[Tổng quát hóa một danh tính]

70

và có sức mạnh cơ học:

$$P_M = P_{\text{от}} - P_T = IU - I^2R.$$

Hiệu suất của động cơ theo định nghĩa bằng tỷ số giữa công suất cơ và công suất tiêu thụ từ nguồn:

$$\eta = \frac{P_M}{P_{\text{от}}} = \frac{IU - I^2R}{IU} = 1 - \frac{IR}{U}.$$

Như bạn có thể thấy, công suất nhiệt tăng khi dòng điện tăng theo định luật bậc hai, công suất mà động cơ nhận được từ nguồn tăng theo định luật tuyến tính và hiệu suất giảm khi dòng điện tăng - công suất tổn thất nhiệt trong cuộn dây tăng. Tiến hành lập luận về công suất cơ tương tự như các lập luận được thực hiện trong bài toán 2 cho $P_{\text{вн}}$, chúng ta kết luận rằng có một giá trị dòng điện nhất định mà tại đó $P_M$ là cực đại. Vi phân biểu thức của $P_M$ đối với dòng điện và cho đạo hàm bằng 0, chúng ta thấy rằng cường độ dòng điện này bằng $U/(2R)$.

Từ các biểu đồ hiển thị trên hình 6, rõ ràng là khi dòng điện tăng, công suất cơ lúc đầu lớn hơn nhiệt năng, sau đó nhỏ hơn.

Chứng minh cũng

$$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1.$$

Độc giả của chúng tôi A.M. Kolesnikov từ vùng Rostov sẽ đưa ra một khái quát về bài toán này, đúng với mọi $s \geq 1$:

$$\sum_{k=1}^{n} (k!)^s ((k+1)^s - 1) = ((n+1)!)^s - 1.$$

Chúng tôi mời bạn chứng minh công thức tuyệt vời này.

72

6. Chứng minh rằng $R_{-\theta} = (R_0)^{-1}$.
7. Cho $n$ là một số tự nhiên. Chứng minh rằng $R_0^n = J$ khi và chỉ khi $\theta = 2\pi m/n$, trong đó $m$ là số nguyên.
8. Đặt $\theta = 2\pi/n$, trong đó $n$ là số tự nhiên và $R_\psi = A^{-1}R_0A$ đối với ma trận nào đó $A$. Chứng minh rằng $\varphi = 2\pi k/n$, trong đó $k$ là số nguyên.

9. Đặt $z \neq 1$ là số dương và $w = \frac{z+1}{z-1}$.
10. Đặt $m(a)$ là giá trị nhỏ nhất của hàm $f(x) = x^2 - 2a(x-2) - 4a^2$ trên khoảng $0 \leq x \leq 1$, trong đó $a$ là số thực tùy ý. Tìm $m(a)$ và vẽ đồ thị hàm số này. Tìm giá trị lớn nhất của $m(a)$.
11. Đặt $J(a) = \int_0^\infty \frac{e^{-ax}}{1+x} dx$, trong đó $a > 0$. Sử dụng tích phân từng phần (hoặc cách khác), chứng minh rằng với mọi số nguyên $N \geqslant 0$
12. Hãy để $J(a) = \sum_{r=0}^{N} \frac{(-1)^r r!}{a^{r+1}} + \frac{(-1)^{N+1}(N+1)!}{a^{N+1}} \int_0^\infty \frac{e^{-ax}}{(1+x)^{N+2}} dx$.
    Từ đây bạn sẽ có được ước tính
    $$\frac{93}{648} < J(6) < \frac{95}{648}.$$
13. Kiểm tra xem hàm $y = e^{2x}$ có phải là nghiệm của phương trình vi phân không
    $$(x+2)\frac{d^2y}{dx^2} - (2x+5)\frac{dy}{dx} + 2y = 0.$$ ()
    Chứng minh rằng phép thế $y = ue^{2x}$, trong đó $u$ là hàm của $x$, dẫn đến một phương trình vi phân cho hàm $w = du/dx$. Giải phương trình này cho $w$ và thu được hệ quả tất yếu là phương trình tổng quát lời giải ().
    Tìm lời giải (*) thỏa mãn điều kiện $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$.
14. Chứng minh bằng cách sử dụng đồ thị rằng phương trình $x = tg x$ có dãy vô hạn các số dương lời giải $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$, trong đó $\pi n < \alpha_n < \pi n + \pi/2$.
    Sau đó chứng minh, cũng bằng cách sử dụng đồ thị, rằng phương trình
    $$\sin x = ax, x > 0,$$
    không có lời giải tại $a > 1$, có một lời giải tại $\cos \alpha_2 < a < 1$, có $2n-1$ lời giải tại $\cos \alpha_{2n} < a < \cos \alpha_{2(n-1)}$ (tại $n > 1$).
    Toán II
    Gruna A
15. Trong tam giác $ABC$, điểm $D$ trên $BC$ và $EA$ sao cho đường thẳng $AD$ vuông góc với $BC$ và đường thẳng $BE$ vuông góc với $AC$.
    Chứng minh rằng hai tam giác $ADC$ và $BEC$ đồng dạng.
    Để $BE$ cắt $AD$ tại $H$ và $CH$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh rằng $AE/EB = HE/EC$.
    Chứng minh rằng đường thẳng $CF$ vuông góc với $AB$.
    Đặt các điểm $X, Y, Z$ và $W$ là trung điểm của các đoạn $BH, AB, AC$ và $CH$. Chứng minh rằng

