Bài toán M1036—M1040; F1048—F1052

22

Bài toán

M1036 — M1040; F1048 — F1052

M1036. Có hình ngũ giác (không lồi) nào có thể cắt thành hai hình ngũ giác bằng nhau không?

S. M. Hosid

M1037. Tìm tất cả lời giải trong các số tự nhiên x, y của phương trình $x^y - y^x = x + y$.

A. I. Zaichik

M1038. a) Chứng minh rằng nếu tích mn chia hết cho 6 (trong đó m và n là số nguyên lớn hơn 1) thì ô hình chữ nhật $m \times n$ có thể cắt thành các góc của ba ô.

Bằng bao nhiêu m và n có thể làm như vậy để các đường phân chia không bị cắt đi (hình 1)

6. không phải là một ô $2 \times 3$ hình chữ nhật?

b) không phải là một hình chữ nhật (nhỏ hơn m × n)?

M. Khovanov (học sinh lớp 9), A. P. Savin

M1039. Điểm A, B, C, D là các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng a) nếu $DA \cdot BC = DB \cdot CA = DC \cdot AB$ thì cả ba tích vô hướng đều bằng 0;

6. nếu ba góc giữa các cạnh đối diện của một tứ diện bằng nhau thì chúng thẳng.

V. E. Matizen

M1040*. Các số 1, 2, …, 3n được chia ngẫu nhiên thành ba nhóm, mỗi nhóm có n số. Chứng minh rằng bạn có thể chọn một số trong mỗi nhóm sao cho một số bằng tổng của hai số còn lại.

V. E. Alekseev, S. Savtsev (NRB)

F1048. Người chiếu đã chèn nhầm dải phim khiến mọi sự kiện trên màn hình “chảy theo hướng ngược lại” đồng thời tự động lùi về phía sau. Tốc độ và gia tốc tự động thay đổi như thế nào do lỗi này?

A. S. Butov

F1049. Chiếc bè gỗ được đẩy ra xa bờ sông sao cho lúc đầu vận tốc của nó bằng v và hướng vuông góc với bờ sông. Quỹ đạo của chiếc bè được thể hiện ở hình 2. Chữ thập trên quỹ đạo đánh dấu vị trí của chiếc bè trong thời gian T sau khi bắt đầu chuyển động. Giả sử tốc độ dòng sông không đổi và bằng u, hãy tìm đồ thị các điểm của quỹ đạo mà tại đó chiếc bè đang nằm ở các thời điểm 2T, 3T, 4T.

Tôi. Yu. Poteryayko

F1050. Một hạt nhỏ khối lượng m, mang điện tích dương q, tiếp cận tụ điện từ một khoảng cách rất lớn theo hướng vuông góc với các bản của nó và bay qua tụ qua các lỗ nhỏ ở giữa các bản. Giả sử rằng ở một khoảng cách lớn so với tụ điện, tốc độ của hạt bằng v, hãy tìm tốc độ của nó: 1) tại điểm A bên trong tụ điện (hình 3); 2) tại điểm B ngay sau khi rời khỏi bình ngưng. Tụ điện được tích điện đến hiệu điện thế U, khoảng cách giữa các bản nhỏ hơn nhiều so với kích thước của các bản; Điện tích của tụ lớn hơn nhiều so với q.

G. V. Grigoriev

F1051. Trong một từ trường có cảm ứng nằm ngang bằng B, một vòng kim loại mỏng lăn không trượt với vận tốc v, trong đó