Công thức hữu ích

33

nhiều số là bình phương và tổng của hai bình phương cùng một lúc; đây là “bộ ba Pythagore”. Ngoài ra còn có vô số khối là tổng của ba khối, v.v.

Năm 1742, trong thư từ của hai viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, H. Goldbach và L. Euler, vấn đề sau nảy sinh (được gọi là bài toán Goldbach): có đúng là mọi số chẵn lớn hơn hai đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố và mọi số lẻ lớn hơn bảy có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của ba số nguyên tố. Đóng góp đáng kể cho lời giải Những bài toán này do các nhà toán học Liên Xô I. M. Vinogradov và N. G. Chudkov đưa ra.

Lớp các bài toán liên quan đến việc biểu diễn các số dưới dạng tổng của các số thuộc một loại nhất định được gọi là lý thuyết số cộng (từ tiếng Latin additivus - được thêm vào, là kết quả của phép cộng).

Ngược lại với số nguyên tố, các nhà toán học xem xét các số có rất nhiều thừa số. Một số tự nhiên được gọi là siêu tổ hợp nếu nó có nhiều ước số khác nhau hơn bất kỳ số tự nhiên nào nhỏ hơn nó. Đơn vị có ước số duy nhất là số siêu tổ hợp (vì không có số tự nhiên nào nhỏ hơn nó). Số siêu tổ hợp tiếp theo sẽ là số nguyên tố 2, có hai ước số 1 và 2; xa hơn - số 4 có ba ước 1, 2 và 4; rồi 6 với 4 ước. Người ta có thể cho rằng mọi số $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ đều là siêu tổng hợp, nhưng thực tế không phải vậy. Hãy thử tìm 10 số siêu hợp số sau đây.

Có một công thức để tìm số ước của các số khác nhau. Người ta biết rằng mọi số tự nhiên $n$ đều có thể được biểu diễn dưới dạng tích lũy thừa của các số nguyên tố và hơn nữa, theo một cách duy nhất:

$$n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots \cdot p_s^{k_s}$$

(định lý này gọi là định lý chính)

A.P.

Thông tin hữu ích

Kiểm tra chia hết cho 11

Để một số viết trong hệ thập phân chia hết cho 11 thì điều cần và đủ là hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn phải chia hết cho 11.

Định lý Wilson

Số $(n-1)!+1$ chia hết cho $n$ khi và chỉ khi $n$ là số nguyên tố.

Định lý nhỏ của Ferl

Nếu $p$ là số nguyên tố thì với mọi số tự nhiên $a$ số $a^p$ đều chia hết cho $p$.

34

Kết quả là một hợp kim đồng-vàng được hình thành ở vùng tiếp xúc cực kỳ hẹp giữa quả bóng và tấm kim loại.

Điểm nóng chảy của vàng nguyên chất là 1063 °C, đồng nguyên chất là 1083 °C, còn hợp kim của vàng và đồng nóng chảy ở nhiệt độ thấp hơn. Ví dụ, một hợp kim bao gồm số lượng nguyên tử vàng và đồng bằng nhau đã nóng chảy ở nhiệt độ 910 °C. Chính tình huống này là chìa khóa để làm sáng tỏ bí mật của những người thợ kim hoàn ở Etruria. Họ tăng nhiệt độ đến mức chỉ có vùng hợp kim hình thành tan chảy, trong khi bản thân vàng và đồng vẫn ở trạng thái rắn. Sau khi làm nguội tiếp theo, chất tan chảy đông đặc lại và hạt, thực tế không bị mất hình dạng hình cầu, được hàn vào đế đồng. Quá trình này xảy ra đồng thời ở tất cả các hạt và toàn bộ hoa văn dán trên giấy dường như được “giảm” (bằng cách tương tự với các bức tranh chuyển) thành đồng. Giấy cói được tước thành từng mảnh ở nhiệt độ cực cao và sản phẩm đã sẵn sàng. Đồng không có thời gian để mô tả, vì quá trình này diễn ra khá nhanh và một phần đáng kể oxy đã được giấy cói hấp thụ trong quá trình cạo.

Những bí mật cổ xưa của đồ trang sức vẫn chưa được hiểu hết. Chẳng hạn, vẫn chưa rõ làm thế nào người Estruci có thể tạo ra những quả bóng vàng nhỏ. Nhưng điều đáng ngạc nhiên nhất là làm thế nào mà các bậc thầy từ xa xưa lại có thể phát triển được công nghệ tiên tiến như vậy. Người Estruci đã có được sự kết hợp tuyệt vời giữa cơ hội, kinh nghiệm và lời nói như thế nào? có thể một ngày nào đó điều này sẽ được biết đến, nhưng hiện tại chúng ta chỉ có thể bày tỏ lòng kính trọng đối với những người đã biến mất và lặp lại lời của nhà sử học La Mã cổ đại Gaius Sallust: “Người ta đạt được NHỮNG GÌ bằng cách canh tác đất đai, kim loại nổi và xây dựng các tòa nhà phụ thuộc vào sức mạnh tinh thần của họ.”

bìa của chúng tôi

(Để bắt đầu, xem trang 27)
chạm vào cùng một mặt phẳng bằng $2\sqrt{R_1R_2}$, trong đó $R_1$ và $R_2$ là bán kính của quả bóng và đáy của hình trụ.

