Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

52

Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданава

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(факультеты: математико-механический, физический, прикладной математики — процессов управления)

1. Двое рабочих изготовления вместе за 8 часов 136 деталей. Если бы первый рабочий делал на 2 детали в час меньше, а второй — на одну больше, то на изготовление одной детали второй рабочий tratил бы на 4 минуты меньше, чем первый. Сколько деталей в час изготовления первого рабочий?

2. Решите неравенство $3x + \sqrt{5x + 9} < -5$.

3. При каких $a$ больше из двух чисел $5a - 1$ и $|2a|$ равно квадрату меньше?

4.1 (для математико-механического факультета). Расстояние от основания высоты, опущенной из вершины $A$ треугольника $ABC$, до вершины $B$ в два раза меньше, чем до вершины $C$. Найди угол $A$, если известно, что $\frac{AC}{AB} = a$.

4.2 (для физического факультета). На стороне $AB$ длины $c$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Через точку $D$ проведены две прямые, параллельные соответствующего $AC$ и $BC$ и пересекающие сторону $AC$ в точке $F$ и сторону $BC$ в точке $E$. Найди угол $BD$, если известно, что $AC = b$, $BC = a$, $\frac{BE}{AF} = a$.

4.3 (для факультета прикладной математики — процессов управления). В прямогольный треугольник вписана окружность. Точка касания с гипотенузой делит гипотенузу в отношении $a$. В каком отношении точки касания делят катеты?

5. Шар радиусом $R$ вписан в треугольную парамиду, в основании которого лежит равноведенный треугольник с углом $a$ при основании. Боковые грани парамиды наклонены к плоскости основания под углом $\beta$. Найди объем парамиды.

Вариант 2
(xимический факультет)

1. Если к смеси двух веществ $A$ и $B$ добавить 3 кг вещества $A$, то его процентное содержание увеличится вдвое. Если же к исходной смеси добавить 3 кг вещества $B$, то процентное содержание вещества $A$ уменьшится вдвое. Определите вес $A$ и его процентное содержание в смеси.

2. Решите неравенство $x < \sqrt{\frac{5x + 2}{3}}$.

3. Решите уравнение

$$\cos x + \sin x = \frac{0,5 + \sqrt{\frac{3}{8}}}{\cos x}.$$

4. Найдите отношение радиусов вписанной и описанной окружности равноведенного треугольника с углом $a$ при основании.

5. Найдите площадь сечения правильной треугольной парамиды, проходящero через вершину парамиды и середины двух сторон оснований, если известно, что длина стороны основания равна $a$, а угол между плоскостью сечения и основанием равен $a$.

Вариант 3
(геодратический и геологический факультеты)

1. Из города $A$ в город $B$, расстояние между корьями 100 км, выхал влосипедист. Через после этого из $A$ выхал влосипедист, который, натnahверго, с той же скоростью двинулся обратно и возвратился в $A$ в тот момент, в которой первый доступ $B$. Какова скорость первого влосипедиста, если скорость второго 30 км/ч?

2.1 (для геодратического факультета). Решите систему уравнения
$$\begin{cases} 4x + 2y = 12, \\ \sqrt{3x - 2y} = \sqrt{5 + x - 3y}. \end{cases}$$

2.2 (для геодраческого факультета). Решите уравнение
$$\sqrt{x^2 - 7x} - \sqrt{x - 3} = 0.$$

3. Решите уравнение
   $$\sqrt{-\frac{3}{2}} \cos 2x = \sin x.$$

4. Решите неравенство
   $$(\log_{x+1}x) \cdot \log_{\frac{1}{x}}(x - 2) > 1.$$

5. На плоскости даны две окружности радиусов $r_1$ и $r_2$ ($r_1 > r_2$). Найдите расстояние между центрами окружностей, если известно, что оно в $k$ раз больше расстояния между точки касания общей внешней касательной.

Вариант 4
(библиотека поуведений факультет, отделение математической лицензии физологического факультета)

1. Из города $A$ в город $B$, расстояние между корьями 270 км, отпавляя путешествник. Первуго часть пути длиной 120 км он преодолел на автотобиле, вторую — на мотикке. Оставшую/tree часть пути он проехал на автотобиле за 1 час. Скорость мотикка на 15 км/ч меньше скорости автотобиля. Найдите скорость автотобиля, если известно, что средняя скорость путешествника равна 54 km/ч.

2. Решите уравнение
   $$\sqrt{2x + 1} + \sqrt{6x + 4} = 1.$$

3.1 (для отделения поуведения и математической лицензии). Решите уравнение
$$\sin x + 2 \sin^3 x + \sqrt{2} \sin 2x = 0.$$

3.2. Решите неравенство
$$\frac{1 - \sin x}{\sin 2x} \leq \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

4.1 (для отделения поуведения). В прямоугольный треугольник площадь 24 висна окружность. Точка касания с гипотенузой делит гипотенузу в отношении 2:3. Найди длины сторон треугольника.