Về phương pháp đồ họa lời giải của một số vật lý bài toán

49

Về phương pháp đồ họa lời giải của một số vật lý bài toán

V. A. BODIC, I. Y. STRESHINSKY

Thông thường, việc trình bày bằng đồ họa của một quá trình vật lý làm cho nó trở nên trực quan hơn và do đó tạo điều kiện thuận lợi cho sự hiểu biết về hiện tượng đang được xem xét. Đôi khi cho phép đơn giản hóa đáng kể các phép tính, đồ thị được sử dụng rộng rãi trong thực tế cho lời giải các chủ đề khoa học, kỹ thuật và kinh tế bài toán khác nhau. Khả năng xây dựng và đọc biểu đồ là bắt buộc đối với nhiều chuyên gia hiện nay.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét việc sử dụng biểu đồ cho lời giải một số loại bài toán vật lý.

§ 1. Đồ họa và nhiều bài toán điện ảnh được giải quyết dễ dàng và đẹp mắt.

Bài toán 1. Cho phương trình chuyển động của hai vật: $x_1=20t, x_2=250-5t$. Bạn cần tìm: a) địa điểm và thời gian họp; b) thi thể thứ hai ở đâu khi thi thể đầu tiên vượt qua 100 mét đường đi của nó; c) tại thời điểm nào khoảng cách giữa hai vật là 125 m. Các cơ thể bắt đầu di chuyển đồng thời.

Trên cùng một trục tọa độ, chúng ta sẽ xây dựng đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tọa độ $x$ theo thời gian $t$ cho cả hai vật thể (hình 1).

a) Tọa độ và hoành độ giao điểm của đồ thị lần lượt là địa điểm và thời gian gặp nhau: $x=200$ m, $t=10$ s.

b) Sử dụng đồ thị đầu tiên, chúng ta tìm ra thời điểm mà người đầu tiên vượt qua mét thứ 100: $t=5$ s. Bây giờ, biết thời điểm này, tọa độ của vật thứ hai được tìm thấy từ biểu đồ thứ hai: $x=225$ m.

c) Khoảng cách giữa hai vật lúc đầu bằng 250 m. Do đó, khoảng cách 125 m là độ dài đường trung tuyến trong tam giác $ABC$ và thời điểm mong muốn $t=5$ s. Từ tính đối xứng, rõ ràng là khoảng cách giữa các vật thể sẽ như nhau $t=15$ s sau khi bắt đầu chuyển động.

Bài toán 2. Tìm thời gian, địa điểm va chạm của các bộ phận chuyển động dọc theo

50

một đường thẳng Vận tốc ban đầu của hạt thứ nhất là $v_{10}$, gia tốc của nó là $a_1$, tốc độ ban đầu của hạt thứ hai là $v_{20}$, gia tốc của nó là $a_2$. Tại thời điểm $t=0$ cả hai hạt đều có tọa độ $x_0=0$, $v_{20}>v_{10}$, $a_2<a_1$.

Đến thời điểm gặp nhau, cả hai hạt sẽ đi qua cùng một đường đi $l$, do đó điều kiện để chúng va chạm sẽ bằng diện tích $S_1$ và $S_2$, được bảo vệ dưới đồ thị tốc độ $v$ theo thời gian $t$ (hình 2):

$$S_1 = \frac{2v_{10}+a_1\tau}{2}\tau, \quad S_2 = \frac{2v_{20}+a_2\tau}{2}\tau.$$

Xét rằng $S_1=S_2$, chúng tôi tìm thấy

$$\tau = \frac{2(v_{20}-v_{10})}{a_1-a_2}, \quad x=l = \frac{2(v_{20}-v_{10})(v_{20}a_1-v_{10}a_2)}{(a_1-a_2)^2}.$$

Bài toán 3. Một hành khách bị trễ chuyến tàu nhận thấy rằng valon áp chót đã tha thứ cho anh ta sau $t_1=10$ giây, và người cuối cùng trong $t_2=8$ giây. Giả sử tàu chuyển động nhanh dần đều, hãy xác định thời gian hành khách đến muộn.

