Định luật bảo toàn năng lượng trong tĩnh điện

63

Định luật bảo toàn năng lượng trong nhà máy điện

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. A. GORDYUNIN

Định luật bảo toàn năng lượng xác định ở dạng tổng quát nhất sự cân bằng năng lượng đối với mọi loại thay đổi trong bất kỳ hệ thống nào. Hãy viết nó như sau:

$$A_{\text{внешш}} = \Delta W + Q,$$

(1)

trong đó $A_{\text{внешш}}$ là công thực hiện trên hệ khi có ngoại lực xem xét, $\Delta W$ là độ biến thiên năng lượng của hệ, $Q$ là lượng nhiệt tỏa ra trong hệ. Chúng ta hãy đồng ý rằng nếu $A_{\text{внешш}} > 0$, thì công tích cực được thực hiện trên hệ thống, và nếu $A_{\text{внешш}} < 0$, công tích cực được thực hiện bởi hệ thống; nếu $\Delta W > 0$ thì năng lượng của hệ tăng lên và nếu $\Delta W < 0$ thì năng lượng giảm; cuối cùng, nếu $Q > 0$, thì nhiệt được giải phóng trong hệ thống và nếu $Q < 0$, nhiệt sẽ được hệ thống ấm hấp thụ.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét định luật bảo toàn năng lượng “hoạt động” như thế nào trong nhà máy điện. Trong trường hợp tổng quát, hệ thống nhà máy điện chứa các điện tích tương tác với nhau và nằm trong điện trường.

Chúng ta hãy xem xét riêng thuật ngữ nào trong phương trình (1).

Hãy bắt đầu với năng lượng. Năng lượng tương tác của các điện tích được thể hiện thông qua đặc tính điện trường của hệ điện tích này. Vì vậy, ví dụ, năng lượng của một tụ điện tích điện có điện dung $C$ được tính bằng biểu thức nổi tiếng

$$W = \frac{q^2}{2C} = \frac{CU^2}{2} = \frac{1}{2} qU,$$

(2)

trong đó $q$ là điện tích của các bản, $U$ là điện áp giữa chúng. Chúng ta hãy nhớ lại điều đó

64

Tụ điện là một hệ thống gồm hai dây dẫn (tấm, tấm), có đặc tính sau: nếu điện tích $q$ được thay đổi từ tấm này sang tấm khác (nghĩa là một tấm được tích điện $+q$ và tấm kia $-q$), thì tất cả các đường thoát nước sẽ tạo ra các trường theo cách này sẽ bắt đầu trên một tấm (sạc dương) và kết thúc ở tấm kia. Điện trường của tụ điện chỉ tồn tại bên trong nó.

Năng lượng của tụ điện tích điện cũng có thể được biểu diễn dưới dạng năng lượng của trường định vị trong không gian giữa các bản có mật độ năng lượng $\varepsilon_0 E^2/2$, trong đó $E$ là cường độ trường. Về bản chất, chính thực tế này đã tạo cơ sở để nói trường là một vật thể thực sự tồn tại - vật thể này có mật độ năng lượng. Nhưng chúng ta phải nhớ rằng đây đơn giản là một cách tương đương để xác định năng lượng tương tác của các điện tích (mà ngày nay chúng ta gọi là năng lượng điện trường). Như vậy, ta có thể tính năng lượng của tụ điện theo công thức (2) và theo công thức

$$W = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} V,$$

trong đó $V$ là thể tích của tụ điện. Tất nhiên, công thức cuối cùng rất dễ sử dụng, chỉ trong trường hợp trường đồng nhất, nhưng việc biểu diễn năng lượng ở dạng này rất rõ ràng và do đó thuận tiện.

Tất nhiên, ngoài năng lượng tương tác của các điện tích (năng lượng của điện trường), năng lượng của hệ còn có thể bao gồm động năng của các vật tích điện và thế năng của chúng trong trường hấp dẫn, năng lượng của các lò xo gắn với các vật thể, v.v.

