Bài toán M1166—M1170; F1173—F1177

30

Nhiệm vụ

M1166 — M1170, F1173 — F1177

M1166. Chứng minh bất đẳng thức $a^2pq + b^2qr + c^2rp \leqslant 0$, trong đó $a, b, c$ là độ dài cạnh của tam giác, $p+q+r=0$.

Y. Sh. Mustafayev, học sinh lớp 10, Baku

M1167. Có bao nhiêu hoán vị của các số 1, 2, …, $n$ trong đó với bất kỳ số $i$ nào không đứng ở vị trí đầu tiên thì ít nhất một trong các số $i-1$ và $i+1$ nằm ở bên trái của $i$?

A. V. Anzhans

M1168*. Cả nước có 1.989 thành phố và 4.000 con đường (mỗi con đường nối hai thành phố). Chứng minh rằng có thể chọn đường vành đai đi qua không quá 20 thành phố.

A. A. Razborov

M1169. Đặt $M$ là một điểm nằm bên trong hình chữ nhật $ABCD$, $S$ diện tích của nó. Chứng minh bất đẳng thức

$$S \leqslant AM \cdot CM + BM \cdot DM.$$

Tôi. Vâng. Goldsheid

M1170. Khoảng cách để phân chia một $n$-giác lồi đã cho thành các tam giác có các đường chéo rời nhau. Chúng ta hãy thực hiện phép biến đổi sau bằng cách tái cấu trúc: thay vì một số đường chéo $BC$, đóng vai trò là cạnh chung của hai tam giác $ABC$ và $BCD$ của phân vùng, chúng ta vẽ đường chéo $AD$ (hình 1). Chúng ta hãy biểu thị bằng $P(n)$ số lần sắp xếp lại nhỏ nhất mà sau đó bất kỳ phân vùng nào cũng có thể được chuyển đổi thành bất kỳ phân vùng nào khác. Chứng minh điểm số của bạn:

a) $P(n) \geqslant n-3$,
b) $P(n) \leqslant 2n-7$,
b)* $P(n) \leqslant 2n-10$ tại $n \geqslant 13$.

D. V. Fomin

F1173. Một đoàn tàu đồ chơi dài, được tạo thành từ một số lượng lớn ô tô, di chuyển với tốc độ không đổi dọc theo đường ray nằm ngang, rồi đi vào “vòng chết” (hình 2). Chiều dài đoàn tàu $L$, bán kính vòng lặp $R$ ($R$ lớn hơn đáng kể so với kích thước của ô tô, nhưng $L > 2\pi R$). Hỏi vận tốc ban đầu của đoàn tàu sẽ vượt qua chướng ngại vật là bao nhiêu để trong quá trình chuyển động không có một toa xe nào dừng lại trên đường ray?

A. I. Buzdin

F1174. Trong một khối nước sốt có thể tích $V=1$ lít có $m=0,01$ g gel ở nhiệt độ $T=300$ K. Hãy quan sát một trong các phân tử. Cô ấy đạt được đỉnh của bức tường nước sốt trong $t=1$ phút bao nhiêu lần?

A. R. Zilberman

F1175. UFO bay trên Trái đất với tốc độ không đổi, rất cao $v$. Tốc độ mà các thiết bị mặt đất của trạm sẽ ghi lại vào thời điểm đó là bao nhiêu?