hình 3 hiển thị biểu đồ tốc độ của tàu $v$ theo thời gian $t$. Chúng ta hãy biểu thị chiều dài của một ô tô bằng $l$. Sau đó $S_1=S_2=l$. Bằng $S_1$ và $S_2$, ta tìm được thời gian đến trễ của hành khách:

$$\frac{at+a(t+t_1)}{2}t_1 = \frac{a(t+t_1)+a(t+t_2)}{2}t_2, \quad t = \frac{t_2^2+2t_1t_2-t_1^2}{2(t_1-t_2)} = 31\text{ с.}$$

§ 2. Việc sử dụng diện tích bên dưới biểu đồ thường có thể đơn giản hóa rất nhiều lời giải bài toán.

Bài 4. Chiều dài của chiếc xe trượt tuyết khi trượt dọc theo lớp bùn chính, chạm vào mặt đường nhựa và dừng lại dù chưa bằng một nửa chiều dài. Sau đó, chiếc xe trượt tuyết đột ngột trở lại tốc độ ban đầu và một lúc sau nó lại dừng lại. Đường phanh liên quan như thế nào trong trường hợp chung?

Lực ma sát trượt $F_{\tau p}$ trong trường hợp này trước hết phụ thuộc vào chiều dài $x$ của phần xe trượt nằm trên đường nhựa:

$$F_{\tau p} = \mu mgx/L$$

(ở đây $\mu$ là hệ số ma sát, $m$ là khối lượng của xe trượt, $L$ là chiều dài của nó). Đồ thị sự phụ thuộc của $F_{\tau p}$ vào $x$ (hình 4) giúp ta có thể tìm công việc giảm lực ma sát. Trong trường hợp chung, động năng ban đầu của xe trượt bằng nhau, nghĩa là chúng bằng nhau và bằng nhau về lực cản của lực ma sát. Như vậy, viết đẳng thức giữa diện tích $S_1$ và $S_2$, ta tìm được tỉ số yêu cầu của đường phanh:

$$\frac{\mu mgx_1}{2L}x_1 = \frac{\mu mgx_1+\mu mgx_2}{2L}(x_2-x_1), \quad \frac{l_1}{l_2} = \frac{x_1}{x_2-x_1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}.$$

§ 3. Thông thường trong những bài toán có sự thay đổi về số độ lớn, chúng ta đưa ra điều kiện. Đồ thị có thể giúp bạn hiểu các kỹ thuật quản lý.

Bài 5. Một vật có khối lượng $M$ đang đứng yên thì bị một vật có khối lượng $m$ với vận tốc $v_0$ tấn công. Lực do tương tác tạo ra trước tiên tăng tuyến tính từ 0 đến giá trị $F_0$ trong một khoảng thời gian $t$, sau đó giảm tuyến tính xuống 0 trong cùng thời gian. Xác định vận tốc của các vật sau va chạm, coi đó là điểm trung tâm.

Chúng ta hãy vẽ đồ thị sự phụ thuộc của lực tương tác $F$ theo thời gian $t$ và thay thế lực biến đổi $F(t)$ cấu tạo bằng lực tác dụng $f$ (hình 5). Vì kết quả tác động của một lực là sự thay đổi xung lực của các vật tương tác nên xung lực của cả hai phải bằng nhau.