Bây giờ về công việc của các lực lượng bên ngoài. Ngoài công cơ học thông thường $A_{\text{max}}$ (ví dụ di chuyển các bản tụ điện ra xa nhau), đối với hệ thống điện chúng ta có thể nói đến công của điện trường ngoài. Ví dụ, về hoạt động của pin sạc hoặc nạp lại tụ điện. Nhiệm vụ của pin là tạo ra một hiệu điện thế cố định vốn có trong một nguồn nhất định giữa các vật thể mà nó được kết nối. Cô ấy làm điều này theo cách duy nhất có thể - cô ấy nhận điện từ cơ thể này và chuyển nó sang cơ thể khác. Nguồn không tạo ra điện tích theo bất kỳ cách nào mà chỉ di chuyển chúng. Điện tích tổng thể của hệ thống được bảo toàn - đây là một trong những định luật quan trọng nhất của tự nhiên.

Trong các nguồn có thiết kế khác nhau, điện trường cần thiết để di chuyển các điện tích được tạo ra bởi các “cơ chế” khác nhau. Trong pin và ắc quy đây là những phản ứng điện hóa, trong máy điện môi chúng là cảm ứng điện từ. Điều quan trọng là đối với hệ thống điện tích đã chọn (vật thể tích điện), trường này nằm ở bên ngoài, về phía nó. Khi một điện tích $\Delta q$ chạy qua một nguồn có EMF từ cực in tới các cực dương, các cạnh của lực sẽ sinh công

$$A_{\text{бат}} = \Delta q \varepsilon.$$

Hơn nữa, nếu $\Delta q > 0$ thì $A_{\text{бат}} > 0$ - pin đã hết; nếu $\Delta q < 0$, thì $A_{\text{бат}} < 0$ - pin đã xả và năng lượng hóa học (hoặc từ tính) tích tụ trong đó.

Cuối cùng là về sự cô lập của cơ thể. Chúng ta chỉ cần lưu ý rằng đây là tín hiệu Joule, tức là tín hiệu liên quan đến việc bảo vệ dòng điện thông qua điện trở.

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về một số bài toán cụ thể.

Bài toán 1. Hai tụ điện phẳng giống hệt nhau có công suất $C$, mỗi tụ được nối với hai cục pin giống hệt nhau có suất điện động $E$. Tại một thời điểm nào đó, một tụ điện bị ngắt khỏi pin và tụ điện kia vẫn được kết nối. Sau đó, các tấm của cả hai bình ngưng được di chuyển từ từ ra xa nhau, làm giảm công suất của mỗi tấm vào rãnh. Công cơ học nào được thực hiện trong mỗi trường hợp?

Nếu quá trình thay đổi điện tích trên tụ điện được thực hiện chậm rãi thì tế bào sẽ không được giải phóng. Thật vậy, nếu điện tích $\Delta q$ chạy qua điện trở $R$ trong thời gian $t$, thì trên điện trở trong

66

Bài tập 3. Trong mạch điện ở hình 2, một tụ điện có điện dung C được tích điện đến điện áp U. Sau khi đóng công tắc, năng lượng hóa học sẽ được lưu trữ trong pin với emf E là bao nhiêu? Nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở là bao nhiêu?

Điện tích ban đầu trên tụ điện là $q_1=CU$. Sau khi sạc xong, điện tích trên tụ trở thành $q_2=C\mathcal{E}$. Điện tích chạy qua pin trong trường hợp nối bản tụ điện âm vào cực âm của pin sẽ bằng

$$\Delta q=q_2-q_1=C\mathcal{E}-CU.$$

Nếu không thì $\Delta q=C\mathcal{E}+CU$, trong trường hợp đó pin sẽ bị xả ($\Delta q>0$). Và trong trường hợp đầu tiên, ở mức $U>E$ pin được sạc ($\Delta q<0$), và lượng hóa năng tích trữ trong pin sau khi đóng chìa khóa bằng tổng năng lượng của pin:

$$\Delta W_{\text{хим}}=A_{\text{бат}}=C\mathcal{E}(U-\mathcal{E}).$$

Bây giờ hãy viết định luật bảo toàn năng lượng (1) -

$$\mathcal{E}(C\mathcal{E}-CU)=\left(\frac{C\mathcal{E}^2}{2}-\frac{CU^2}{2}\right)+Q$$

