Đường trung tâm

46

Đường trung tâm

V. N. VAGUTEN

Bài viết này thảo luận về một loạt định lý bao trùm toàn bộ môn học hình học ở trường - từ lớp 6 đến lớp 10. Nó bắt đầu bằng định lý về đường trung bình của một tam giác và dẫn đến những tính chất thú vị của tứ diện và các khối đa diện khác.

Tam giác, tứ giác, hình bình hành

Đối với bất kỳ tam giác KLM nào, có thể gắn ba tam giác bằng nhau AKM, BLK, CLM, mỗi tam giác đó cùng với tam giác KLM tạo thành hình bình hành (hình 1). Trong trường hợp này, AK = ML = KB và đỉnh K kề với ba góc bằng các góc khác nhau của tam giác,

tổng bằng 180° nên K là trung điểm của đoạn AB; tương tự, L là trung điểm của đoạn BC và M là trung điểm của đoạn CA.

Chúng ta có thể có được bức tranh tương tự bằng cách bắt đầu với hình tam giác lớn ABC.

Định lý 1. Nếu nối cạnh giữa của một tam giác bất kỳ, chúng ta sẽ có bốn hình tam giác bằng nhau và hình ở giữa là hình bình hành với ba hình còn lại.

Công thức này liên quan đến cả ba đường giữa của tam giác cùng một lúc. Rõ ràng trong sách giáo khoa có một định lý mà chúng ta đang nói về một đường tâm.

Định lý 2. Đoạn thẳng nối hai cạnh của một tam giác thì song song với tam giác đó và bằng một nửa tam giác đó (xem hình 1).

Định lý này và định lý ngược lại của nó - rằng đường thẳng, song song

48

Một hình tứ giác không gian như vậy có thể thu được bằng cách cắt hình tứ giác ABCD từ giấy và uốn nó theo đường chéo ở một góc nhất định (hình 6, a). Rõ ràng rằng các đường trung tuyến KL và MN của các tam giác ABC và ADC giữ nguyên là đường trung bình của chúng và sẽ song song với đoạn AC và bằng AC/2. (Ở đây chúng ta sử dụng tính chất cơ bản của các đường thẳng song song vẫn đúng cho không gian: nếu hai đường thẳng KL và MN song song với đường thẳng thứ ba AC thì KL và MN nằm trong cùng một mặt phẳng và song song với nhau.)

Vậy các điểm K, L, M, N là các đỉnh của hình bình hành; Như vậy, các đoạn KM và LN cắt nhau và được chia đôi bởi điểm giao nhau.

Thay vì tứ giác, chúng ta có thể nói về tứ diện - tam giác ABCD: trung điểm K, L, M, N của các cạnh AB, AC, CD và DA luôn nằm trong cùng một mặt phẳng. Bằng cách cắt tứ diện dọc theo mặt phẳng này (hình 6, b), ta thu được hình bình hành KLMN, có hai cạnh song song với cạnh AC và bằng AC/2, hai cạnh còn lại song song với cạnh BD và bằng BD/2.

Cùng một hình bình hành—“phần giữa” của tứ diện—có thể được dựng cho các cặp cạnh đối diện khác. Mỗi hình bình hành trong số ba hình bình hành này có một đường chéo chung. Trong trường hợp này, trung điểm của các đường chéo trùng nhau. Vì vậy, chúng tôi nhận được một hệ quả thú vị:

Định lý 6. Ba đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện của tứ diện cắt nhau tại một điểm và chia đôi (hình 7).

Điều này và những sự kiện khác được thảo luận ở trên được giải thích một cách tự nhiên bằng ngôn ngữ cơ học - sử dụng khái niệm khối tâm. Định lý 5 nói về một trong những điểm thay thế tetraedrika - giao điểm của các đường trung tuyến; trong Định lý 6 - về điểm thay thế cho bốn đỉnh của một tứ diện. Những điểm này là trọng tâm của tứ diện tương ứng. Đầu tiên chúng ta quay trở lại Định lý 5 về số trung vị.

Chúng ta hãy đặt ba gruzes giống hệt nhau (hình 8) tại các đỉnh của tetraedrika. Khối

49

Hãy coi mỗi người là một. Hãy tìm khối tâm của hệ thống tải này.