Gọi $A$ và $C$, $B$ và $D$ lần lượt là điểm tiếp xúc của các quả bóng có bán kính $R_1$ và $R_2$ với mặt phẳng, $l$ là đường thẳng mà hình trụ tiếp xúc với mặt phẳng. Từ nhận định trên, suy ra rằng $AB=BC=CD=DA=2\sqrt{R_1R_2}$, tức là $ABCD$, là hình thoi (hình 2) và các đường chéo của nó là $2R_1$ và $2R_2$.

Ngoài ra, các điểm $A$ và $C$ bị xóa khỏi đường $l$ ở cùng một khoảng cách (bằng $2\sqrt{R_1r}$). Do đó, đường thẳng này đi qua giữa $O$ của đoạn $AC$ (tâm của hình thoi) hoặc song song với $AC$. Sau đó thì không thể, vì các điểm $B$ và $D$ cũng bị xóa khỏi $l$ ở cùng một khoảng cách ($2\sqrt{R_2r}$). Kết quả là bản vẽ được hiển thị ở hình 2.

Từ tam giác vuông $AOB$ ta thu được phương trình $AB^2=AO^2+OB^2$ hoặc $4R_1R_2=R_1^2+R_2^2$.

Hơn nữa, nếu $\alpha$ và $\beta=\pi/2-\alpha$ là các góc giữa đường thẳng $l$ và đường thẳng $OA$ và $OB$, thì $\sin \alpha=2\sqrt{R_1r/R_1}=2\sqrt{r/R_1}$, $\cos \alpha=\sin \beta=2\sqrt{r/R_2}$, do đó,

$$1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=4r\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right).$$

Giải các phương trình (1) và (2) cùng nhau, ta thu được đáp số: $R_1=4r(3\pm\sqrt{3}), R_2=4r(3\mp\sqrt{3})$ (các dấu được chọn theo).

V. D.

36

như được hiển thị ở hình 1: $|AB|=l, |BC|=2l$. Thanh được treo ở điểm $A$ vào một sợi dây rất dài không đảo ngược $AO$. Tại thời điểm ban đầu, thanh được giữ ở vị trí nằm ngang và sợi chỉ thẳng đứng; sau đó thanh được thả ra. Vận tốc của điểm $A$ tại thời điểm thanh đi qua vị trí thấp nhất là bao nhiêu?

G. L. Kotkin

F979. Một lượng khí lý tưởng đựng trong một bình có dạng hai hình trụ “nối” với nhau có cùng chiều dài $l$ và có tiết diện $S$ và $\alpha S$ ($\alpha>1$). Ở giữa mỗi xi lanh có các piston được nối với nhau bằng một thanh cứng (hình 2); trong trường hợp này, áp suất ở ngăn $I$ bằng $p$, ở ngăn III áp suất là $\beta p$ thì các piston ở trạng thái cân bằng. Tello $Q$ được đưa vào hệ thống nên nhiệt độ tăng cao, giữ nguyên ở tất cả các ngăn. Xác định xem áp suất trong ngăn $I$ đã thay đổi như thế nào. Nội năng của một mol khí bằng $cT$ (c là nhiệt dung mol của khí). Khả năng sinh nhiệt của xi lanh và piston không đáng kể; bỏ bê buổi sáng.

V. S. Fadin

F980. Bốn tấm kim loại giống hệt nhau có diện tích $S$, mỗi tấm mang điện tích $q_1, -q_1, q_2, -q_2$ được lắp song song với nhau ở khoảng cách $d$ với nhau (hình 3; $d$ nhỏ hơn nhiều so với kích thước tuyến tính của các tấm). Tấm ngoài 1 và 4 được nối bằng dây. Tìm hiệu điện thế giữa tấm 2 và tấm 3.

T. V. Fedogovich

F981. Trên tải trọng $M$, tải trọng bên ngoài cao nhất, đặt tải trọng $m$ (hình 4), giữ tải $M$ ở vị trí ban đầu, sau đó thả các quả nặng. Tìm lực lớn nhất tác dụng lên tải $m$ từ phía của tải $M$.

P. I. Zubkov

F982. Như đã biết, kích thước tối đa để đặt chi tiết hình ảnh lên phim được xác định bởi kích thước tinh thể của lớp cảm quang. Khi kích thước tinh thể giảm, độ rõ của hình ảnh tăng lên. Ước tính kích thước tinh thể tối đa mà tại đó người xem không còn nhận thấy sự gia tăng độ rõ của hình ảnh trên màn hình rạp chiếu phim. Giả sử rằng bạn hiểu rõ về hiện tượng này, có thể đặt số lượng cần thiết cho lời giải, chọn các giá trị số đủ chính xác và thu được kết quả bằng số.

G. V. Meledin

Problems

M966—M970; P978—P982

M966. Prove that any triangle can be cut up by line segments into four pieces from which two triangles similar to the original one can be put together.

L. D. Kurlyandchik

M967. Denote by $\sigma(n)$ the sum of all positive integer divisors of the number $n$ (including 1 and $n$) and by $\varphi(n)$ the quantity