Một lần nữa về tỷ lệ vàng

75

Giả sử tỷ lệ trung bình của các ca bệnh thực tế, hãy tính xác suất để ít nhất một trong các tiểu vùng có ít nhất 4 ca bệnh ở mức $n=225$. Lặp lại các phép tính cho $n=23900$ (con số mô tả toàn bộ nước Anh và xứ Wales). Giải thích ý nghĩa của 4 trường hợp được tìm thấy ở khu vực bầu cử $S_1$.

Nhóm G

13. Chứng minh các bất đẳng thức sau $(x, y$ và $z$ là các số thực dương tùy ý):
    a) $x^2+y^2+z^2\geqslant xy+yz+zx$;
    b) $\min(1, x^3, y^4, z^5)\leqslant xyz$, trong đó $\min(a_1,a_2,...,a_n)$ có nghĩa là số nhỏ nhất trong các số $a_1, a_2,...,a_n$;
    b) $x\ln x\geqslant -e^{-1}$.
14. a) Hàm $f(x)$ bằng 1 cho $0\leqslant x\leqslant 1$, bằng 1/2 cho $1<x\leqslant 2$ và thường bằng 1/n cho $n-1<x\leqslant n$, $n=3,4,...$. Xây dựng đồ thị của hàm số $f(x)$ tại $x\geqslant 0$ và $y=\frac{1}{x}$ tại $x>0$ trên một bản vẽ.
    6)*) Nhận được từ các đồ thị
    $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{m}\leqslant \ln m$$ đối với số nguyên $m\geqslant 2$.
    b) Chứng minh tương tự rằng
    $$\ln m\leqslant 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{m-1}$$ đối với số nguyên $m\geqslant 2$.
    d) Thay 1/x bằng hàm số khác và dùng phương pháp tương tự để chứng minh
    *) So sánh với giải pháp bài toán M1110 («Kvant» Số 11-12, 1988).

Một lần nữa về tỷ lệ vàng

Tỷ lệ vàng là số $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Con số này từ lâu đã không chỉ được các nhà toán học mà còn cả các nghệ sĩ, nhà điêu khắc và kiến ​​trúc sư quan tâm. Người ta tin rằng tỷ lệ của một người phức tạp tốt phải tuân theo tỷ lệ vàng.

Nếu một nhóm người được yêu cầu lựa chọn những hình hài hòa nhất từ ​​một tập hợp lớn các hình chữ nhật, thì đa số sẽ chọn hình có các cạnh liên quan là $\varphi$.

Có hai công thức màu đỏ được biết đến cho tỷ lệ vàng:
$$\varphi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}};$$
$$\varphi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\dots}}}.$$

Độc giả của chúng tôi A.M. và V.M. Solomin từ Kyiv đưa ra thêm hai công thức mà chúng tôi đề xuất để chứng minh cho bạn:
$$\varphi=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\dots}}};$$
$$\varphi=2-\frac{1}{2+\frac{1}{2-\frac{1}{2+\dots}}}.$$

77

với hệ số phục hồi piston và trần $k=0,8$.

5. “Hành tinh”. Kích thước tối đa của một hành tinh hình khối là bao nhiêu?

6. “Bốc hơi - ngưng tụ.” Có nước đựng trong ống thủy tinh kín hình chữ U (hình 2).

Hình 2.

Nếu ban đầu bạn thiết lập một mức chênh lệch nhất định $H$ ở các khuỷu ống thì theo thời gian mực nước trong các khuỷu ống sẽ bằng nhau. Ước tính tốc độ thăng cấp đã cho $H$ và nhiệt độ $T=\text{const}$.

a) Không có không khí trong ống.

6. Ống chứa nước ở áp suất bình thường.

7. “Xi lanh trong một đường ống.” Trong một ống dài chứa đầy nước, một hình trụ (hình 3) chuyển động với vận tốc không đổi về phía đầu kín.

Hình 3.

Đường kính trong của ống là $D$, đường kính của hình trụ là $d$, chiều dài của hình trụ là $L$, $D-d=h$, $L>D$, $h \ll D$. Lực cản chuyển động của hình trụ phụ thuộc vào tốc độ của hình trụ như thế nào? So sánh các ước tính lý thuyết với kết quả thực nghiệm.