Trước tiên chúng ta xét hai vật nặng nằm ở đỉnh A và B: khối tâm của chúng nằm ở giữa đoạn AB nên có thể thay các trọng số này bằng một vật nặng có khối lượng 2 đặt ở giữa K của đoạn AB (hình 8, a). Bây giờ bạn cần tìm khối tâm của một hệ gồm hai tải trọng: một tải trọng có khối lượng 1 tại điểm C và tải trọng thứ hai có khối lượng 2 tại điểm K. Theo quy luật đòn bẩy, khối tâm của hệ thống đó nằm tại điểm O, chia đoạn CK theo tỷ lệ 2:1 (gần tải trọng tại điểm K hơn với khối lượng lớn hơn - hình 8, b).

Tất nhiên, trước tiên chúng ta có thể kết hợp tải trọng tại các điểm B và C, sau đó kết hợp tải trọng thu được của khối lượng 2 ở giữa L của đoạn BC với tải trọng tại điểm A. Hoặc trước tiên kết hợp tải trọng A và C, sau đó cộng B. Trong mọi trường hợp, chúng ta sẽ nhận được kết quả tương tự. Do đó, khối tâm nằm ở điểm O, chia mỗi đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1, tính từ đỉnh.

Những thông điệp tương tự có thể giải thích Định lý 4 - thực tế là các đoạn nối trung điểm của các cạnh đối diện của bốn vật nặng giống hệt nhau đi qua bốn đoạn nữa nối mỗi đoạn với trọng tâm của ba vật còn lại. Bốn đoạn này được chia cho điểm O theo tỷ lệ 3:1. Để giải thích thực tế này, trước tiên bạn phải tìm khối tâm của ba quả nặng rồi gắn bốn đoạn thẳng vào.

50

Tứ diện, bát diện, hình bình hành, hình lập phương

Ở đầu bài viết, chúng ta đã xét một hình tam giác được chia bởi các đường ở giữa thành bốn hình tam giác giống hệt nhau (xem hình 1). Chúng ta hãy thử thực hiện cách xây dựng tương tự cho một paramit tam giác tùy ý (tứ diện). Chúng ta hãy cắt khối tứ diện thành các phần như sau: qua phần giữa của ba cạnh ra khỏi mỗi đỉnh, chúng ta sẽ tạo một đường cắt phẳng (hình 11, a). Khi đó bốn khối tứ diện nhỏ giống hệt nhau sẽ bị cắt khỏi khối tứ diện. Bằng cách tương tự với một hình tam giác, người ta sẽ nghĩ rằng sẽ có một khối tứ diện tương tự khác ở giữa. Nhưng thực tế không phải vậy: khối đa diện còn lại từ khối tứ diện lớn sau khi loại bỏ bốn khối nhỏ sẽ có sáu đỉnh và tám mặt - nó được gọi là khối bát diện (hình 11, b). Thật thuận tiện để kiểm tra điều này bằng cách sử dụng một miếng pho mát có hình tứ diện. Hình bát diện thu được có tâm đối xứng, vì trung điểm của các cạnh đối diện của tứ diện cắt nhau tại một điểm chung và chia đôi nó.

Một cách xây dựng thú vị được kết nối bằng một hình tam giác được chia bởi các đường ở giữa thành bốn hình tam giác: chúng ta có thể coi hình này là sự phát triển của một số tứ diện.

Hãy tưởng tượng một hình tam giác cấp tính được cắt ra khỏi giấy. Uốn cong dọc theo các đường ở giữa sao cho các đỉnh trùng nhau tại một điểm, uốn các cạnh của tờ giấy hội tụ tại điểm này, ta được một hình tứ diện trong đó cả bốn mặt đều là những hình tam giác bằng nhau; các cạnh đối diện của nó bằng nhau (hình 12). Một tứ diện như vậy được gọi là nửa bên phải. Mỗi trong số ba “phần giữa” của khối tứ diện này—các hình bình hành có các cạnh song song với cạnh đối diện và bằng hai nửa của chúng—sẽ là một hình thoi. Do đó, các đường chéo của các hình bình hành này - ba đoạn nối trung điểm của các cạnh đối diện - vuông góc với nhau. Trong số vô số tính chất của tứ diện nửa bên phải, chúng ta lưu ý những điều sau: tổng các góc hội tụ tại mỗi đỉnh của nó bằng $180^\circ$ (các góc này tương ứng bằng các góc của tam giác ban đầu). Cụ thể, nếu chúng ta bắt đầu với một lưới có hình tam giác đều, chúng ta sẽ có một hình tứ diện bằng nhau với tất cả các cạnh bằng nhau.

