Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko

55

Đại học bang Kiev
họ. T. G. Shevchenko

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ và Toán)

1. Chiều cao của một hình trụ tam giác đều bằng $h$, cạnh bên của nó nghiêng với mặt phẳng đáy của hình trụ một góc $\varphi$. Tìm thể tích của chất ban đầu.

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_3 x + 1 \geq 3 \log_2 x$$.

3. Giải phương trình
   $$\sqrt{\frac{1 + \sin x}{6}} + \sin x = 0.$$

4. Cạnh của hình thoi $ABCD$ bằng $a$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB$ và $CD$, $E$ là điểm trong của cạnh $BC$, còn các đoạn $AE$ và $MN$ cắt nhau tại điểm $O$. Tỷ lệ diện tích của tứ giác $OECN$ với diện tích của hình thoi $ABCD$ là $k$ và $\cos A = \frac{4k - 1}{3}$. Tìm đoạn $ED$. Với mọi giá trị của $k$, có tồn tại hình thoi thỏa mãn điều kiện bài toán không?

5. Tìm tổng của tất cả các số có bảy chữ số chia hết cho 15 và chỉ được viết bằng chữ số 0,1.

Tùy chọn 2
(Khoa vật lý vô tuyến)

1. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{25}(6 - x)\log_5 x < 1$$.

2. Giải phương trình
   $$\text{tg} x = \text{tg}^3\left(\frac{\pi}{4} - x/2\right).$$

3. Hai bình chứa đầy chất lỏng có mật độ $d$ và $D$. Hơn nữa, chúng nặng lần lượt $q$ và $Q$ kg, bao gồm cả trọng lượng của chính bình. Tìm tỉ số thể tích của các bình nếu trọng lượng của mỗi bình bằng một phần trọng lượng của chất lỏng chứa trong bình.

4. Một quả cầu có bán kính 2 tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình tam giác. Tâm của quả bóng nằm bên trong khối nguyên thủy ở độ cao của nó và nằm ở khoảng cách $2\sqrt{3}$ tính từ đỉnh. Chứng minh tính chất sơ cấp là đúng. Tìm chiều cao của nguyên thủy.

5. Điểm vật chất $M_1$ di chuyển với tốc độ 2 m/s dọc theo trục $ox$ theo hướng âm và điểm vật chất $M_2$ di chuyển với tốc độ 3 m/s dọc theo đường thẳng $y = \sqrt{3}x$ theo hướng của vectơ $(1, \sqrt{3})$. Tại thời điểm ban đầu, điểm $M_1$ có tọa độ $(5; 0)$ và điểm $M_2$ có tọa độ $(-\frac{3}{2}; -\frac{3\sqrt{3}}{2})$. Tại thời điểm nào khoảng cách giữa các điểm sẽ nhỏ nhất?

Tùy chọn 3
(khoa hóa học)

1. Từ 40 tấn quặng, 20 tấn kim loại chứa 6% tạp chất được nấu chảy. Bao nhiêu phần trăm tạp chất có trong quặng nếu kim loại không lọt vào xỉ hình thành trong quá trình nấu chảy?

2. Giải phương trình
   $$\sin 2x - \cos 2x = 1 - 2(\cos x - \sin x).$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$2 \log_2^2 |x - 1| + \log^2 \frac{(x - 1)^2}{8} \leq 9.$$

4. Tổng của mười một số hạng đầu tiên của một cấp số nhân bằng 20% ​​tổng của mười một số hạng tiếp theo. Số hạng thứ nhất nhỏ hơn số hạng thứ mười bao nhiêu lần?

5. Đây là hai ý kiến ​​đúng đắn và có căn cứ ngang nhau. Góc nghiêng của gân bên với mặt phẳng của đế ở phần thứ nhất lớn gấp đôi góc nghiêng của gân bên với mặt phẳng của đế ở phần thứ hai và thể tích của phần gốc thứ nhất lớn hơn thể tích của phần thứ hai 4 lần. Tìm góc nghiêng của gân bên với mặt phẳng của đế trong lần sơn lót đầu tiên.

Tùy chọn 4
(Khoa thư viện)

1. Giải phương trình
   $$\sin \frac{x}{2} + \cos x = 1.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_0.5 \frac{x - 4}{2x + 5} > 1.$$

3. Đáy của tam giác là $a$. Tìm độ dài của đoạn chia đôi cây chuối và song song với phần đế.

4. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} x + y + z = 18, \\ y + z + x + y = 30, \\ z + x + y + z = 24. \end{cases}$$

5. Góc nhị diện ở đáy của một hình tứ giác đều là $a$ và thể tích của đáy là $v$. Tìm diện tích của mặt bên của nguyên mẫu.

Bài toán thi vấn đáp

1. Tìm tất cả các hệ bất phương trình số nguyên lời giải
   $$\begin{cases} \frac{3}{x - 2} \geq x, \\ \cos \pi/x < 0. \end{cases}$$

2. Nếu $|a| < 1$ thì $1 + \frac{a}{2}$ là giá trị gần đúng của $\sqrt{1 + a}$ với phần vượt quá và sai số không vượt quá $\frac{a^2}{8}$. Chứng minh điều đó.

3. Các số tự nhiên được chia thành các nhóm như sau:
   (1) (2,4) (3,5,7) (6,8,10,12) (9,11,13,15,17) …
   Hình thành việc xây dựng đồ họa chính xác. Tìm tổng của tất cả các số trong nhóm thứ $n$.

4. Với những giá trị nào của $a$ thì $b$ là hàm
   $$y = \frac{ax^2 + bx + 1}{x^2 + bx + a}$$ được xây dựng?

5. Với giá trị nào của $n$ thì hàm