Viện máy công cụ Moscow

60

5. Trong khi lao xuống với tốc độ cao từ một ngọn núi với góc nghiêng α=30°, người trượt tuyết đạt được vận tốc v=72 km/h. Hệ số ma sát giữa nằm và tuyết là μ=0,1. Lực cản của không khí tỉ lệ với bình phương tốc độ. Người trượt tuyết đó sẽ di chuyển với tốc độ tối đa bao nhiêu trên một con dốc có góc nghiêng β=45°? Chiều dài của mỗi độ dốc phải được coi là đủ lớn.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi A. V. Efimov, V. M. Orlov, A. S. Pospelov, A. Yu. Khrennikov

Viện máy công cụ Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$\log_3(3x^2-13x+28)+\frac{2}{9})=\log_50,2.$$
2. Xác định các giá trị của k mà tại đó nghiệm của phương trình
   $$x^2-(3k+2)x+k^2=0$$
   thỏa mãn sự tương ứng x₁=9x₂.
3. Giải phương trình
   $$6\sin^2x+\sin x\cdot\cos x-\cos^2x=2.$$
4. Sáp Colin dài 2 km di chuyển dọc theo đường cao tốc với tốc độ 3 km/h. Người đưa tin dẫn đầu từ cuối cột về đầu cột, truyền lệnh rồi quay trở lại ngay. Thời gian di chuyển tới đó và về là 30 phút. Xác định vận tốc của người đưa tin nếu nó không đổi trong suốt hành trình.
5. Ở đáy của hình tam giác là một tam giác đều, diện tích bằng S và góc ở đỉnh bằng α. Các cạnh bên của trụ tạo thành một góc β với chiều cao. Tìm thể tích của hình trụ và bán kính của hình cầu ngoại tiếp nó.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\lg \frac{5x^2+20x^2}{5}=x.$$
2. Tìm tất cả các giá trị của a mà bất đẳng thức
   $$(a-1)x^2-(a+1)x+a+1>0$$

giữ cho mọi giá trị thực của x.
3. Giải phương trình
$$1+\sin x+\cos x+\sin 2x+\cos 2x=0.$$
4. Tích các chữ số của một số có hai chữ số nhỏ hơn chính số đó ba lần. Nếu bạn thêm 18 vào số mong muốn, bạn sẽ nhận được một số được viết cùng số nhưng theo thứ tự ngược lại. Tìm số này.
5. Đáy của đỉnh là một tam giác đều, cạnh bằng a, góc ở đỉnh bằng α. Tất cả các gân bên đều nghiêng so với mặt phẳng đáy một góc β. Tìm thể tích của mố và tiếp tuyến của góc nghiêng của mặt bên đối diện với góc α với đáy.

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Vệ tinh chuyển động quanh Trái đất theo quỹ đạo tròn có bán kính gấp đôi bán kính Trái đất. Xác định tốc độ của vệ tinh nếu vận tốc thoát đầu tiên ở bề mặt Trái đất là v₁=8 km/s.
2. Một tấm ván đồng chất có khối lượng M=1 kg nằm trên bàn như hình hình 1. Đặt khối lượng nào vào đầu bên phải của tấm ván để đầu bên trái của nó bắt đầu nâng lên?
3. Ở trạng thái kín, thể tích V = 20 l chứa hỗn hợp hơi nước bão hòa và gel. Áp suất hỗn hợp p=2·10⁵ Pa, nhiệt độ T=373 K. Xác định khối lượng cơ thể trong hỗn hợp. Khối lượng mol của gel Mₙ=4 g/mol.
4. Với sự phân bố adnabatic, một mol khí đơn nguyên tử lý tưởng thực hiện công A = 1,25 kJ. Tìm sự thay đổi nhiệt độ của khí.
5. Trong đồng hồ đo, m₁=1 kg nước đá đã bị dịch chuyển, có nhiệt độ ban đầu là t₁=-10 °C và m₂=100 g nước ở nhiệt độ t₂=0 °C. Xác định nhiệt độ của hỗn hợp và trạng thái kết tụ của nó sau khi thiết lập cân bằng nhiệt. Bỏ qua sự trao đổi nhiệt với nhiệt kế và với môi trường. Nhiệt độ riêng λ = 336 kJ/kg, nhiệt độ riêng λ c₁ = 2,1 kJ/(kg K).
6. Lượng nhiệt sẽ toả ra ở điện trở có điện trở R sau khi đóng công tắc (hình 2)? Điện tích của tụ q, diện tích các bản S, khoảng cách giữa các bản d, hằng số điện môi ε=1.
7. Một cuộn dây gồm bản S và điện trở R nằm trong từ trường đơn nguyên tử bên ngoài có chỉ số B. Các đường chỉ của trường tạo thành một góc a với pháp tuyến của bề mặt cuộn dây. Loại ngã rẽ nào sẽ xuất hiện nếu trường bị tắt?

