Тепло твоих рук

3

Что мы делаем, когда хотим оценить температуру какого-либо предмета, заведomo не раскаленого и не очень холодного? — Мы прикасаемся к нему пальцами. Через доли секунды hervные окончания сообщают, теплые или холоднее этот предмет, чем наша кожа (ее общая температура 34—36 °C).

Однако не только температурой тел определяется наше ощущение. При комнатной температуре деревянные предметы какуются нам более теплыми, чем стекло или камень, еще более холодными представляются нам металлы, несмотря на то, что температура в комнате у всех материалов одинакова. Так что же именно чувствуют пальцы? Что происходит при контакте с предметом иной температуры? Расмотрим сначала наиболее простой случай. Известно, что на ощупь можно определить, больше ли человек, повышена ли у него температура. Мыы, как правило, определют так даже 37 °C; так что чувствуются hervных окончаний равна примерно градусу. Понять, что происходит при этом с точки зрения физики, помогает тот факт, что свойства соприкасающихся тел в данной случае одинаковы, различна только их температура.

При соприкасовении тел с различными температурами распределение температуры вблизи области контакта начинает изменяться: прилежащие слой холодного тела среваются, теплого — охлаждаются. Очевидно, что температура неосредственно в точках контакта равна средней температуре тел: $t_0 = \frac{1}{2} (t_1 + t_2)$. В конце имеется несколько видов hervных окончаний (рецепторов), расположенных на глубине 0,3—0,5 мм. Они передают информацию о тепле и холоде, о давлении на кожу, о больи и т. д. (Разделение рецепторов по «специалности» не очень четкое.) Поскольку нас интересют ощущения тела и холода, примен упрощенную модель: терморецепторы чувствуют — «измеряют» — не саму температуру, а именно разность между начальной температурой тела и той, которая устанавливается после соприкосовения. Для нашей ощущения температуры предметов наиболее важны самые первые мгновения прикосовения, когда температура кожи, а вместе с ней и нервных окончаний только начинает изменяться. Вспомните свой ощущения: после прикосовения проходит небольшое, но заметное время, в течение которого меняется цвет телоты. Оценим это время, за которое изменение температуры додает до терморецептов.

Предварительно напомним основные понятия физики теплоты и определения теплоемкости и теплопроводности. Удельная тепломкость вещества $c$ показывает, на сколько возрастает внутренняя энергия единиц массы тела, когда тело нагревается на один градус. При нагревании тела массой $m$ на $\Delta t$ градусов его энергия увеличивается на

$$\Delta Q = cm \cdot \Delta t.$$

Размерность теплоемкости — Дж·кг$^{-1}$·град$^{-1}$.

При контакте тел с различными температурами начинается теплопроводность. При этом всегда вынужден энергии более холодному. Физическая величины, показывающей как интенсивно прикосовит перенос тепловой энергии, называется тепловым потоком. Телловой поток $q$ по определению есть тепловая энергия, проходящая в единицу времени через единицу секунды. Если при смешении на $\Delta x$ температура возрастает на $\Delta t$, то тепловой поток — энергия, проходящая еже-

4

Секундно через единную площадку, перpendикулярную отрезку $\Delta x$, — равен

$$q = -x \frac{\Delta t}{\Delta x}$$

(знак минус показывает, что поток теплла направлен в сторону уменшення температуры). Коэффициент пропорциональности $x$ называется коэффициентом теплопроводности. Размерность $x$ — Дж·м$^{-1}$·с$^{-1}$·град$^{-1}$.

Процесс теплопередачи определяется тепломкостью и теплопроводностью веществ, а также их плотности.

