Законы Кеплера и школьная физика

Квант 1986, №2 с. 49-50 Тег PFRY

Кандидат физico-matематических наук
В. Е. БЕЛОНУЧКИН

На примениях экзаменах в некоторых вызывных направлениях в Московский физico-технический институт, а также на школьных физических олимпiadах передко встречаются задачи, в которых требуется рассмотреть движение планет (или их спутников) и определить соответствующее параметры их орбит. Большую помощь в решении таких задач может оказать знание законов Кеплера, с которым изучается знакомятся в школьном курсе астрономии.

Вспомним законы Кеплера.

I закон: каждая планета обращается вокруг Колнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Колнце.

II закон: радиус-вектор планеты за одиноковые промежутки времени описывается площади.

III закон: квадраты перiodов обращения двух планет вокруг Колнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Если центральным «светилом» является не Колнце, а, например, Земля (или иная планета) и нас интересует движение ее спутников, также можно пользоваться закономи Кеплера. Над простой Колнце заменить на Землю, а планеты — на их спутники.

В этой статье мы рассмотрим несколько задач, решения которых предполагает знание законов Кеплера. Попутно вспомним и другие, в частности количественные, сведения из астрономии; они тоже могут оказаться полезными при выяснения параметров орбит планет, комет, спутников.

Ровно четверть века назад, 12 апреля 1961 года, человек, говоря с вами К. Э. Циолковского, «вышел из колыбели» в Космос. Юрий Гагарин, первый космонавт Земли, на космическом корабле «Восток» совершил один оборот вокруг Земного шара. Помните ли вы продолжительное этого полета? Если нет, то не можете ли расчитать ее?

Задача 1. Какова минимальное возможная продолжительность полета спутника вокруг Земли?

В силу III закона Кеплера полезен в вокруг Земли, требующий наименьшего времени, должен проходить по эллипсу с минимальной большей полуосью. Очевидно, что таким эллипсом является окружность (эллипс с совпаданием фокусами), примыкающая к поверхности Земного шара.

Продолжительность полета можно вычислить различными способами. Мы выберем, может быть, не самый простой метод, но это такой, который неисредственно использует законы Кеплера.

Вспомним, что естественный спутник Земли — Луна — совершает один оборот за время (звездный месяц) $T_{\text{Л}} = 27,3$ сут=2,36·10⁶ с. Средний радиус орбиты Луны $r_{\text{Л}} = 3,84 \cdot 10^5$ км, радиус Земли, а следовательно, и радиус «самой быстрой» (по времени) траектории спутника $R_3 = r_{\text{min}} = 6,38 \times 10^3$ км. Остается подавить эти данные в выражение III закона Кеплера

$\frac{T_{\text{min}}^2}{T_{\text{Л}}^2} = \frac{r_{\text{min}}^3}{r_{\text{Л}}^3},$

и мы найдем

$T_{\text{min}} = T_{\text{Л}} \left( r_{\text{min}} / r_{\text{Л}} \right)^{3/2} \approx 5,06 \cdot 10^3 \text{с} = 84 \text{мин} = 1 \text{ч} 24 \text{мин}.$

(Заметим, что полет Ю. А. Гагарина продолжался 1 ч 48 мин, то есть коабль «Восток» сделал часть более одного витка.)

Конечно, расчет параметров круговых орбит — дело сравнительно несложное. Мы могли бы, например, воспользоваться значением перой космической скорости для спутника, запускаемого с Земли, и, зная радиус его орбиты, вычислить период. Но когда приходится записаться действительно эллиптическими орбитами, имеющими заметный эксцентриситет, нас могут выручить только законы Кеплера.

Задача 2. Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите ра-

Рис. 1.

дцусом $R + 3R_3$ (рис. 1). В результате кратковременного действия тормозного движения скорость спутника уменшила так, что он перешел на эллиптическую орбиту, касающуюся поверхности Земли. Через какое время после торможения спутник прземлится?

До приземления спутник должен пройти поливну эллиптической траектории, большая полусьтой которого, как нетрудно видеть, равна $2R_3$ . Искомое время торможения $\tau$ можно найти непредставлено из III закона Кеплера, если использовать результаты предыдущего задачи:

$\frac{(2\tau)^2}{T_{\min}^2} = \frac{(2R_3)^3}{R_3^3},$

$\tau = \frac{1}{2}T_{\min} \cdot 2^{3/2} = \sqrt{2}T_{\min} \approx 7,1 \cdot 10^3\text{c} \approx 119\text{мин} \approx 2\text{ч}.$

В этом году окрестности Солнца посещает, пожалуй, самая знаменитая комета солнечной системы — комета Галлея. Впервые учены смогут наблюдать ее не только с помощью прибора, расположенных на Земле: на свидение с кометом советская космическая ракета несет созданную международным коллективом ученых автоматического станцию «Вега» (она посетит ВЕНеру и комету ГАЛлея). Учены постараются как можно подробнее изучить во многом еще загадочную страницу космоса (программа исследования очень общирна) — ведь следующая встреча состояния только через 76 лет!

Давайте и мы проведем небольшое «исследование» кометы.

Задача 3. Minimalное расстояние кометы Галлея от Солнца $r_{\min} = 0,6$ а. е. (1 астрономическая единица=1 а. е.=1,5·10^8 км — радиус земной орбиты). Зная период обращения кометы $T=76$ лет, найдите, насколько далеко она уходит от Солнца.

Мы недаром выбрали в качестве единцы времени год, а единцы длины — расстояние от Земли до Солнца. Ведь проще всего параметры орбиты кометы сравнить с параметрами орбиты Земли.

Из III закона Кеплера найдем большую полусьтую орбиты кометы Галлея $a$ :

$a = a_3 \left( \frac{T}{T_3} \right)^{2/3} = r_0 \left( \frac{T}{T_0} \right)^{2/3} \approx 17,9 \text{ а. е.}$
( $r_0=1$ а. е., $T_0=1$ год). Тепер нетрудно определить максимальное удаление кометы от Солнца:

$r_{\max} = 2a - r_{\min} \approx 35,2 \text{ а. е.} \approx 5,3 \cdot 10^9 \text{ км}.$

Задача 4. Используя сведения из задачи 3, оцените максимальное и минимальное скорости кометы Галлея.

Перигелиой орбиты кометы во много раз близке к Солнцу, чем афейний. Следовательно, мы не допустим большой ошибки, если будем считать, что в близки перигелия комета движется не по эллиптической, а по параболической орбите. Это означает, что в перигелия скорость кометы равна так называемой второй космической скорости (или параболической скорости) относительно Солнца, то есть той минимальной скорости, при которой комета может предодеть гравитационное прияжение Солнца.

Известно, что вторая космическая скорость $v_{\text{II}}$ в $\sqrt{2}$ раз больше перой космической скорости $v_1$ , вычисленной для того же расстояния от центра прияжения.*) Значит, нам надо знать первую космискую скорость для расстояния $r_{\min} = 0,6$ а. е. от Солнца. А вычислить ее можно с помощью законов Кеплера, использую в качестве ориентира Землю и знания, что скорость движения Земли по орбите равна $v_0 = 30$ км/с (если вы не помните это значение, его можно вычислить, поделив длину орбиты на продолжительность периода обращения).

Тепер несколько преобразуем выражение III закона Кеплера — выразим период обращения через скорость и радиус:

*) С выводом этого соотношения можно познакомиться, например, по статье В. В. Можаева «Закон всемирного тяготения» («Квант», 1980, № 3). Там же можно найти метод строгого расчета интерсуциных нас скоростей и с его помощью убедиться, что мы ошиблись совсем немного.