Первый замечательный предел

40

ное; например, 11 934:51=234 (доказайте!).

Чтобы получить признак делимости на $m=10n-1$, нужно в Б заменить вычитание сложением, в Г и в Д вместо 0 написать $m$, а вместо 10$n+1$ написать 10$n-1$.

Пример

$$N = 9246, m = 69$$

(здесь операция Б— это измененная операция В).

Значит, 9246 делится на 69. Придумайте, как в этой строке прочесть частное 9246:69.

Заметим, наконец, что если записьать числа в двойной системе счисления, то любое из наших правил дает признак делимости на любое нечетное число (признак делимости на 2 в двойной системе самоочевиден).

В. Г. Столяр

Первый замечательный предел

В учебном пособии «Алгебра и начала анализа 9—10» (М.: Просвещение, 1986) в п. 20 (с. 94) доказывается теорема о произвольной синуса: функция синус имеет произвольную в любой точке и $(\sin x)'=\cos x$. При доказательстве этой формулы существует используется то, что отношение $\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$ стремится к единице, когда $\Delta x$ стремится к нулю:

$$\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x} \rightarrow 1$$ при $\Delta x \rightarrow 0$.

Иными словами, используется теорема о пределе отношения $\frac{\sin x}{x}$ при $x \rightarrow 0$:

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$$

Математики называют этот предел первым замечательным пределом.

В этой заметке мы доказем теорему о пределе отношения $(\sin x)/x$ при $x \rightarrow 0$ (в школьном учебнике соответствующое доказательство опирается на геометрическую наглядность, см. с. 95). При доказательстве нам понадобится более формальное определение предела, чем то, которое дается в «Алгебре и начала анализа 9—10» на с. 76. Именно, мы будем говорить, что функция $f(x)$ стремится к пределу $L$ при $x \rightarrow a$ ($x \neq a$), если для любого положительного $\varepsilon$ найдется такое положительное $\delta$, что для всех $x$, таких, что $|x-a|<\delta$ выполняется неравенство $|f(x)-L|<\varepsilon$. Другими словами, функция $f(x)$ стремится к пределу $L$ при $x \rightarrow a$, если для любого $\varepsilon>0$ можно указать такую окрестности точки $a$, что при всех $x$ из этой окрестности, $x \neq a$, будет выполняться неравенство $|f(x)-L|<\varepsilon$. (Продумайте самостояльно эквивалентность всех трех пределений предела: наших двух и определеня, данного в школьном учебнике.)

Итак, переходим к доказательству теоремы.

Предположим вначале, что $0<x<\frac{\pi}{2}$. Расмотрим единную окрестность с центром $O$ и сравним с центрам $AFC$ с плоскью прямолинника $ABCD$ (см. рисунок).

Площадь сегмента $AFC$ равна разности площадей сектора $OAC$ и треугольника $OAC$, т. е.

$$S_{AFC} = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x > 0,$$

откуда

$$\sin x < x.$$

Оценим теперь площадь прямолинника $ABCD$. Так как $AD=\sin x$, $DC=1-\cos x$,

$$S_{ABCD} = \sin x (1-\cos x) = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \sin x < 2 \cdot \frac{x^2}{4} \cdot x = \frac{x^3}{2}.$$