Проведем приближенную оценку скорости изменения температуры при соррикосовении одинаковых по свойствам, но по-разному нагретых тел. Посмотрите на рисунок 1. На нем показано распределение температуры (по «глубине») в приконтактических слоях соррикающийся тел спустя время $t$ после начала контакта. Как видно из рисунка, за время $t$ в обихх телах температура успевает существенно измениться в слое толщиной $l$ (понятно, что $l$ зависит от времени). Величина теплового потока $q$ в данной момент составляет примерно $\frac{x(t_2-t_1)}{l}$. Это означает, что через сечение контакта $S$ за время $\Delta t$ проходит энергия

$$\Delta Q = qS \cdot \Delta t \approx \frac{x(t_2-t_1)S \cdot \Delta t}{l}.$$

Эта энергия и уходит на нагревание слоя с массой $m \sim \rho lS$ на разность температур $\Delta t \sim t_2 - t_1$, т. е. $\Delta Q \sim c \rho lS \cdot \Delta t$. Итак,

$$\frac{xS \cdot \Delta t \cdot \Delta t}{l} \approx c \rho lS \cdot \Delta t.$$

Сечение контакта и разность температур сокращаются, а приращение времени $\Delta t$ с точностью этого расстояния можно положить равным времени $t$, прошедему с начала соприкосновения. Из записанного соотношения мы и получаем зависимость $l(\tau)$:

$$l(\tau) = \sqrt{\frac{x}{c \rho}} \tau$$

Знак равенства мы поставили не случайно: хотя оценки были приближенными, полученная зависимость $l(\tau)$ точная (как и графики на рисунке 1).

Время, в течение которого температура на глубине $l$ сравняется с температурой контакта, зависит от величины $x$, $c$ и $\rho$, определяемых только свойствами материалов соприкающийся тел. Стояшая под корнем в равенстве (1) комбинация этих величины $x = x/c \rho$ называется коэффициентом температуропроводности и является характеристкой материалов. Например, у воды $x = 1.5 \cdot 10^{-7} \text{ m}^2/\text{c}$. Для дальнейшего нам понадобится теплые свойства некоторых материалов — они приведены в таблице на с. 6.

6

Приведенные в таблице значения $t_0$ соответствуют нашим оценкам: неподвижный воздух почти не ощутим, деревянные предметы лишь ненамного холоднее тела, стекло и камень на ощупь прохладны, а металлы — холодны. Золото — рекордсмен по величины $v$; при соррикосовении с массивным сликом температура контакта оказывается гораздо близке к температуре золота, чем к температуре тела.

Не касались ли вы случайно металлических предметов морозным зимним днем? При этом кожа пальцев иногда слегка приплпает, как бы приклеивается к металлу. Это замерзает тонкий слой влаги на коже пальцев. Следовательно, температура контакта отрицательна — $t_0 < 0$ °C. Может вычислить, как низка должа быть температура на улице, чтобы такое примерзание было возможным. Из формулы (2) следует, что опасен мороз с температурой $t < -t_\tau/v$. Конкретено, приплпаение кожи пальцев к железу возможно при температурах ниже — 3,5 °C, к алюминию — при температурах ниже — 12 °C, к золоте — ниже — 2 °C.

Кое у кого здесь может возникнуть вопрос. Известно, что до революции в обращении были залотые монеты. При довольно суровом климате России было, наверное, весма неудобно имеет в обхожде предмет, примерзющий к пальцам даже при небольшем морозе. Но что-то не вспоминается описания таких эпизодов в русской литературе.

Верно. Примерзания монет к рукам и не может быть. Дело в том, что нашей рассмотрение относилось только к массивным предметам. Tonкие монеты очень быстро прогревают теплом рук даже при сильном морозе. Так, золотая монета толщиной $l$ около 2 мм, если брать ее двумя пальцами, прогреется очень быстро, за время $l^2/4\chi_{\mathrm{Au}} \approx 10^{-2}$ с. (To же самое, конечно, относится и к современным монетам из менее благородных металлов.)