61

8. Tìm độ phóng đại của ảnh của đoạn $AB$ tạo bởi một đường tán xạ mỏng có tiêu cự $F$ (hình 3).

9. Để đốt gỗ, hãy sử dụng kính lúp có độ phóng đại gấp bốn lần, tập trung ánh sáng mặt trời vào đó. Bạn nên cầm kính lúp ở khoảng cách tối ưu nào so với bề mặt của cây?

Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko
Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. $v = \frac{\sqrt{3}}{4} h^3 \text{ctg}^2 \varphi$.
2. $x \in \left[ \frac{1}{27}; 1 \right] \cup [9; \infty]$.
3. $x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
4. $ED = \frac{2\sqrt{2}}{3} a \sqrt{k+1}, 1/4 \leq k < \frac{1}{2}$.
5. 11 555 550. Gợi ý. Tổng đầu tiên tất cả các số khác 1.111.110.

Tùy chọn 2

1. $x \in [0; 1] \cup [2; 6]$.
2. $x = (-1)^{k-1} \arcsin \frac{1}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
3. $\frac{v_1}{v_2} = \frac{qD}{Qd}$.
4. $h = r \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.
5. $t = \frac{59}{38}$ c.

Tùy chọn 3

1. 53%.
2. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}, x = \frac{\pi}{4} + l\pi, l \in \mathbb{Z}$.
3. $\left[ -3; \frac{7}{8} \right] \cup \left[ \frac{9}{8}; 5 \right]$.
4. $5 \frac{10}{11}$.
5. $\varphi = 2 \text{ arctg} \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Tùy chọn 4

1. $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, x = (-1)^{\frac{\pi}{3}} + 2l\pi, l \in \mathbb{Z}$.
2. $x \in ] - \infty; 2[ \cup [4; 8]$.
3. $\frac{a}{\sqrt{2}}$.
4. $x = 1, y = 2, z = 3; 6)$ $x = -1, y = -2, z = -3$.
5. $Q = \sqrt[3]{\frac{9v^2}{16 \sin^2 a}}$.

Bài toán thi vấn đáp

1. $x = 4k + 2, k = -2, -3, \dots$

2. Nhóm thứ $n$ bao gồm $n$ số bốn hoặc số lẻ liên tiếp. $S_n = \left( \frac{n^2}{2} + 1 \right) n$

3. Trong mô hình hành tinh nguyên tử hydro, electron quay quanh hạt nhân theo quỹ đạo tròn. Một electron có động năng bao nhiêu trong quỹ đạo bán kính $r = 5 \cdot 10^{-11} \text{ m}$? Điện tích $e = 1,6 \times 10^{-19} \text{ K}$. Hằng số điện $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ F/m}$

Ấn phẩm được biên soạn bởi L. N. Dazaeva, D. V. Podlesyai

Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko
Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. $v = \frac{\sqrt{3}}{4} h^3 \text{ctg}^2 \varphi$.
2. $x \in \left[ \frac{1}{27}; 1 \right] \cup [9; \infty]$.
3. $x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
4. $ED = \frac{2\sqrt{2}}{3} a \sqrt{k+1}, 1/4 \leq k < \frac{1}{2}$.
5. 11 555 550. Gợi ý. Tổng đầu tiên tất cả các số khác 1.111.110.

