О графическом способе решения некоторых физических задач

49

О графическом способе решения некоторых физических задач

В. А. БОДИК, И. Я. СТРЕШИНСКИЙ

Часто графическое представление физического процесса делает его более наглядным и тем самым облегчает понимание рассматриваемого явления. Позволяя порой значительное упростить расчеты, графики широко использовать на практике для решения различных научно-технических и народно-хозяйственных задач. Умение строить и читать графики сегодня является обязательным для многих специалистов.

В данной статье мы рассмотрим вопрос об использовании графиков для решения некоторых типов физических задач.

§ 1. Легко икрасivo решаются графические многое cinematические задачи.

Задача 1. Заданы уравнения двіження двух тел: $x_1=20t, x_2=250-5t$. Требуется найти: а) место и время встречи; б) где было второе тело, когда первое проходило 100-й метр своего пути; в) в какой момент расстояние между телами составляет 125 м. Тела начали движаться одновременно.

На одинх осях координат построим графики зависимости координаты $x$ от времени $t$ для обихх тел (рис. 1).

a) Ordinata и абсцисса точки пересечения графиков есть соответственное место и время встречи: $x=200$ м, $t=10$ с.

b) С помощью первого графика узнаем момент времени, в котором первое проходило 100-й метр: $t=5$ с. Теперь, зная это время, по второму графику находится координату второго тела: $x=225$ м.

в) Расстояние между телами в начальной момент было равно 250 м. Следовательно, расстояние 125 м— это длина средней линии в треугольнике $ABC$, и искомый момент времени $t=5$ с. Из симметрии видно, что такое же расстояние будет между телами и через $t=15$ с после начала движения.

Задача 2. Найдите время и место соударения части, движущихся по

50

одной прямои. Начальная скорость первого частицы $v_{10}$, ее ускорение $a_1$, начальная скорость второй частицы $v_{20}$, ее ускорение $a_2$. В момент времени $t=0$ обе частицы имеют координату $x_0=0$, $v_{20}>v_{10}$, $a_2<a_1$.

К моменту встречи обе частицы пройдут одинаковые пути $l$, поэтому условия их соударения будут равенство площадей $S_1$ и $S_2$, защищенных под графиками зависимости скорости $v$ от времени $t$ (рис. 2):

$$S_1 = \frac{2v_{10}+a_1\tau}{2}\tau, \quad S_2 = \frac{2v_{20}+a_2\tau}{2}\tau.$$

Учитывая, что $S_1=S_2$, находим

$$\tau = \frac{2(v_{20}-v_{10})}{a_1-a_2}, \quad x=l = \frac{2(v_{20}-v_{10})(v_{20}a_1-v_{10}a_2)}{(a_1-a_2)^2}.$$

Задча 3. Пассарир, опоздающий к поезду, заметил, что предпоследний валон прощел mismo него за время $t_1=10$ с, а последний — за $t_2=8$ с. Считая движение поезда равноускоренным, определяте время опоздания пассажира.

На рисунке 3 представлен график зависимости скорости поезда $v$ от времени $t$. Обозначим длину одного вагона через $l$. Тогда $S_1=S_2=l$. Приравнивая $S_1$ и $S_2$, находим искомое время опоздания пассажира:

$$\frac{at+a(t+t_1)}{2}t_1 = \frac{a(t+t_1)+a(t+t_2)}{2}t_2, \quad t = \frac{t_2^2+2t_1t_2-t_1^2}{2(t_1-t_2)} = 31\text{ с.}$$

§ 2. Использование площади под графиком часто позволяет значительно упростить решение задачи.

Задча 4. Длиние сани, скользывание по очень главному луду, вззаяют на асфальт и останавливаются, не проijd и половины своей длины. После этого саням резким толком сообщают первоначальную скорость, и через некоторое время они вновь останавливаются. Как относится пути торможения в общих случаях?

Сила трения скольжения $F_{\tau p}$ в данной случае зависит, прежде всего, от того, какова длина $x$ части саней, находящейся на асфальте:

$$F_{\tau p} = \mu mgx/L$$

(здесь $\mu$ — коэффициент трения, $m$ — масса саней, $L$ — их длина). График зависимости $F_{\tau p}$ от $x$ (рис. 4) дает возможность найти работу по предодлении силы трения. Начальные кинетические энергии саней в общих случаях равны, значит, равны и равны по предодлении сил трения. Таким образом, записывая равенство — площей $S_1$ и $S_2$, находим искомое отношение пути торможения:

$$\frac{\mu mgx_1}{2L}x_1 = \frac{\mu mgx_1+\mu mgx_2}{2L}(x_2-x_1), \quad \frac{l_1}{l_2} = \frac{x_1}{x_2-x_1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}.$$

§ 3. Часто в задачах, где встречаются изменения чисел величины, мы делаем условия. Понять методку управления могут помочь графики.