• và tìm lượng nhiệt toả ra:

$$Q=\frac{C}{2}(\mathcal{E}-U)^2>0.$$

Bài 4. Một tụ điện đặt trong một trường đều bên ngoài có điện áp $\vec{E}_0$ vuông góc với các bản. Điện tích $+q$ và $-q$ được phân bố trên các bản có diện tích S. Khoảng cách giữa các bản d. Khối lượng công việc tối thiểu phải được thực hiện để hoán đổi các tấm là bao nhiêu? Đặt nó song song với sân? Mang nó ra khỏi hiện trường?

Công việc sẽ được giảm thiểu khi quá trình này được thực hiện rất chậm - không sinh ra nhiệt. Khi đó, theo định luật bảo toàn năng lượng, $A_{\text{min}}=\Delta W$.

Để tìm $\Delta W$, chúng tôi sử dụng công thức (3). Trường giữa các bản là sự chồng chất của trường $\vec{E}_1$ của một tụ điện bản song song đã cho -

$$E_1=\frac{q}{C}\frac{1}{d}=\frac{q}{\varepsilon_0 S}$$

— và trường ngoài $\vec{E}_0$.

Khi các bản được hoán đổi, trường $\vec{E}_1$ thay đổi thành $-\vec{E}_1$, nhưng trường bên ngoài không thay đổi, tức là sự thay đổi năng lượng của hệ gắn liền với sự thay đổi mật độ của nó giữa các bản tụ điện:

$$\Delta W=\frac{\varepsilon_0(E_0-\pm E_1)^2}{2}Sd-\frac{\varepsilon_0(E_0\pm E_1)^2}{2}Sd=$$

$$=\mp 2\varepsilon_0E_0E_1Sd.$$

Nếu hướng của vectơ $\vec{E}_0$ và $\vec{E}_1$ giống nhau thì mật độ năng lượng giữa các tấm giảm sau khi các tấm được hoán đổi và nếu hướng ngược nhau thì mật độ năng lượng tăng lên. Vì vậy, trong trường hợp đầu tiên $A_{\text{min}}=\Delta W=-2qE_0d$.

— tụ điện muốn tự mở ra và phải được tháo ra ($A<0$), và trong trường hợp thứ hai $A_{\text{min}}=2qE_0d>0$.

Khi các bản tụ thẳng hàng với từ trường, $\vec{E}_0$ và $\vec{E}_1$ vuông góc với nhau. Năng lượng trường của tụ điện bên trong trong trường hợp này bằng $\varepsilon_0(E_0^2+E_1^2)Sd/2$. Sau đó

$$A_{\text{min}}=\Delta W=\frac{\varepsilon_0(E_0^2+E_1^2)}{2}Sd-$$

$$-\frac{\varepsilon_0(E_0\pm E_1)^2}{2}Sd=\mp qE_0d.$$

67

Khi tụ điện được tháo ra khỏi điện trường, tại vị trí của nó, trường trở thành $\vec{E}_0$, và trong chính nó bây giờ trường $\vec{E}_1$, tức là $\Delta W$ và $A_{\min}$ hóa ra giống như trong trường hợp trước.

Bài toán 5. Một tụ điện có điện dung $C$ không có chất điện môi thì được tích điện với điện tích $q$. Lượng nhiệt tỏa ra trong tụ điện là bao nhiêu nếu nó chứa đầy một chất có chất điện môi $\varepsilon$? Tương tự, nhưng tụ điện được nối với pin với lực điện động $\varepsilon$.

Khi chất điện môi chứa đầy điện dung của tụ điện thì nó tăng lên $\varepsilon$ lần.