73

XY, AD và WZ song song. Chứng minh rằng YZ, XW và BC song song.

Chứng minh XYZW là hình chữ nhật.

2. Vòng tròn khoảng cách $C_1$, được xác định trong hệ tọa độ chữ nhật của phương trình $x^2 + y^2 - 2xsec b + 1 = 0$, trong đó $b$ là một số thực sao cho $0 < b < \pi/2$.

Tìm tâm $A_1$ và bán kính $r_1$ của đường tròn $C_1$.

Khoảng cách của đường thẳng $l$ đi qua gốc 0 và chạm vào đường tròn $C_1$ tại điểm $P$. Tìm độ dài của đoạn $OP$ và độ lớn của góc $POA_1$.

Khoảng cách khi đó là đường tròn $C_2$, được cho bởi phương trình $x^2 + y^2 - 2ytg a - 1 = 0$, trong đó $0 < a < \frac{\pi}{2}$.

Tìm tâm $A_2$ và bán kính $r_2$ của đường tròn $C_2$.

Biểu thị khoảng cách $A_1A_2$ theo $r_1$ và $r_2$.

Giả sử $C_1$ và $C_2$ cắt nhau tại điểm $R$ và $S$. Chứng minh rằng các góc $A_1RA_2$ và $A_1SA_2$ là góc vuông.

3. Khi các điểm $B, C, D$ khác nhau nằm trên mặt phẳng được xác định bởi các vectơ $b$, $\vec{c}$ và $\vec{d}$ có chung gốc $O$.

Chứng minh rằng $B, C$ và $D$ nằm trên cùng một đường thẳng khi và chỉ khi $\alpha \bar{b} + \mu \vec{c} + \vec{d} = 0$ với một số số $\alpha, \mu, v$ không bằng cùng một số và thỏa mãn điều kiện $\alpha + \mu + v = 0$.

Tiếp theo, chứng minh rằng điểm $B, C$ và $D$ nằm trên cùng một đường thẳng và điểm $D$ chia $BC$ theo tỷ lệ $\gamma: \beta$ khi và chỉ khi $\vec{d} = (\beta \bar{b} + \gamma \vec{c})(\beta + \gamma)^{-1}$.

Điểm thứ tư $A$ của mặt phẳng được xác định bởi vectơ $OA = \vec{a}$ có cùng gốc $O$ và không nằm trên đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng mọi điểm $P$ thuộc tam giác $ABC$ và nằm trên $AD$ đều cho bởi vectơ $\overline{OP} = \vec{p} = (\alpha \bar{a} + \beta \bar{b} + \gamma \vec{c})(\alpha + \beta + \gamma)^{-1}$,

trong đó $\alpha$ là một số dương.

Nếu điểm $Q$ tương ứng với vectơ $\vec{q} = OQ$ sao cho $\vec{q} = (-\alpha \bar{a} + \beta \bar{b} + \gamma \vec{c})(-\alpha + \beta + \gamma)^{-1}$,

thì điểm $Q$ nằm trên đường thẳng $AP$.