Tùy chọn 2

1. $x \in [0; 1] \cup [2; 6]$.
2. $x = (-1)^{k-1} \arcsin \frac{1}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
3. $\frac{v_1}{v_2} = \frac{qD}{Qd}$.
4. $h = r \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.
5. $t = \frac{59}{38}$ c.

Tùy chọn 3

1. 53%.
2. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}, x = \frac{\pi}{4} + l\pi, l \in \mathbb{Z}$.
3. $\left[ -3; \frac{7}{8} \right] \cup \left[ \frac{9}{8}; 5 \right]$.
4. $5 \frac{10}{11}$.
5. $\varphi = 2 \text{ arctg} \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Tùy chọn 4

1. $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, x = (-1)^{\frac{\pi}{3}} + 2l\pi, l \in \mathbb{Z}$.
2. $x \in ] - \infty; 2[ \cup [4; 8]$.
3. $\frac{a}{\sqrt{2}}$.
4. $x = 1, y = 2, z = 3; 6)$ $x = -1, y = -2, z = -3$.
5. $Q = \sqrt[3]{\frac{9v^2}{16 \sin^2 a}}$.

Bài toán thi vấn đáp

1. $x = 4k + 2, k = -2, -3, \dots$

2. Nhóm thứ $n$ bao gồm $n$ số bốn hoặc số lẻ liên tiếp. $S_n = \left( \frac{n^2}{2} + 1 \right) n$

3. Trong mô hình hành tinh nguyên tử hydro, electron quay quanh hạt nhân theo quỹ đạo tròn. Một electron có động năng bao nhiêu trong quỹ đạo bán kính $r = 5 \cdot 10^{-11} \text{ m}$? Điện tích $e = 1,6 \times 10^{-19} \text{ K}$. Hằng số điện $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ F/m}$

Ấn phẩm được biên soạn bởi L. N. Dazaeva, D. V. Podlesyai

Vật lý
Khoa Vật lý

1. $n = \sqrt{2h/g} v/d = 90$.
2. $x = 0,66 \text{ m} (x\text{ является положительным корнем квадратного уравнения } x^2 - 2hx - 2hH = 0)$.
3. $T_{\min} = \sqrt{3\pi/(G\rho)} = 0,0012 \text{ c} (G = 6,67 \times 10^{-11} \text{ m}^3/(kr \cdot c^2)) - гранитционная постоянная$.
4. $p = \frac{\rho gh ((l-h)^2/4 - a^2)}{a(l-h)} = 20000 \text{ Pa}$.
5. $v = NRT/(pSMr) = 7,6 \text{ m/c} (p = 10^5 \text{ Pa} - нормальное атмосферное давление, M = 18 \times 10^{-3} \text{ кг/mol} - молярная масса воды)$.
6. $\varphi = 6,9^\circ (\varphi\text{ является корнем квадратного уравнения } \varphi^2 - 2\pi\varphi + 4\pi^2r/R = 0)$.
7. $U_1 = \frac{\mathcal{E}(n-1)C_2}{n(C_1+C_2)}; U_2 = \frac{\mathcal{E}(n-1)C_1}{n(C_1+C_2)}$.
8. $f \approx 4 \text{ m} (f\text{ является решением системы двух уравнений} - \text{ формул линей } \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \text{ и } \frac{1}{d-l} + \frac{1}{f+L} = \frac{1}{F})$.
   Khoa vật lý phóng xạ
9. $t = \sqrt{\frac{2H}{g \sin \alpha (\sin \alpha -tg \beta \cos \alpha)}}$.
10. $E_2 = \frac{F^2t^2}{4E_1} \left(v_0 + \frac{2E_1}{Ft}\right)^2 = 5,3 \text{ Дж}$.
11. Khối lượng riêng của hình lập phương nhỏ hơn khối lượng riêng của nước 4 lần và khối lượng riêng của hòn đá gấp 2 lần khối lượng riêng của nước.
12. $n = (mRT)/(pVM_0) = 2 (M_0 = 58 \text{ г/mоль} - молярная масса гРПы C_3H_6O)$.

