Формулы Виета

Поскольку сегмент AFC лежит внутри прямогольника, мы получаем целочку неравенств:
$$0 < S_{AFC} < S_{ABCD},$$
$$0 < \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x < \frac{x^3}{2},$$
$$0 < 1 - \frac{\sin x}{x} < x^2$$
(в промежутке 0 < x < $\frac{\pi}{2}$).

Заметим теперь, что функция $\frac{\sin x}{x}$ четная, поэтому неравенство (*) справедливо и в промежутке $-\frac{\pi}{2} < x < 0$, т. е. оно справедливо для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x| < \frac{\pi}{2}$.

Так как $x^2 \rightarrow 0$ при $x \rightarrow 0$, то для любого $\varepsilon > 0$ можно указать такую окрестность, что при всех $x$ из этой окрестности, $x \neq 0$, будет выполнять неравенство $x^2 < \varepsilon$. Учитывая (*), получим, что для всех $x$ из этой окрестности, $x \neq 0$, будем иметь
$$1 - \frac{\sin x}{x} = \left| 1 - \frac{\sin x}{x} \right| < \varepsilon.$$

Это и означает, что $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ – наша теорема доказана.

Г. А. Сорокин

Формулы Виета

В школьном курсе алгебры (см. «Алгебру 7», п. 23) доказывает теорема Виета для приведенных квадратных уравнений. Однако аналогичная теорема справедлива и для кубических уравнений, и для уравнений четырехстепеней, и вообще для произвольных алгебраических уравнений степени $n$, причем старший коэффициент (при $x^n$) вовсе не обязательно равен единице.

При $n=1$ мы получаем линейное уравнение $ax+b=0$ и если $x_1$ – его корень, то $ax_1+b=0$, откуда
$$x_1 = -\frac{b}{a}.$$

Пусть есть квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ ($a \neq 0$), и пусть $x_1$ – его корень. Тогда
$$ax_1^2+bx_1+c=0.$$

Вычитая из уравнения $ax^2+bx+c=0$ тоджество $ax_1^2+bx_1+c=0$, получим
$$a(x-x_1)^2+b(x-x_1)=0,$$
откуда
$$(x-x_1)(ax+ax_1+b)=0.$$

Так как $x_1$ корень уравнения $x-x_1=0$, то второй корень квадратного уравнения $x_2$ удовлетворяет уравнению
$$ax_2+ax_1+b=0.$$

Значит,
$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}.$$

Это – первая формула Виета для квадратного уравнения. Далее,
$$x_1^2 + \frac{b}{a}x_1 + \frac{c}{a} = 0,$$
или
$$x_1^2 - (x_1+x_2)x_1 + \frac{c}{a} = 0,$$
откуда получаем вторую формулу Виета
$$x_1x_2 = \frac{c}{a}.$$

Заметим, что при выводе обеих формул Виета нам вовсе не попадились формулы для корней квадратного уравнения. (Кстати, они из формул Виета легко находятся.)

Используя формулы Виета, мы можем доказать полезную теорему: если $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трехчлена $f(x)=ax^2+bx+c$, то $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$. В самом деле,
$$f(x) = ax^2+bx+c = a(x^2 - \left(-\frac{b}{a}\right)x + +\frac{c}{a}) = a(x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2) = a((x^2-x_1x) - (x_2x-x_1x_2)) = a(x-x_1)(x-x_2).$$

Для корней кубического уравнения формулы Виета выводятся совершенно аналогично, но чтобы читатели лучше усвоили технические приемы, мы еще раз проделаем всю последовательность шагов.

Для общего случая алгебраического уравнения степени $n$ читатели, знакомые с методом полной математической индукции, смогут вывести формулы Виета самостояльно. Здесь мы эти формулы только выпишем.

Пусть данную уравнение
$$a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_nx^n = 0.$$