4. Cho $a$ và $c$ là số thực và $b$ là số phức sao cho $ac < bb$ ($\bar{b}$ là số, liên hợp phức của $c$ $b$).

Chứng minh rằng tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức $z = x + iy$ thỏa mãn điều kiện

$$az\bar{z} + \bar{b}z + b\bar{z} + c = 0,$$

là một đường tròn tại $a \neq 0$ và một đường thẳng tại $a = 0$.

Trong trường hợp $a = 0$, chứng minh rằng nếu đường thẳng tiếp tuyến với đường tròn đơn vị $zz = 1$ thì $b$ và $c$ thỏa mãn điều kiện tương ứng $c^2 = ub\bar{b}$.

Chứng minh rằng dưới phép biến đổi

$$z \rightarrow w = \frac{1}{\bar{z}}$$

a) các điểm của đường tròn đơn vị cố định;

b) một đường thẳng cho bởi phương trình $\bar{b}z + b\bar{z} + c = 0$ và tiếp xúc với đường tròn đơn vị,

được biến đổi thành đường tròn đi qua gốc tọa độ. Bán kính của vòng tròn này là gì?

Nhóm B

5. Một chiếc thang nhẹ có chiều dài $l$ tựa vào tường một góc $\theta$ so với phương thẳng đứng.

Một người nặng $W$ đứng trên một cái thang ở độ cao $Y$ so với sàn nhà.

Chứng minh rằng tại thời điểm thang bắt đầu trượt thì phản lực pháp tuyến $R_1$ và $R_2$ của sàn và tường bằng phản lực tương ứng.

$$R_1 = \frac{W}{1 + \mu_1\mu_2}; R_2 = \frac{\mu_1W}{1 + \mu_1\mu_2},$$

trong đó $\mu_1$ và $\mu_2$ lần lượt là hệ số ma sát của thang trên sân và tường.

Chứng minh rằng thang chỉ trượt nếu

$$Y > \frac{\mu_1l\cos \theta(\mu_2 + \text{ctg} \theta)}{1 + \mu_1\mu_2}.$$

Từ đây chứng tỏ rằng một người có thể leo lên đến đỉnh của thang nếu

$$\text{tg} \theta < \mu_1.$$

6. Một vận động viên quần vợt nằm ở điểm $x = 0$ trên trục $Ox$ ném bóng vào tường vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x = X$. Hãy để anh ta, với cú đánh thứ $n$, đưa bóng từ độ cao $h_n$ với tốc độ $v_n$ theo góc $\theta$ tới đường chân trời. Ở độ cao nào phía trên trục $Ox$ quả bóng sẽ chạm vào tường (lực cản của không khí)? Khi phản xạ từ bức tường, thành phần thẳng đứng của vận tốc của quả bóng không thay đổi, nhưng thành phần nằm ngang được nhân với hệ số phục hồi $e$. Chứng minh rằng độ cao $h_{n+1}$ mà quả bóng chạm tới khi quay trở lại tay vợt thỏa mãn các điều kiện tương ứng.

Chứng minh rằng một vận động viên quần vợt có thể duy trì “chế độ đứng yên” (tức là $h_{n+1} = h_n$ với tất cả $n$) nếu anh ta gửi bóng với tốc độ

$$v = (g(1 + e)X/esin 2\theta)^{1/2}.$$

7. Một hạt có khối lượng $m$ được gắn bằng một sợi dây đàn hồi nhẹ có độ cứng $\alpha$ và chiều dài $a$ với một phần khác có khối lượng $M$. Tại thời điểm ban đầu, cả hai phần đều có khối lượng tại một điểm $O$. Một hạt có khối lượng $m$ được ném với tốc độ $v$ và một hạt có khối lượng $M$ được thả ra. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là khoảng cách từ phần thứ nhất và phần thứ hai đến điểm $O$ tại thời điểm $t$. Chứng minh rằng khoảng cách giữa các hạt sẽ bằng $a$ sau thời gian $a/v$; tìm vị trí của các hạt và tốc độ của chúng tại thời điểm này. Chứng minh rằng với $x - y > a$, $x$ và $y$ thỏa mãn hệ phương trình

$$\frac{d^2x}{dt^2} = g - \frac{\alpha}{ma}(x - y - a),$$