Định luật Kepler và vật lý học đường

49

Định luật Kepler và vật lý học đường

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. E. BELONUCHKIN

Trong các kỳ thi ứng dụng ở một số lĩnh vực khó tại Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva, cũng như tại các kỳ thi Olympic vật lý cấp trường, người ta gặp phải bài toán, trong đó cần phải xem xét chuyển động của các hành tinh (hoặc vệ tinh của chúng) và xác định các thông số quỹ đạo tương ứng của chúng. Kiến thức về các định luật Kepler, được học trong khóa học thiên văn học ở trường, có thể giúp ích rất nhiều trong lời giải như bài toán.

Chúng ta hãy nhớ định luật Kepler.

Định luật thứ nhất: mỗi hành tinh quay quanh Cột theo một hình elip, tại một trong các tiêu điểm mà Cột tọa lạc.

Định luật II: vectơ bán kính của hành tinh được mô tả theo diện tích trong cùng khoảng thời gian.

Định luật III: bình phương chu kỳ quay của hai hành tinh quanh Cột liên hệ với nhau bằng lập phương bán trục lớn của quỹ đạo của chúng.

Nếu “sáng” trung tâm không phải là Cột, mà là Trái đất (hoặc hành tinh khác) chẳng hạn và chúng ta quan tâm đến chuyển động của các vệ tinh của nó, thì chúng ta cũng có thể sử dụng định luật Kepler. Ở trên đơn giản, hãy thay thế Cột bằng Trái đất và các hành tinh bằng vệ tinh của chúng.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một số bài toán, lời giải giả định kiến ​​thức về các định luật Kepler. Trong quá trình này, chúng ta hãy nhớ lại những thông tin khác, đặc biệt là về mặt định lượng, từ thiên văn học; chúng cũng có thể hữu ích trong việc xác định các thông số quỹ đạo của các hành tinh, sao chổi và vệ tinh.

---

Cách đây đúng một phần tư thế kỷ, vào ngày 12 tháng 4 năm 1961, một người đàn ông, được K. E. Tsiolkovsky nói với bạn, đã “ra khỏi nôi” vào Không gian. Yury Gagarin, nhà du hành vũ trụ đầu tiên trên Trái đất, đã thực hiện một cuộc cách mạng vòng quanh thế giới trên tàu vũ trụ Vostok. Bạn có nhớ chuyến bay này kéo dài bao lâu không? Nếu không, bạn có thể tính toán nó?

Bài toán 1. Thời gian tối thiểu có thể có của chuyến bay của vệ tinh quanh Trái đất là bao nhiêu?

Theo định luật Kepler III, vật hữu ích trên khắp Trái đất, cần ít thời gian nhất, phải đi dọc theo một hình elip có bán trục lớn tối thiểu. Rõ ràng, hình elip như vậy là một hình tròn (hình elip có tiêu điểm trùng nhau) tiếp giáp với bề mặt Trái đất.

Thời gian bay có thể được tính theo nhiều cách khác nhau. Có lẽ chúng ta sẽ chọn không phải phương pháp đơn giản nhất mà là phương pháp sử dụng trực tiếp các định luật Kepler.

Chúng ta hãy nhớ rằng vệ tinh tự nhiên của Trái đất, Mặt trăng, thực hiện một vòng quay trong một thời gian (tháng thiên văn) $T_{\text{Л}} = 27,3$ ngày=2,36·10⁶ s. Bán kính trung bình của quỹ đạo của Mặt trăng là $r_{\text{Л}} = 3,84 \cdot 10^5$ km, bán kính của Trái đất và do đó bán kính của quỹ đạo vệ tinh “nhanh nhất” (theo thời gian) là $R_3 = r_{\text{min}} = 6,38 \times 10^3$ km. Vẫn còn phải nén những dữ liệu này vào biểu thức của định luật III của Kepler

$$\frac{T_{\text{min}}^2}{T_{\text{Л}}^2} = \frac{r_{\text{min}}^3}{r_{\text{Л}}^3},$$

và chúng ta sẽ tìm thấy

$$T_{\text{min}} = T_{\text{Л}} \left( r_{\text{min}} / r_{\text{Л}} \right)^{3/2} \approx 5,06 \cdot 10^3 \text{с} = 84 \text{мин} = 1 \text{ч} 24 \text{мин}.$$

(Lưu ý rằng chuyến bay của Yu. A. Gagarin kéo dài 1 giờ 48 phút, tức là tàu vũ trụ Vostok đã thực hiện nhiều hơn một cuộc cách mạng.)

Tất nhiên, việc tính toán các thông số của quỹ đạo tròn là một vấn đề tương đối đơn giản. Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng vận tốc thoát cho một vệ tinh được phóng từ Trái đất và biết bán kính quỹ đạo của nó, tính chu kỳ. Nhưng khi chúng ta phải viết ra những quỹ đạo thực sự hình elip có độ lệch tâm đáng chú ý, chỉ có định luật Kepler mới có thể giúp chúng ta giải quyết.

Bài toán 2. Vệ tinh chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo tròn

50

Hình 1.

dtsus $R + 3R_3$ (hình 1). Do hiệu ứng phanh ngắn hạn, tốc độ của vệ tinh giảm xuống khiến nó chuyển sang quỹ đạo hình elip chạm vào bề mặt Trái đất. Bao lâu sau khi hãm phanh, vệ tinh sẽ hạ cánh?

