Khó bài toán

17

Tradina bài toán có lịch sử lâu đời, kéo dài ba thế kỷ rưỡi. Bạn có thể hình thành nó như thế này:

Một viên đạn bắn ra từ ordium sẽ rơi theo phương thẳng đứng ở đâu? Vận tốc ban đầu của đạn và vĩ độ địa lý của vị trí đã được biết. Bạn đã đồng ý rằng chuyển động của đạn sẽ bị ảnh hưởng bởi chuyển động quay của Trái đất. Những người hiểu rõ hơn về vật lý cũng sẽ nhớ đến lực Coriolis. Nhưng hãy quay lại câu chuyện bài toán.

Nửa thế kỷ trước khi cuốn Principia của Isaac Newton được xuất bản, nhà khoa học người Pháp M. Mersenne (1588-1648) đã quyết định giải quyết vấn đề này bài toán bằng thực nghiệm. Phải nói rằng đối với Mersenne, trải nghiệm như vậy không phải là niềm vui “thể thao” mà là một nỗ lực để thử nghiệm một thử nghiệm “thế giới quan”. Mersenne là một người rất ngưỡng mộ Galileo, truyền bá ý tưởng của ông ở Pháp. Theo Mersenne, kết quả của thí nghiệm pháo sẽ xác nhận sự quay của Trái đất.

Để thực hiện thí nghiệm theo kế hoạch, Mersenne đã tuyển dụng kỹ sư quân sự M. Petit. Họ gắn một khẩu đại bác thẳng đứng và bắn nhiều phát. Hình ảnh hiển thị ở đây, lấy từ cuốn sách “Bài giảng về nguyên nhân của sự nặng nề” (1690) của P. Varignon, mô tả Mersenne (trong trang phục của một tu sĩ) và Petit, đang chờ đợi, như dòng chữ ở trên cùng nói, “liệu ​​họ có rơi lại không?”

Các thí nghiệm của Mersenne và Petit đã kết thúc không thành công: họ thậm chí không thể tìm thấy những quả đạn mà họ đã bắn ra, mặc dù theo tính toán, những quả đạn sau lẽ ra đã rơi cách khẩu pháo vài mét.

Vào cuối thế kỷ 19, bài toán này đã thu hút sự chú ý của nhà thiên văn học và nhà phổ biến nổi tiếng người Pháp C. Flammarin (1842-1925). Làm quen với cuốn sách của P. Varignon và đã tái hiện trong cuốn “Thiên văn học” của ông những gì chúng ta đã biết

Khắc từ cuốn sách của P. Varignon (1690), lại mô tả M. Mersenne và M. Petit.

18

khắc, ông đưa ra những điều sau lời giải bài toán: “Nếu bạn bắn từ một khẩu đại bác, nhắm thẳng lên trên, về phía thiên đỉnh, thì viên đạn đại bác sẽ lại rơi vào họng súng, mặc dù trong quá trình lên và xuống thấp, khẩu đại bác sẽ di chuyển cùng với Trái đất về phía đông. Lý do rất rõ ràng. Lõi, hướng lên trên, không mất đi tốc độ nào do chuyển động của Trái đất truyền cho nó. Hai cú sốc mà nó nhận được không đối ngược nhau: nó có thể di chuyển một quãng đường km lên trên và đồng thời di chuyển 6 km về phía đông. Chuyển động của nó trong không gian sẽ xảy ra dọc theo đường chéo của hình bình hành, một cạnh là 1 km, cạnh kia là 6 km. Hướng xuống dưới, dưới tác dụng của trọng lực, nó sẽ di chuyển dọc theo một đường chéo khác (hay đúng hơn là dọc theo một đường cong, do chuyển động được tăng tốc) và sẽ lại rơi vào họng súng vẫn ở vị trí thẳng đứng.