8. “Bánh xe của Segner”. Một bánh xe Segner đặt trong nước quay do phản lực của các tia phun ra từ muối. Liệu bánh xe cũng quay theo chiều ngược lại, tức là nước không chảy ra mà chảy vào (bị hút vào) trong muối rừng?

Chúng tôi khuyên bạn nên tham khảo cuốn sách “Tất nhiên là bạn đang nói đùa rồi, Master Feynman!” (Bản dịch một phần tạp chí “Khoa học và Đời sống”, 1986, số 12).

9. “Bánh xe Franklin” Sự quay của một chong chóng kim loại có điểm trong thí nghiệm “bánh xe Franklin” nổi tiếng được giải thích là do “gió điện”. Giải thích tại sao bàn xoay này quay nếu nó được đặt giữa các bản tụ điện phẳng và tụ điện được tích điện từ máy điện di. Liệu một đĩa điện môi được đặt cùng nhau trên một bánh xe Franklin giữa các bản của một tụ điện phẳng được tích điện từ máy điện di có quay không?

10. “Điện”. 150 năm trước M. Faraday đã đề xuất các thiết bị điện như chất tương tự tĩnh điện của nam châm vĩnh cửu. Tạo một electret và sử dụng các thuộc tính của nó.

11. “Màu sắc của mây.” Tukia thiên đường, những người hành hương vĩnh cửu! Bia xanh, toàn bộ trụ sắt sắt từ tốc độ của trụ? So sánh các ước tính lý thuyết với kết quả thực nghiệm.

12. “Biên giới của đám mây.” Ranh giới đám mây quan sát được thường được đánh giá một cách rõ ràng. Nó đặc biệt tốt khi nhìn từ máy bay. Đánh giá độ “làm mờ” của ranh giới đám mây.

13. “Đám mây của các phi hành gia” (ảo mộng mang ý nghĩa vật lý). Một số lượng lớn các phi hành gia tạo thành một “đám mây phi hành gia” ở ngoài vũ trụ. Ban đầu, mỗi người trong số họ mang một quả bóng đá. Từ một thời điểm nhất định, vũ trụ bắt đầu ném những quả bóng này với nhau (đồng thời không làm mất một quả bóng nào). Mô tả sự tiến hóa của “đám mây phi hành gia”. Không muốn giới hạn trí tưởng tượng của bạn, chúng tôi cho bạn lựa chọn các điều kiện tiền mặt, quy tắc chuyển bóng và các thông số “đám mây” khác. Chỉ có điều sau đây là quan trọng: việc lựa chọn mô hình phải hợp lý về mặt logic; kết luận phải được hỗ trợ bởi các ước tính định lượng; số lượng tùy chọn được mô tả cho bạn không được nhiều hơn hai.

14. “Phân dạng?” Bà ngoại cuộn sợi chỉ sáu mảnh thành một quả cầu hình cầu. Khối lượng của quả bóng phụ thuộc vào đường kính của nó như thế nào?

15. “Ánh sáng trong đường ống.” Nhìn ánh sáng qua một ống thủy tinh (đường kính ống ≈ 5 mm, chiều dài ≈ 25 cm). Giải thích nguồn gốc của các bánh xe quan sát được.

16. “Sự can thiệp”. Lấy hai tấm nhựa ảnh thủy tinh tốt (9x12 cm), được rửa sạch bằng nhũ tương. Nếu chúng bị ép chặt vào nhau (cọ xát), thì có thể nhìn thấy các vân giao thoa trong ánh sáng phản xạ. Nếu bạn đặt các đầu lên bàn và ấn ngón tay vào giữa tấm trên cùng thì hãy cất loại bánh xe đồng tâm đó đi. Nếu bạn tháo ngón tay ra, những chiếc nhẫn sẽ bắt đầu “phân tán”. Hãy thực hiện trải nghiệm này và những hiện tượng có thể quan sát được. Ước tính tốc độ cất cánh lý thuyết