Xung lực là diện tích dưới biểu đồ này, do đó, chúng tôi viết

51

Cho diện tích $S_1$ và $S_2$ bằng nhau, ta tìm được lực $f$:
$$F_0\tau=2f\tau, \text{откуда } f=F_0/2.$$
Bây giờ chúng ta hãy viết định luật II Newton cho mỗi vật va chạm và tìm sự thay đổi tương ứng về vận tốc của các vật:
$$m(v_0-v)=2f\tau, MV=2f\tau,$$
Ở đâu
$$v=v_0-2f\tau/m=v_0-F_0\tau/m,$$
$$V=2f\tau/M=F_0\tau/M.$$
§ 4. Để kết luận, chúng ta hãy xem xét một lĩnh vực ứng dụng khác của đồ thị—để hiểu sâu hơn về các quá trình vật lý.
Bài toán 6. Một sợi chỉ có chiều dài $l$ (hình 6) được gắn vào viền dọc của thanh. Một quả bóng được treo ở đầu kia của sợi dây. Khoảng cách $r$ giữa quả bóng và thanh phụ thuộc vào vận tốc góc quay của thanh $\omega$ như thế nào? Giả sử rằng vận tốc góc thay đổi chậm đến mức ở bất kỳ giá trị nào thì chuyển động của quả bóng có thời gian ổn định.
Hãy viết định luật II Newton cho một quả bóng có khối lượng $m$:
$$m\omega^2 r=mg \text{ ctg } \alpha.$$
Vì ctg $\alpha=r/\sqrt{l^2-r^2}$ nên ta có
$$r=\sqrt{l^2-g^2/\omega^4}.$$

Sửa đổi
TRONG «Kvant» Bài báo số 1 năm nay “Về sự va chạm của các quả bóng và vật lý “serbez” đã được xuất bản. Ở phần đầu của bài viết này, vấn đề va chạm không tập trung của các quả bóng có tỷ số khối lượng tùy ý đã được xem xét. Trong biểu thức thu được về vận tốc của quả bóng thứ nhất sau va chạm, một nghiệm bị mất: trong công thức tính $v'$ cùng nhau “—” sẽ trở thành “±”. Quy tắc chọn một dấu hiệu hóa ra như sau. Trong trường hợp $m_1\leqslant m_2$ ở mọi góc độ $\theta$ chỉ có một lời giải, tương ứng với dấu “+” ở phía trước hình tròn. Trong trường hợp
$$\frac{m_2}{\sin \theta} \geq m_1>m_2 \text{ и } \frac{\pi}{2} >\theta>0$$
cả hai dấu hiệu phía trước hình tròn đều mang lại nhận thức vật lý lời giải. Tán xạ ở các góc $\theta>\frac{\pi}{2}$ là không thể.

Bài tập

1. Việc liên lạc bưu chính giữa các trụ $M$ và $K$ được thực hiện bởi hai cerami. Vào thời gian đã định, người Qatar khởi hành từ bến tàu của họ, gặp nhau, trao đổi thư từ và quay trở lại. Nếu tàu Qatari khởi hành từ bến tàu của mình cùng lúc thì tàu Qatari khởi hành từ $M$ mất 3 giờ khứ hồi và tàu Qatari từ $K$ mất 1,5 giờ. Tốc độ của cả hai catarrh ​​so với nước là như nhau. Xác định xem Qatar sẽ khởi hành sau bao lâu từ $K$ để obiha của Qatar lên đường cùng lúc.
2. Konbekezen đi quãng đường có chiều dài $L$ với tốc độ không đổi, sau đó giảm tốc độ với gia tốc không đổi $a$. Với tốc độ nào thì thời gian di chuyển để dừng lại là ngắn nhất?
3. Độ sâu xuyên thấu của một bộ phận có khối lượng $m$ trong vùng tác dụng của lực phanh tỷ lệ thuận với xung lực của bộ phận: $l=\alpha P$. Tìm sự phụ thuộc của lực hãm vào độ sâu xuyên.
4. Một bình hình trụ dài chứa một chất có khối lượng riêng tăng theo độ sâu tuân theo định luật $\varphi \sim x^2$. Tỷ lệ chiều dài của các bộ phận của một chiếc bình có cùng khối lượng là bao nhiêu? Vỏ tàu không có trọng lượng.

Bài tập “±” trong $v'$ dẫn đến thực tế là trong công thức tính $\frac{|\Delta T|}{T_1}$ - đối với sự thay đổi tương đối về động năng của quả bóng bị tác động - ở phía trước hướng tâm, cùng với “+” sẽ trở thành “-”. Những thay đổi tương ứng sẽ diễn ra trong hình 2.

Các biên tập viên xin lỗi vì sự không chính xác.