Flammarin viết thêm về những khó khăn khi thiết lập một thí nghiệm như vậy, nhớ lại những nỗ lực không thành công của Mersenne và Petit…

Ba thập kỷ sau, độc giả Liên Xô đã biết về bài toán này từ cuốn sách của nhà phổ biến khoa học tuyệt vời của chúng ta Ya. I. Perelman “Thiên văn học giải trí”. Ấn bản đầu tiên của cuốn sách được xuất bản vào năm 1929. Trong đó có nội dung như sau: “Một viên đạn bắn lên từ một khẩu pháo gắn trên đường xích đạo sẽ rơi ở đâu? bài toán này gần đây đã được thảo luận trên một tạp chí của Đức liên quan đến một viên đạn tưởng tượng được bắn theo phương thẳng đứng với tốc độ 8000 m/s trong giây đầu tiên; viên đạn này sẽ đạt độ cao 6400 km (bán kính Trái Đất) trong 70 phút *). Đây là nội dung của tạp chí viết: “Nếu một viên đạn được bắn đáp trả hướng lên trên xích đạo thì khi rời nòng súng nó cũng có vận tốc vòng tròn hướng về phía đông (465 m/s). Với tốc độ này, đạn sẽ được vận chuyển song song với đường xích đạo. Một điểm ở độ cao 6400 km, nằm ở thời điểm gặp sách.” Perelman hoàn toàn đúng, nhưng đơn giản là anh ấy đã không may mắn khi cố gắng đưa ra lời giải của riêng mình.

Trong ấn bản đầu tiên của cuốn sách, Perelman quyết định bài toán Vì thế. Do Trái Đất tự quay nên khi bắn ra một viên đạn có thành phần vận tốc so với tâm Trái Đất, hướng tiếp tuyến với bề mặt Trái Đất và bằng 465 m/s (nhớ rằng theo điều kiện bài toán vấn đề sẽ diễn ra ở xích đạo). Vì lý do này, trong 70 phút, viên đạn sẽ di chuyển về phía đông dọc theo tiếp tuyến một khoảng (70 × 60 × 465) m = 1950 000 m = 1950 km. Từ tâm Trái đất, đoạn này sẽ được nhìn thấy ở một góc có tiếp tuyến bằng tỷ lệ giữa chiều dài 1950 km và bán kính Trái đất. Dễ dàng tính được góc này là 16°57’. Trong thời gian đó, pháo sẽ di chuyển về phía Đông một góc (360·70/27·60)° = 17°30′,

19

t. đ. vận hành viên đạn (theo chiều góc) ở tốc độ 33′. Điều này tương ứng với khoảng cách trên bề mặt Trái đất là $\frac{2 \cdot 3,14 \cdot 6400 \cdot 33}{360 \cdot 60}$ km ≈ 60 km (do tính toán không chính xác, Ya. I. Perelman thu được góc 46′ và khoảng cách là 80 km).

Than ôi, lời giải này cũng không chính xác. Các chuyên gia đã thu hút sự chú ý đến lỗi của Ya. I. Perelman, và trong ấn bản thứ hai (1935), ông đưa ra một cái mới (thứ tư liên tiếp) lời giải bài toán:

“Bài toán, thật không may, không thể giải được bằng toán học cơ bản. Vì mục đích này, cần phải chuyên môn hóa phép tính, mà theo nghiên cứu của tôi, được thực hiện bởi nhà vật lý nổi tiếng Leningrad, Giáo sư M.P. Bronstein.*) Tôi không thể đi sâu vào chi tiết của phép tính này ở đây. Vì vậy, tôi sẽ hạn chế trình bày ở đây kết quả cuối cùng.

Nếu chúng ta biểu thị vận tốc ban đầu của lõi bằng $v$, tốc độ góc quay của quả cầu bằng $\omega$ và gia tốc trọng trường bằng $g$, thì đối với khoảng cách $x$ của điểm va chạm của lõi về phía tây của súng, sẽ thu được các biểu thức sau:

ở xích đạo

$$x = \frac{4}{3} \omega \frac{v^3}{g^2},$$

(1)

và trên shipotefe $\varphi$

$$x = \frac{4}{3} \omega \frac{v^3}{g^2} \cos \varphi.$$

(2)»

Thay $\varphi = (2\pi/86164) c^{-1}$, $g=9,8$ m/s$^2$, cho các điều kiện bài toán của tạp chí Đức Perelman được 50 km, và cho thí nghiệm Mersenne và Petit ($v=300$ m/s, $\varphi=48^\circ$) 1,7 m.