63

$$V = \frac{S \sqrt{2S \sin \alpha}}{6 \cos \alpha / 2 \sin \alpha \mathrm{tg} \beta}.$$

Tùy chọn 2

1. $\{-1; 1\}$. 2. $a \in ]5/3; +\infty[$.
2. $x_1 = \pm \frac{2}{3} \pi + 2\pi k; x_2 = -\frac{\pi}{4} + \pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.
3. 24. 5. $V = (a^3 \sin \alpha / 2 \cdot \mathrm{tg} \beta) / 6; \mathrm{tg} \varphi = \mathrm{tg} \beta \times (\cos \alpha)^{-1}$.
          Vật lý
4. $v = v_I / \sqrt{2} = 5,7$ km/c.
5. $m \geqslant M / 2 = 0,5$ kg.
6. $v = (p - p_H)V / (RT) = 0,6$ mol (ở đây $p_H = 10^5$ Pa là áp suất của hơi nước bão hòa ở nhiệt độ nhất định).
7. $\Delta T = -2A / (3R) = -100$ K.
8. Sau khi cài đặt nhiệt độ cân bằng nhiệt trong nhiệt lượng kế sẽ có hỗn hợp nước đá và nước có nhiệt độ $0^\circ C$, nước sẽ có $m_B = m_2 - (c_1 m_1 \Delta t_1) / \lambda = 0,04$ kg = 40 g.
9. $Q = q^2 d / (2 \varepsilon_0 S)$ (ở đây $\varepsilon_0$ là hằng số điện).
10. $q = (BS \cos \alpha) / R$.
11. $\Gamma = 1/6$.
12. $l = F = d_0 / 4 = 6,25$ cm (ở đây $F$ là tiêu cự của kính lúp, $d_0 = 25$ cm là khoảng cách nhìn rõ nhất).
13. $E_k = e^2 / (8 \pi \varepsilon_0 r) = 2,3 \cdot 10^{-18}$ J.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(cm. «Kvant» № 4)

1. $\times \frac{292}{211}$
2. $\frac{292}{292}$
3. $\frac{584}{61612}$
4. Người anh sinh năm 1962, người em sinh năm 1969.
5. Mục tiêu tại hình chưa đóng nên sẽ không cần tok.
6. Nếu bạn thay thế từng chữ số của vé “may mắn” bằng phần bù của nó là 9, tức là 0 x 9, 1 x 8, v.v., thì vé nhận được cũng sẽ là vé “may mắn” và nếu vé đến từ vòng quay đầu tiên thì vé nhận được sẽ từ vòng quay thứ hai. Theo đó, mỗi guồng chứa cùng một số vé “may mắn”.
7. Nối một trong các trung điểm của các cạnh với các đỉnh của cạnh đối diện bằng các đoạn thẳng

Hình 2.
(hình 2). Các tam giác màu xanh và đỏ ở trạng thái cân bằng, nghĩa là các tam giác màu trắng cũng ở trạng thái cân bằng. Nhưng trong trường hợp này, chiều cao của chúng, hạ xuống cạnh dưới, bằng nhau, do đó cạnh trên của tứ giác song song với cạnh dưới.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(cm. «Kvant» № 3)

1. Trong cả hai trường hợp khối lập phương sẽ giảm đi 3 cm.
2. Vấn đề có hai lời giải. Đầu tiên lời giải:

Hình 3.
1 con mèo, 1 con chó và 1 con vẹt, không có gián; thứ hai lời giải: 2 con gián - và không có vật nuôi nào khác.
3. Chúng ta hãy tạo thành một tứ giác từ bốn tam giác thu được như trong hình 3. Điều này có thể thực hiện được do các cạnh tương ứng của các tam giác bằng nhau và thực tế là tổng các góc 1, 4, 9 và 12 bằng 360°, cũng như tổng các góc trong của tứ giác. Sự song song của các cạnh của tứ giác thu được rất dễ kiểm tra. Từ thực tế là tổng các góc 10 và 11 bằng góc 1, suy ra tổng các góc 10, 3, 5, 11 bằng 180°. Do đó các cạnh $AB$ và $CD$ song song với nhau. Sự song song của các cạnh $AC$ và $BD$ được chứng minh theo cách tương tự.
4. Chúng ta hãy đặt đồng xu 5 kopeck vào cốc bên trái và đồng xu 2 và 3 kopeck vào cốc bên phải. Nếu cân cân bằng thì đồng xu bị lỗi là 1 kopeck. Nếu chúng ta chuyển một trong các cốc, thì chúng ta sẽ đặt đồng xu 3 kopeck vào cốc bên trái, và 2 và 1 kopeck vào cốc bên phải. Nếu cân lúc này cân bằng thì đồng xu bị lỗi là 5 kopecks. Nếu trong lần cân thứ hai, chiếc cốc đó được coi như trong lần cân đầu tiên thì đồng xu bị lỗi là 2 kopecks, ngược lại - đồng xu 3 kopecks.
5. $H = 0, A = 1, B = 2, O = 3, E = 4, K = 5, T = 6, I = 7, P = 8, Π = 9$.