Задча 5. На покоячеся тelo массой $M$ налетает со скоростью $v_0$ тelo массой $m$. Сила, возникшая при взаимодействии, сначала линейно растет от 0 до значения $F_0$ в течение промежутка времени $t$, а затем линейно убывает до 0 за то же время. Определите скорости тел после соударения, считая его центральным.

Изображим график зависимости силы взаимодействия $F$ от времени $t$ и заменим переменную силу $F(t)$ построенно действующей силой $f$ (рис. 5). Поскольку результатом действия силы является изменение импульсов взаимодействующих тел, импульсы обих丝 должны быть равны.

Импульс силы есть площад под данным графиком, поэтому, записыва-

51

вая равенство площадей $S_1$ и $S_2$, найдем силу $f$:
$$F_0\tau=2f\tau, \text{откуда } f=F_0/2.$$
Тепер запишем для каждой из соударяющихся тел второй закон Ньютона и найдем соответствующее изменение скорости тел:
$$m(v_0-v)=2f\tau, MV=2f\tau,$$
откуда
$$v=v_0-2f\tau/m=v_0-F_0\tau/m,$$
$$V=2f\tau/M=F_0\tau/M.$$
§ 4. В заключение рассмотрим еще одну область применения графиков—для более глубокого понимания физических процессов.
Задача 6. К вертикальной границей стержню прикреплена нить длиной $l$ (рис. 6). На другой конец нити подвешен шарик. Как зависит расстояние $r$ между шариком и стержнем от угловой скорости врашения стержня $\omega$? Считать, что угловая скорость меняется настолько медленно, что при любом ее значении движение шарика успевает установиться.
Запишем второй закон Ньютона для шарика массой $m$:
$$m\omega^2 r=mg \text{ ctg } \alpha.$$
Так как ctg $\alpha=r/\sqrt{l^2-r^2}$, получаем
$$r=\sqrt{l^2-g^2/\omega^4}.$$

Поправка
В «Кванте» № 1 за этот год была опубликована статья «О стolkновении шаров и «серbezной» физике». В начале этой статьи рассматривался вопрос о нецентральном соударении шаров с произвольным соотношением масс. В полученном выражении для скорости первого шара после соударения был потерян один корень: в формуле для $v'$ вместе «—» должно стать «±». Правило выбора знака при этом оказывается следующим. В случае $m_1\leqslant m_2$ при любых углах $\theta$ имеет только одно решение, соответствующей знаку «+» перед радиалом. В случае
$$\frac{m_2}{\sin \theta} \geq m_1>m_2 \text{ и } \frac{\pi}{2} >\theta>0$$
оба знака перед радиалом дает физические реализации решения. Рассеяние на углы $\theta>\frac{\pi}{2}$ невозможно.

Упражнения

1. Почтовая связь между пристанями $M$ и $K$ осуществляется двумя керамими. В установленное время катара отплывалот от своих пристаней, встречаются обмениваются почтой и возврашается обратно. Если катара отплывалот от своих пристаней одновременно, то катар, выходящий из $M$, траит на путь в оба конца 3 часа, а катар из $K$ — 1,5 часа. Скорости обихих катаров относительно воды одинаковы. Определите, на сколько позже должен отплыть катар из $K$, чтобы обиха катара находилась в пути одно и то же время.
2. Коньбекезен проходит дистанцию длиной $L$ с постоянной скоростью, а затем тормозит с постояннымускорением $a$. При какой скорости время движения до остановки будет наименьшим?
3. Глубина пропикновения части массой $m$ в области действия тормозящей силы прямого пропорционального импульсу части: $l=\alpha P$. Найдите зависимость тормозящей силы от глубины пропикновения.
4. В длином цилиндрическом сосуде нахождение вещество, плотность которого уvelивается с глубиной по закону $\varphi \sim x^2$. Как относится длины частей сосуда, имеющих одинаковые массы? Облочка сосуда неевесма.

Упражнения «±» в $v'$ приводит к тому, что в формуле для $\frac{|\Delta T|}{T_1}$ — для относительной изменения кинетической энергии налетшего шара — перед радиалом вместе «+» должно стать «−». Соответствующие изменения следует в рисунок 2.

Редакция приносит извивения за допущенную неточность.