Và đây Ya. I. Perelman không may mắn; cả hai giá trị này đều được anh ghi lại hơn 10 lần. Có lẽ, trong trường hợp đầu tiên, Ya.I., nhớ quãng đường đạt được là 80 km, đã mong đợi

*) Matvey Petrovich Bronstein (1906-1938), một nhà vật lý và vật lý thiên văn xuất sắc, thuộc nhóm L. D. Landu. Vyle bị đàn áp hợp pháp vào năm 1938. Trong các ấn bản tiếp theo của Ya. Cuốn sách của I. Perelm đề cập đến M. P. Bronstein đã bị loại bỏ.

lấy một con số gần đúng và… mắc phải một lỗi tính toán mà tôi chưa bao giờ phát hiện ra.

Sau cái chết của Ya. I. Perelman, một trong những độc giả “tỉ mỉ” đã quyết định kiểm tra lại các tính toán của mình và viết thư cho người biên tập cuốn sách cho P. G. Kulikovsky. Bắt đầu từ ấn bản thứ tám của cuốn sách (1956), cả hai con số đều được sửa: số thứ nhất là 520 km, số thứ hai là 18 m. Văn bản vẫn không thay đổi.

Các công thức loại (1) và (2) được tìm thấy trong các tác phẩm cổ điển của Gauss, trong các tác phẩm của Viện sĩ A. N. Krylov và trong một số khóa học về cơ học lý thuyết. Chúng được suy ra từ lời giải phương trình vi phân chuyển động của vật liệu của một điểm trong trường hấp dẫn của Trái đất.

Vì vậy, chúng ta có thể chấm dứt điều này? Đã tìm thấy cả lời giải? Ví dụ, với các thí nghiệm của Mersenne và Petit, đúng vậy: độ lệch thực tế của đạn phải xấp xỉ 18 mét về phía tây. Nhưng đối với ví dụ đầu tiên (với lệnh bắn một viên đạn với tốc độ 8000 m/s), điều này không thể nói được. Và đây là lý do tại sao.

Công thức (1) và (2) được suy ra với điều kiện tỷ lệ giữa chiều cao của đạn và bán kính Trái đất $h/R$ là nhỏ. Điều này đúng trong các thí nghiệm của Mersenne và Petit. Trên thực tế, họ có

$$h = \frac{v^2}{2g} \approx \frac{9 \cdot 10^4}{20} m=4,5 km,$$

nhỏ hơn bán kính Trái đất 1400 lần. Nhưng trong bài toán từ tạp chí Đức $h=R$, tức là $h/R=1$, và công thức (1) không phù hợp ở đây. Chúng ta phải tìm lại lời giải bài toán.

Quỹ đạo bay của bất kỳ vật thể nào trong trường hấp dẫn của Trái đất (nếu chúng ta bỏ qua lực cản của khí quyển) là một trong những phần hữu hạn - hình elip, parabol hoặc hyperbol. Hình dạng của quỹ đạo chỉ phụ thuộc vào tốc độ ban đầu của vật thể. Như trong ví dụ của chúng ta, nếu tốc độ ban đầu bằng tốc độ vũ trụ thứ nhất (8000 m/s), thì quỹ đạo là một hình elip, tốc độ nào lớn hơn sẽ bằng bán kính Trái đất. Thành công nhỏ được quyết định bởi sự chỉ đạo

20

gốc của tốc độ ban đầu.*) Hãy xem tốc độ thẳng đứng nhỏ truyền cho đạn khi phóng bằng bao nhiêu trong trường hợp của chúng ta; góc giữa tiếp tuyến với quỹ đạo (tại thời điểm chuyến bay bắt đầu) và đường thẳng đứng có thể được tìm thấy từ công thức

$$\sin \theta = \frac{465}{8000} = 0,058,$$

từ đâu $\theta = 3^\circ 20'$. Không khó để báo cáo rằng cả điểm phóng và điểm va chạm của đạn đều nằm gần các đầu của trục nhỏ của hình elip mà nó mô tả (xem hình trên trang 30). Khi đó, từ các tính chất hình học của hình elip, người ta có thể tìm ra độ lệch tâm của nó