Kính vạn hoa «Kvant»
(cm. «Kvant» № 4)
Câu đố

1. Xem hình 4.
2. Xem hình 5.
3. $18,75 \cdot 10^{-4}$ lcm.

64

bìa của chúng tôi
(xem «Kvant» số 4, trang bìa thứ 4)

Hãy đánh số các số nguyên tố như trong hình 6. Lần lượt cuộn các số nguyên tố 7, 2, 2, 1, 1, 4, 4, 6, 6, 10, 11, 11, 8, 8, 2, 2, 1, 4, 6, 10, 10, 11, 11, 8, 2, 7, quan sát hướng chuyển động chung theo chiều kim đồng hồ xung quanh vòng tròn được đánh dấu hoa thị. Chúng ta nhận được hoán vị tuần hoàn 1→2→8→11→10→6→4→1. Tương tự, bạn có thể nhận được một “chu trình” đối xứng 2→3→5→9→12→11→7→2. Hai chu trình này cho phép bạn thu được bất kỳ sự phân bổ màu sắc nào của các đoạn mồi.

Hình 6.

Trang cờ vua
(xem «Kvant» số 2)

Nhiệm vụ 3 (G. Rink, 1937). 1. Ke5+ Ke8 2. Kpb8! Qh7 3. Qe6+ Kpf8 (3… Qe7 4. Qc6+ Kpf8 5. Ng6+ thắng quân hậu) 4. Kd7+ Kpg7 5. Qf6+ Kg8 6. Qf8×.

Nhiệm vụ 4 (K. Mann, 1922). 1. Qa8+ Qg8 2. Qa7 Qg7 3. Qb8+ Qg8 4. Qe5+ Qg7 5. Qe8+ Qg8 6. Qd7 Qf7 7. Qd4+ Qg7 8. Qd8+ Qg8 9. Qf6+ Qg7 10. Qh4+ Kp8 11. Cd5+ Kpf8 12. Qd8×.

Số chuẩn bị:
A. N. Vilenkin,
A. A. Egorov, I. N. Klumova, T. S. Petrova,
A. V. Sosinsky, V. A. Tikhomirova

Số đăng ký:
Yu. A. Vashchenko, M. V. Dubakh, S. V. Ivanov, D. A. Krymov, T. N. Kolchenko, N. S. Kuzmin, E. V. Nazarov, I. E. Smirnova, E. K. Tenchurina, I. I. Chernusky, V. V. Yudin

Ảnh được gửi bởi:
Biên niên sử ảnh TASS

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova
biên tập nghệ thuật
S. V. Ivanov
Biên tập viên nghệ thuật T. M. Makarov
Người hiệu đính T. S. Weisberg

Giao hàng vào ngày 18/03/87. Ký xuất bản ngày 27 tháng 4 năm 1987.
T-09765. Giấy 70×108/16. In offset.
Nốt ruồi có điều kiện. 23,8. Lò nướng có điều kiện l. 5.6. Biên tập học thuật. tôi. 7.02.
Lưu hành 208.234 bản. Giá 40 kopecks. Lệnh 721.

Huân chương Cờ đỏ Lao động Nhà máy In Chekhov VO “Soizoplograprorom”
Ủy ban Nhà nước Liên Xô
xuất bản, in ấn và buôn bán sách 142300 Chekhov, khu vực Moscow