Trước khi hạ cánh, vệ tinh phải đi theo một quỹ đạo hình elip, nửa chính của quỹ đạo đó, như dễ thấy, bằng $2R_3$. Thời gian phanh cần thiết $\tau$ có thể được tìm thấy không được biểu thị trong định luật Kepler III, nếu chúng ta sử dụng kết quả của bài toán trước đó:

$$\frac{(2\tau)^2}{T_{\min}^2} = \frac{(2R_3)^3}{R_3^3},$$

$$\tau = \frac{1}{2}T_{\min} \cdot 2^{3/2} = \sqrt{2}T_{\min} \approx 7,1 \cdot 10^3\text{c} \approx 119\text{мин} \approx 2\text{ч}.$$

Năm nay, có lẽ sao chổi nổi tiếng nhất của hệ mặt trời, Sao chổi Halley, sẽ ghé thăm vùng lân cận Mặt trời. Lần đầu tiên, các nhà khoa học sẽ có thể quan sát nó không chỉ với sự trợ giúp của một thiết bị đặt trên Trái đất: tại điểm hẹn với sao chổi, một tên lửa vũ trụ của Liên Xô mang theo trạm tự động Vega do một nhóm các nhà khoa học quốc tế tạo ra (nó sẽ đến thăm Sao Kim và Sao chổi HALLEY). Các nhà khoa học sẽ cố gắng nghiên cứu càng chi tiết càng tốt trang vũ trụ vẫn còn bí ẩn (chương trình nghiên cứu rất rộng rãi) - xét cho cùng, cuộc họp tiếp theo của nhà nước chỉ còn 76 năm nữa!

Chúng ta hãy “nghiên cứu” một chút về sao chổi.

Bài toán 3. Khoảng cách tối thiểu của Sao chổi Halley tới Mặt trời $r_{\min} = 0,6$ a. đ. (1 đơn vị thiên văn = 1 au = 1,5·10^8 km - bán kính quỹ đạo trái đất). Biết chu kỳ quỹ đạo của sao chổi là $T=76$ năm, hãy tìm xem nó di chuyển bao xa khỏi Mặt trời.

Không phải vô cớ mà chúng ta chọn năm làm đơn vị thời gian và đơn vị độ dài là khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời. Rốt cuộc, cách dễ nhất là so sánh các thông số quỹ đạo của sao chổi với các thông số quỹ đạo Trái đất.

Từ định luật Kepler III, chúng ta tìm được quỹ đạo bán chính của sao chổi Halley $a$:

$$a = a_3 \left( \frac{T}{T_3} \right)^{2/3} = r_0 \left( \frac{T}{T_0} \right)^{2/3} \approx 17,9 \text{ а. е.}$$
($r_0=1$ a.u., $T_0=1$ năm). Bây giờ không khó để xác định khoảng cách tối đa của sao chổi với Mặt trời:

$$r_{\max} = 2a - r_{\min} \approx 35,2 \text{ а. е.} \approx 5,3 \cdot 10^9 \text{ км}.$$

Bài toán 4. Sử dụng thông tin từ bài toán 3, ước tính tốc độ tối đa và tối thiểu của Sao chổi Halley.

Quỹ đạo điểm cận nhật của sao chổi gần Mặt trời hơn nhiều lần so với quỹ đạo của sao chổi. Do đó, chúng ta sẽ không phạm sai lầm lớn nếu giả sử rằng ở điểm cận nhật sao chổi không chuyển động theo quỹ đạo hình elip mà theo quỹ đạo parabol. Điều này có nghĩa là ở điểm cận nhật, tốc độ của sao chổi bằng cái gọi là tốc độ vũ trụ thứ hai (hay tốc độ parabol) so với Mặt trời, tức là tốc độ tối thiểu mà sao chổi có thể chống lại lực hấp dẫn của Mặt trời.

Được biết, vận tốc vũ trụ thứ hai $v_{\text{II}}$ lớn hơn $\sqrt{2}$ lần vận tốc vũ trụ thứ nhất $v_1$, tính cho cùng khoảng cách tính từ tâm hấp dẫn.*) Điều này có nghĩa là chúng ta cần biết vận tốc vũ trụ thứ nhất cho khoảng cách $r_{\min} = 0,6$ a. đ. từ Mặt Trời. Và bạn có thể tính toán nó bằng định luật Kepler, sử dụng Trái đất làm tài liệu tham khảo và biết rằng tốc độ của Trái đất trên quỹ đạo là $v_0 = 30$ km/s (nếu bạn không nhớ giá trị này, nó có thể được tính bằng cách chia chiều dài quỹ đạo cho độ dài của chu kỳ quỹ đạo).

Bây giờ chúng ta hãy biến đổi một chút biểu thức của định luật Kepler III - chúng ta biểu thị thời kỳ cách mạng theo tốc độ và bán kính:

*) Có thể tìm thấy nguồn gốc của mối quan hệ này, chẳng hạn như trong bài viết của V.V. Mozhaev “Định luật vạn vật hấp dẫn” («Kvant», 1980, số 3). Ở đó, bạn cũng có thể tìm thấy một phương pháp tính toán chặt chẽ các vận tốc liên tiếp thành công của chúng ta và với sự trợ giúp của nó, đảm bảo rằng chúng ta đã mắc một sai lầm rất nhỏ.