Законами теплопередачи и простыми численными оценками объясняется и ряд парадокальных на первый взгляд явлений. Некоторые кузнецы удивляют непосвященных тем, что могут схватить рукой докрасна раскаленные железные детали. В Болгарии, на островах Полинезии и в некоторых других странах есть люди, демонстриующие хозяйние возможности по раскаленным углям. И в том, и в другом случае на коже не остается ожогов, она не обугливается. Конечно, кожа рук у кузнецов по-рабочему толстая, а по углям тоже ходят профессionalны, но одной только толщиной кожи эти феномены не обьясить. Еще один парадокс — из области низких температур. Физика-экспериментатором хорошо известно, что попадание капель жидкого азота на кожу безболезнено. На короткое время можно даже напить немного жидкого азота в ладонь. Температура кипения азота — 196 °C; с жидкостью такой температуры соррикается кожа в этом эксперименте.

И сверххолодные контакты с благополучным исходом имеют по сутки общественное. Оно состоит в том, что в течение первых мгновений контакта на поверхности кожи образуется тонкий слой газа с низкой теплопроводностью. В опытах с жидким азотом этот газ есть испарившийся при контакте с кожей азот. В «эксперименте» кузнеца и при «босохождении» по углям — это пар

7

и газы, образовавшиеся при нагревании верхних слове кожи. Толщина этого газового промежутка по порядку величины составляет десять доли миллиметра. Давление газа оказывается настолько большим, что газовый слой может выдержать большие нагрузки — даже вес человекаского тела. Но основное его достоинство — высокая тепловая изоляция.

Оценим, какое время может выдержать человек контакт со сверхгорячими (и сверххолодными) предметами, если толщина газового слоя равна $l = 10^{-4}$ м. (Поверхностный слой кожи выдерживает без охотов и обморожения охлаждения до $0^{\circ}\text{C}$ и нагрев почти до $100^{\circ}\text{C}$).

Внутри газовой прослоики температура распределена линейно — от температуры раскаленного предмета (или жидкого азота) $t_1$ до температуры контакта $t_0$. Поэтому тепловой поток равен $q = \chi_{\text{raza}} \frac{t_0 - t_1}{l}$. Распределение температуры в конце зависит от времени так же, как и при обычных контактах. Приравняем тепловые потоки:

$$\chi_0 \frac{t_T - t_0}{\sqrt{\chi_0^2}} = \chi_{\text{raza}} \frac{t_0 - t_1}{l}.$$

Вы видите, в данном случае температура контакта $t_0$ зависит от времени — она растет при касании раскаленных предметов и падает при касании сверххолодных.

Ткани кожи не разрушают при $0^{\circ}\text{C} < t < 100^{\circ}\text{C}$, следовательно, в этих пределах может изменяться температура контакта. Подсчитаем температуру, за какое время поверхностная температура кожи достигает этих пределов:

$$\tau_{\text{makc}} = \frac{1}{\chi} \left( \frac{\chi_0}{\chi_{\text{raza}}} \frac{t_T - t_0}{t_0 - t_1} \right)^2.$$

Теплоповодности различных газов близки между собой. Поэтому для численной оценки $\tau_{\text{makc}}$ возьмем значение коэффициента теплопроводности воздуха $\chi_{\text{возд}} = 0,026$ Дж/(м·с×град). Расчет показывает, что при контакте с раскаленным предметом, температура которого $600^{\circ}\text{C}$, время разогрева кожи через паро-газовый промежуток до $100^{\circ}\text{C}$ равно половине секунды — вполне достагоно, чтобы переложить раскаленную большую или сделать следующий шаг по горяшим углям, приорошенным пеплом.

При контакте кожи с жидким азотом ($t_1 = -196^{\circ}\text{C}, t_0 = 0^{\circ}\text{C}$) время охлаждения кожи равно 1,3 секунды. Это тоже вполне достагоно, чтобы удивить непосвященных или просто сbrosить на пол каплю жидкого азота. При наличии скинженного газа в ладонь кипящую каплю надо движением руки переогнать с места на место.

Человеческие руки — чудный инструмент, данный нам пригодой. Берегите их от повреждений! Теория — теорий, но хватать раскаленные больши голови руками дано относительно каждому.