$$e = \cos \theta = 0,9983$$

và nhận được một ít

$$b = a \sqrt{1-e^2} = 6378 \cdot 0,058 = 370 \text{ км.}$$

Do đó, đạn của chúng tôi sẽ bị cuốn về phía đông $2b = 740$ km trong suốt chuyến bay. Nhưng cùng lúc đó, khẩu pháo sẽ bị cuốn về phía đông 1950 km. Điều này có nghĩa là đạn sẽ lệch 1210 km về phía Tây so với bãi phóng.

Chúng tôi đã nhận được một cái mới, đã là cái thứ sáu lời giải bài toán. Đây là điều cuối cùng.

Để kết luận, chúng ta hãy phân tích nguyên nhân gây ra lỗi của lời giải trước đó. Hãy bắt đầu với thử nghiệm không thành công lời giải của Mersenne và Petit. Lời giải thích đơn giản nhất cho sự thất bại của họ là cho rằng nòng súng không hoàn toàn thẳng đứng. Có lẽ nó đã như vậy. Nhưng Mersenne là một nhà thí nghiệm khá có kinh nghiệm và khó có khả năng độ lệch của thân cây là lớn. Và các ước tính được tính toán đưa ra, với độ lệch $1^\circ$, độ phân tán của một viên đạn tiếp theo không quá 300 m. Lính pháo binh biết rằng khi bắn vào các mục tiêu ở xa, hình elip phân tán (tức là khu vực mà đạn chủ yếu bắn trúng) được xác định bởi

được chia sẻ không chỉ bởi tính chính xác của việc cài đặt ordiya. Chuyển động quay của đạn, một số sự bất đối xứng về hình dạng và sự phân bổ khối lượng của nó, và tất nhiên, các lực azo động lực tác dụng lên đạn đang bay có thể ảnh hưởng đáng kể đến đường bay. Vì vậy thất bại của Mersenne và Petit là điều khá tự nhiên.

Lời giải Flamataron sẽ đúng nếu Trái đất phẳng, trường hấp dẫn đồng đều và khẩu pháo sẽ chuyển động dọc theo Trái đất về phía trước. Sau đó, cốt lõi của thực tế sẽ rơi thẳng vào miệng của bục giảng. lời giải này không tính đến độ cầu của Trái đất hoặc sự thay đổi gia tốc độ thẳng của nó theo khoảng cách.

Trong tạp chí lời giải của Đức, chỉ có thời gian bay của đạn được tính toán chính xác. Thời gian nó quay hoàn toàn quanh tâm Trái đất (với tốc độ ban đầu bằng tốc độ vũ trụ thứ nhất) là $T = 84$ phút 20 s, và thời gian từ khi phóng đến khi rơi, theo định luật thứ hai của Kepler, bằng

$$T_1 = T \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \right) = 69 \text{ мин}$$

(diện tích của hình elip, được mô tả bằng vectơ bán kính của viên đạn theo thời gian $T_1$, là tổng của tam giác phẳng $OAB$, bằng $2ab/2$ và diện tích của hình bán elip $ACB$, bằng $lab/2$ (xem hình trên trang 30); từ tỷ lệ của diện tích này với diện tích của hình elip $lab$ ta được công thức viết ở trên). Các phép tính còn lại trong tạp chí của Đức có một lỗi tính toán nghiêm trọng. Trong 70 phút, khẩu pháo sẽ di chuyển 1950 km về phía Đông, và để quả đạn rơi cách nó 4000 km về phía Tây thì ngay từ đầu nó phải di chuyển về phía Tây, điều này không thể xảy ra được.

Vâng. I. Phép tính đầu tiên của Perelman hoàn toàn mang tính động học; nó không tính đến sự thay đổi gia tốc rơi tự do theo khoảng cách tính từ tâm Trái đất.

(*) Trong trường hợp đặc biệt là phóng theo phương ngang, đây sẽ là hình tròn có bán kính bằng bán kính Trái Đất.