Задачи М1036—М1040; Ф1048—Ф1052

22

Задачи

M1036 — M1040; Ф1048 — Ф1052

M1036. Существует ли такой (невыпуклый) пятугольник, который можно разрезать на два равных пятугольника?

С. М. Хосид

M1037. Найдите все решения в натуральных числах x, y уравнения $x^y - y^x = x + y$.

А. И. Зайчик

M1038. a) Докажите, что если произведение mn делится на 6 (где m и n — целые числа, больше 1), то прямогольник $m \times n$ клеток можно разрезать на уголки из трех клеток.

При каких m и n это можно сделать так, чтобы линии раздела не вырезали (рис. 1)

6. ни одного прямогольника $2 \times 3$ клетки?

b) ни одного прямогольника (меньшего m × n)?

M. Хованов (ученик 9 класса), А. П. Савин

M1039. Точка A, B, C, D — вершины tetrahedра. Докажите, что a) если $DA \cdot BC = DB \cdot CA = DC \cdot AB$, то все три скалярные произведения равны 0;

6. если три угла между противоположными ребрами tetrahedра равны, то они прямы.

В. Э. Матизен

M1040*. Числа 1, 2, …, 3n произвольным образом разбиты на три группы по n чисел в каждой. Докажите, что можно выбрать по одному числу из каждой группы так, что одно из них равно сумме двух других.

В. Е. Алексеев, С. Савцев (НРБ)

Ф1048. Киномеханик по ошибке вставил киноленту так, что все события на экране «потекли в обратном направлении», при этом автоматически поехали назад. Как изменились скорость и ускорение автоматически в результате такой ошибки?

А. С. Бутов

Ф1049. Деревянный плот оттолкнул от берега реки так, что в начальной момент его скорость была равной v и направлена перpendicularно берегу. Траектория плота показана на рисунке 2. Крестиком на траектории оттолкено место, в котором плот находится время T после начала движения. Считая скорость реки постояной и равной u, найти графические точки траектории, в которых плот находится в момент времени 2T, 3T, 4T.

И. Ю. Потеряйко

Ф1050. Небольшая частница массой m, несущая положительный заряд q, с очень большого расстояния приближается к конденсатору по направлению, перpendicularному его пластинам, и проletaет сквозь конденсатор через небольшие отверстия в серединах пластин. Считая, что на большом расстоянии от конденсатора скорость частцы равна v, найти ее скорость: 1) в точке A внутри конденсатора (рис. 3); 2) в точке B сразу после выleta из конденсатора. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U, расстояние между пластинами много меньше размеров пластин; заряд конденсатора много больше q.

Г. В. Григорьев

Ф1051. В магнитном поле, индукция которого горизонтальная и равна B, катися без просkalывания со скоростью v тонкое металлическое колюцо, в котором