Избранные школьные задачи

43

(II) $\left\{ \begin{array}{l} p - b = r \mathrm{ctg} \frac{\beta}{2}, \\ b = 2R \sin \beta, \end{array} \right.$

(III) $\left\{ \begin{array}{l} p - c = r \mathrm{ctg} \frac{\gamma}{2}, \\ c = 2R \sin \gamma. \end{array} \right.$

Исключая а из системы (I), получим для $a$ тожество
$a^3 - 2pa^2 + (p^2 + r^2 + 4Rr)a - 4pRr = 0.$

Исключая же углы $\beta$ и $\gamma$ соответствно из второй и третьей системы, получим в точности также же соответствия для $b$ и $c$. Это означает, что числа $a, b, c$ являются корнями кубического уравнения $x^3 - 2px^2 + (p^2 + r^2 + 4Rr)x - 4pRr = 0,$ из которого и вытекает целая серия тожеств, описащихся на формулы Виета. Например,
$$ab + ac + bc = p^2 + r^2 + 4Rr,$$
$$\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} = \frac{1}{2Rr}.$$
С. Ц. Конрински

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Самая длинная сторона треугольника имеет длину 5 см, самая короткая имеет длину 1 см. Какую наиболее плодясь может иметь такой треугольник?
2. Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, вписанных в данную окружность.
3. Шесте различных прямых на плоскости не все параллельны и не все проходят через одну точку. Каково наиболее возможное количество точек пересечения этих прямых?
4. Найдите все пары целых положительных чисел $x, y$ такие, что $2x + 1$ делится на $y$ и $2y + 1$ делится на $x$.
5. Каких чисел больше среди целых чисел от 1 до 1000 000 включительно:
   a) делияхся на 11, но не делияхся на 5 или делияхся на 12, но не делияхся на 7?
   b) делияхся на 13, но не делияхся на 6 или делияхся на 15, но не делияхся на 26?
   Девятый класс
6. В угол $a$ вписали окружность радиуса 1. Затем вписали вторую окружность, касающиеся первой окружности изнутри угла. Затем вписали третью окружность, касающиеся второй окружности изнутри угла и так далее. Найдите радиус 1000-й окружности.
7. На плоскости dan выпukлей многоугольник $P$. Обозначим через $P_a$ фигуру, составленную из точек, отстоящих от $P$ на расстоянии $a$ (т. е. точек $A$, для которых внутри или на границе многоугольника найдется точка $B$ такая, что $AB \leq a$). Площадь фигуры $P_1$ равна $S_1$, площадь фигуры $P_2$ равна $S_2$; найдите плоскую многоугольника $P$.
8. На лице клетчатой бумаги проведена окружность, радиус которого в 10 раз больше стороны клетки. Известно, что окружность числа $a, b, c$ является корнями кубичего уравнения $x^3 - 2px^2 + (p^2 + r^2 + 4Rr)x - 4pRr = 0,$ из которого и вытекает целая серия тожеств, описащихся на формулы Виета. Например,
   $$ab + ac + bc = p^2 + r^2 + 4Rr,$$
   $$\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} = \frac{1}{2Rr}.$$
   С. Ц. Конрински

Десять класс
11. В пространстве dan выпukлей многоугольник $P$. Обозначим через $P_a$ фигуру, составленную из точек, отстоящих от $P$ на расстоянии $a$ (т. е. точек $A$, для которых внутри или на границе многоугольника найдется точка $B$ такая, что $AB \leq a$). Объем фигуры $P_1$ равна $S_1$, площадь фигуры $P_2$ равна $S_2$; найдите плоскую многоугольника $P$.
12. Найдите наиболее плодясь точку из цилиндрического стакана, постепенно наклоня его. Показалось дно. Вы остановились в тот момент, когда открыласьровно половина дна. Сколько воды осталось в стакане — меньше четырёх или больше?
Публикация подготовил Д. В. Фукс