Trong trường hợp thứ nhất, điện tích trên các bản cố định, không có ngoại lực và định luật bảo toàn năng lượng (1) có dạng

$$0 = \Delta W + Q.$$

Từ đây

$$Q = -\Delta W = -\left( \frac{q^2}{2C\varepsilon} - \frac{q^2}{2C} \right) = \frac{q^2}{2C} \left( 1 - \frac{1}{\varepsilon} \right) > 0.$$

Nhiệt được giải phóng do sự giảm năng lượng tương tác của các điện tích.

Trong trường hợp thứ hai, pin hoạt động và điện áp trên tụ cố định:

$$A_{6ат} = \Delta q\varepsilon = (\varepsilon C\varepsilon - C\varepsilon)\varepsilon = C\varepsilon^2(\varepsilon - 1),$$

$$\Delta W = \frac{\varepsilon C\varepsilon^2}{2} - \frac{C\varepsilon^2}{2} = \frac{C\varepsilon^2}{2}(\varepsilon - 1).$$

Sau đó từ phương trình (1) nó suy ra

$$Q = A_{6ат} - \Delta W = \frac{C\varepsilon^2}{2}(\varepsilon - 1).$$

Bài toán 6. Hai bản có diện tích $S$ nối với nhau bằng một dây dẫn nằm cách nhau một khoảng $d$ (khoảng cách này nhỏ so với kích thước của các bản) trong một trường đều bên ngoài có điện áp $\vec{E}$, vuông góc với các bản (hình 3). Phải làm công việc gì để muối chúng đi xa $d/2$?

Các tấm tương đương nhau và không có trường giữa chúng. Kết quả của công việc nhiệt hạch là tạo ra một trường có điện áp $\vec{E}$ về thể tích $S(d-d/2)$. Sau đó, theo phương trình (1) và (3),

$$A = \Delta W = \frac{\varepsilon_0 E^2}{4} Sd > 0.$$

Bài tập

1. Hai tụ điện phẳng giống hệt nhau có điện dung $C$, mỗi tụ được mắc song song và được tích điện đến điện áp $U$. Các bản của một trong các tụ điện được trải ra từ từ trên một khoảng cách dài. Những loại công việc được thực hiện?

2. Hai tụ điện, mỗi tụ điện $C$, được tích điện đến điện áp $U$ và được nối qua một điện trở (hình 4). Các bản của một trong các tụ điện nhanh chóng được dịch chuyển ra xa nhau để khoảng cách giữa chúng tăng gấp đôi và điện tích trên các bản không thay đổi trong quá trình chuyển động của chúng. Nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở là bao nhiêu?

3. Một tụ điện không khí ngắn được nối với pin có suất điện động $\varepsilon$. Diện tích của các tấm là $S$, khoảng cách giữa chúng là $d$. Tụ điện chứa một tấm kim loại có độ dày $d_1$ song song với các bản (hình 5). Khối lượng công việc tối thiểu cần thiết để tháo tấm ra khỏi bình ngưng là bao nhiêu?

4. Một tấm dẫn điện mỏng lớn có diện tích $S$ và độ dày $d$ được đặt trong một điện trường đều có điện áp $\vec{E}$, vuông góc với bề mặt của tấm. Bao nhiêu nhiệt lượng tỏa ra trong tấm nếu từ trường bị tắt ngay lập tức? Khối lượng công việc tối thiểu phải được thực hiện để loại bỏ tấm khỏi hiện trường là bao nhiêu?

5. Một trong các bản của tụ điện phẳng được treo bên ngoài (hình 6). Tấm nào là nhựa $S$, khoảng cách giữa chúng lúc đầu là $d$. Tụ điện được nối nhanh với pin và được sạc đến điện áp $U$. Độ cứng nhỏ nhất của lò xo để hai tấm không chạm vào nhau là bao nhiêu? Bỏ qua sự trộn lẫn của các tấm trong quá trình sạc.