Ngay từ đầu chúng ta đã thấy rằng mỗi tam giác có thể được coi là một tam giác được hình thành bởi các đường trung bình của một tam giác lớn hơn. Với sự tương tự trong không gian, không có cách xây dựng nào như vậy. Nhưng hóa ra bất kỳ khối tứ diện nào cũng có thể được coi là

51

“lõi” của một hình bình hành, trong đó tất cả sáu cạnh của tứ diện đóng vai trò là đường chéo của các mặt. Để làm điều này, bạn cần thực hiện công trình sau trong không gian. Qua mỗi cạnh của tứ diện ta vẽ một mặt phẳng song song với cạnh đối diện. Các mặt phẳng vẽ qua các cạnh đối diện của tứ diện sẽ song song với nhau (chúng song song với mặt phẳng của “phần giữa” - một hình bình hành có các đỉnh ở giữa bốn cạnh còn lại của tứ diện). Điều này tạo ra ba cặp mặt phẳng song song, giao điểm của chúng tạo thành hình bình hành mong muốn (hai mặt phẳng song song được giao nhau bởi mặt phẳng thứ ba dọc theo các đường thẳng song song). Các đỉnh của tứ diện đóng vai trò là bốn đỉnh không liền kề của hình bình hành được xây dựng (hình 13). Ngược lại, trong bất kỳ hình bình hành nào, bạn có thể chọn (theo hai cách) bốn đỉnh không liền kề và cắt các mặt phẳng khỏi nó, đi qua ba đỉnh đó, tứ diện góc. Sau này, phần còn lại là “lõi” - một khối tứ diện, các cạnh của nó là đường chéo của các mặt của hình bình hành. Hãy thử chứng minh rằng mỗi đường chéo của hình bình hành (nối hai đỉnh đối diện của nó) cắt mặt của tứ diện tại giao điểm của các đường trung tuyến của nó và được chia cho điểm này theo tỷ lệ 1:2.

Nếu thu được hình tứ diện ban đầu thì mỗi mặt của hình bình hành được dựng sẽ là hình bình hành có các đường chéo bằng nhau, tức là hình chữ nhật. Điều ngược lại cũng đúng: “lõi” của một hình bình hành hình chữ nhật là hình tứ diện thu được. Khi một hình thoi - phần giữa của một khối tứ diện như vậy - nằm trong ba mặt phẳng vuông góc với nhau. Chúng đóng vai trò là mặt phẳng đối xứng của khối bát diện thu được từ một khối tứ diện như vậy bằng cách cắt bỏ các góc.

Đối với một tứ diện đều, hình bình hành được mô tả xung quanh nó sẽ là một khối lập phương (hình 14) và tâm của các mặt của khối này - trung điểm của các cạnh của tứ diện - sẽ là các đỉnh của một bát diện đều, tất cả các mặt đều là hình tam giác đều. (Ba mặt phẳng đối xứng của khối bát diện cắt khối tứ diện theo hình vuông.)

Do đó, vào hình 14, chúng ta thấy ngay ba trong số các điểm của thân tấm (khối đa diện đều) - khối lập phương, khối tứ diện và khối bát diện. Có thêm hai cơ thể như vậy: icosadron và dodecadron. Nhưng đây đã là một câu chuyện khác.

Trường học yêu thích bài toán

(Để bắt đầu, xem trang 45)

vòng tròn. Chứng minh rằng tất cả các đường tròn này đều có điểm chung.

12. Đặt $p(x)=x^2+ax+b$, trong đó $a$ và $b$ là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $N$ sao cho mọi số $p(N+1), p(N+2), \dots, p(N+1989)$ đều là hợp số.

13. Được biết, $a<b<c$. Chứng minh rằng phương trình

$$\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0$$

có chính xác hai lời giải $x_1, x_2$ và $a<x_1<b<x_2<c$.

14. Trong tứ diện ABCD, các góc ADB, ADC, BDC bằng nhau và các cạnh AD, BD, CD có độ dài bằng nhau. Chứng minh tam giác ABC nhọn.

15. Các đường thẳng vuông góc với các mặt của tứ diện đi qua tâm của các đường tròn nội tiếp sẽ cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh đối diện của tứ diện này bằng nhau.

Ấn phẩm được biên soạn bởi L. D. Kurlyandchik và Zhorio của Olympic Toán học Leningrad