывает, что условие $S > 3$ выполняется только в случае $|AC| = 10\sqrt{2} + 12$ (неравенство $\frac{18}{13} (10\sqrt{2} - 12) < 3$ устанавливается с помощью извлечения квадратного корня из неравенства $288 < 289$).

5. $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m$ ($m \in \mathbb{Z}$) при $b = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ ($n \in \mathbb{Z}$),

$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$ ($m \in \mathbb{Z}$) при $b = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ ($n \in \mathbb{Z}$).

при остальных значениях $b$ решений нет. Указание. Данное уравнение равносильно уравнению

$$\sin (x + \varphi) = \frac{3\sqrt{3} + 4\cos b}{\sqrt{8\sin^2 b + 1}},$$

где $\varphi$ удовлетворяет условиям $\cos \varphi = \frac{3\sin b}{\sqrt{8\sin^2 b + 1}}, \sin \varphi = \frac{\cos b}{\sqrt{8\sin^2 b + 1}}.$

Чащество (*) положительное и должно не больше 1. Это возможно лишь при $b = -\sqrt{3}/2.$

Физика Физическая факультет

1. $t = \frac{1}{2} (t_1 - t_2) + \frac{l}{g \sin a} \left( \frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1} \right).$

2. $T_2 = \frac{m\Delta m}{4m + \Delta m} g.$

3. $\frac{l_{\max}}{l_{\min}} = \frac{\sqrt{3}4 + 1}{\sqrt{3}4 - 1} \approx 4,4.$

4. $p = \frac{p_1p_2(m_1 + m_2)}{p_1m_2 + p_2m_1}.$

5. $\varphi = \frac{n_2}{n_1} 100\% = 50\%.$

6. $Q' = 4/3Q \approx 1,3 \cdot 10^{-6}$ Кл.

7. $\alpha = P_{\pi p}/P_{\pi c} = 1/3.$

8. $v = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{cD_0\Delta T}{\tau}} \approx 0,14$ м/с.

64

9. $\alpha \leqslant 2$ arccos $(n_B/n_c)$.

10. $F = \frac{abc}{(b-a)^2}$.

Механико-математический факультет, факультет вычислительной математики и кибернетики, химический, географический и геологический факультеты и факультет почвоведения

1. $v = \pi n d^2/l = 628$ м/с.
2. $N = m (g + a) \cos \alpha \approx 2$ Н.
3. $k_1 = k_2/2$.
4. $F = \sqrt{2g (m_1^2 h_1 + (m_1 + m_2)^2 h_2)} / \Delta t$.
5. $h = (m_1 + m_2)/(2\varrho S) = 0,1$ м.
6. $p = 3 \left( \frac{m_1}{M_1} + \frac{m_2}{M_2} \right) \frac{RT}{V} = 1,8 \cdot 10^5$ Па.
7. $x = \frac{p_0}{2\varrho g} \left( \sqrt{1 + \frac{2L\varrho g}{p_0}} - 1 \right)$.
8. $E = \frac{8\sqrt{3}|q|}{9\pi\varepsilon_0 a^2} \approx 12 \cdot 10^6$ В/м.
9. $A = 1/2 (q_2 - q_1) E l (\cos \alpha - \cos \beta) \approx 4,8 \cdot 10^{-4}$ Дж.
10. $U = \frac{E R_3}{r + R_1 + R_3} = 3$ В; $q = CU = 6 \cdot 10^{-6}$ Кл.
11. $\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{(U_1^2 - PR) U_2^2}{(U_2^2 - PR) U_1^2} = 1,5$.
12. $q = (9 - 4\sqrt{3}) a^2 B/(9 R) = 1,2 \cdot 10^{-7}$ Кл.
13. $h' = hn_2/n_1 = 0,15$ м.
14. $l = DF/d = 15$ см.
15. $l = Ft \sqrt{(R + h)g/h} = 0,04$ м.

«Кваант» для младших школьников (см. «Кваант» № 1)

1. Очевидно, что я окажусь посередине канатной дороги в тот момент, когда коливесто

Главный редактор — академик Ю. А. Осипьян
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров
Заместители главного редактора: Л. Г. Асламазов, А. А. Леонович, В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев
Редакционная коллекция: А. А. Абрикосов, М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, А. А. Барламов, Н. В. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко, В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. В. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант
Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Беляев, Б. В. Буховцев, Е. П. Великов, И. Я. Верченko, В. В. Воздвиженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erмолаева, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, Л. В. Канторович, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патриkeeва, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенко, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовили:
А. А. Варламов, А. Н. Виленкин, В. Н. Дубровский, А. А. Егоров, И. Н. Климова, Т. С. Петрова, А. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Номер оформили:
Е. В. Виндарова, Т. А. Доброкотова, М. В. Дубах, С. В. Иванов, С. М. Рокамболь, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина
Фото представили:
В. Т. Брель, ЛАФОКИ

Заведующая редакцией Л. В. Чернова

Редактор отдела худоместственного оформления
С. В. Иванов

Худоместственный редактор Т. М. Макарова

Корректор Н. В. Румянцева

103006 Москва К-6,
ул. Горького, 32/1, «Кваант»,
тел. 250-33-54

Сдано в набор 22.12.85. Подписано к печати 20.1.86.
Печать офсетная. Усл. кр. от. 23,8
Вумага 70×108^1/16
Усл. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 7,45. Т-03344
Тираж 199 091 экз.
Цена 40 коп. Заказ 3392

Ордена Трудового Красного Заменини
Чеховский полигraphический комбинат
ВО «Соизолигraphиром»
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полигraphии
и кинжной торговли
г. Чехов Московской области