Dây chuyền

40

Dây chuyền

Chúng ta thấy những sợi dây xích ở khắp mọi nơi: một sợi xích mỏ neo, một sợi xích lớn, một sợi dây chuyền quanh cổ một cô gái và… một con chó. Mặc dù các chuỗi này không giống nhau lắm nhưng nguyên tắc thì giống nhau: mỗi mắt xích tiếp theo sẽ bám vào mắt xích trước đó.

Tuy nhiên, G. Leibniz,

được gọi là “cosine hyperbol” (“sin hyperbol” là hàm $y = \text{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$).

Chúng ta hãy nhớ về những địa điểm có dây chuyền, sàn của chúng được treo bằng dây xích, chẳng hạn như Cầu Crimean ở Moscow. Bạn có nghĩ rằng các dây xích ở đây được sắp xếp dọc theo một đường dây xích không? Hóa ra - không, lần này nó là một parabol.

Nếu bạn nhấc dây xích lên mà không kéo, nó sẽ kéo dài theo một đường cong nhất định gọi là “đường dây xích”. Galileo cũng quan tâm tới đường cong này. Từ tính toán của ông (1638), hóa ra đường cong này là một parabol.

J. Bernoulli và

Kiến thức về công thức dây xích là cần thiết để tính toán cách đi dây của đường dây điện, vì các dây giữa các giá đỡ cũng có dạng đường dây xích.

H. Heugens cũng bác bỏ nhận định này. Hóa ra đường cong này mô tả công thức $y = a \frac{e^x + e^{-x}}{2}$; nó được gọi là “dòng dây xích” và hàm xác định nó là $y = a \text{ch} \frac{x}{a}$

Một đặc tính thú vị là bề mặt được hình thành do sự quay của một đường dây quanh trục hoành. Bề mặt như vậy được hình thành bởi một màng xà phòng trải dài trên hai vòng, tâm của chúng nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng của các vòng này. Nó được gọi là cathenode. Trong số tất cả các bề mặt trải dài trên các vòng như vậy nằm cách nhau một khoảng ngắn, nó có diện tích nhỏ nhất.

41

Nguyên tắc “bám” phần tử tiếp theo vào phần tử trước thường gặp trong toán học, chẳng hạn như trong “phân số tiếp theo”. Bất kỳ phân số dương nào cũng có thể được viết và theo một cách duy nhất dưới dạng:

$$\frac{p}{q} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \dots + \frac{1}{a_n}}},$$

trong đó các số $a_1, a_2, \dots, a_n$ là số tự nhiên và $a_0$ là số nguyên không âm. Ví dụ,

$$\frac{13}{7} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6}};$$

$$\frac{22}{7} = 3 + \frac{1}{7},$$

$$\frac{355}{113} = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{16}}.$$

Tất cả các số vô tỷ cũng được biểu diễn dưới dạng phân số nguyên. Vì thế,

$$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}$$

$$\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}$$

$$\pi = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1 + \dots}}}.$$

Các phân số nguyên rút gọn cho $22/7 = 3,1428$… và $355/113 = 3,1415929$… thu được bằng cách “cắt bỏ” phân số nguyên cho số l. Điều thú vị là các phân số thông thường, thu được bằng cách “cắt bỏ” toàn bộ phân số của một số cho trước,

Chúng là những giá trị gần đúng tốt nhất trong số tất cả các phân số có mẫu số không lớn hơn mẫu số thu được.

Khái niệm về chuỗi được giới thiệu trong lý thuyết đồ thị. Đồ thị là một tập hợp các điểm (đỉnh), một số điểm được kết nối bằng các đoạn (cạnh). Ví dụ,

$$\frac{13}{7} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6}};$$

$$\frac{22}{7} = 3 + \frac{1}{7},$$

$$\frac{355}{113} = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{16}}.$$

Sơ đồ đường sắt. Chuỗi trên biểu đồ là một chuỗi bị đứt, được tạo thành từ các cạnh của nó.

Chuỗi Euler là chuỗi chạy dọc theo tất cả các cạnh của đồ thị. Sự vắng mặt của chuỗi như vậy trong biểu đồ được mô tả ở hình,

các đỉnh của đồ thị, mỗi lần một lần. Không giống như chuỗi Euler, vẫn chưa có một tiêu chí đơn giản nào để xác định xem chuỗi Hazelton có tồn tại trên một đồ thị nhất định hay không.

Ngày xưa tiền không phổ biến như bây giờ. Và ở dạng toán học có rất nhiều bài toán liên quan đến việc thanh toán dịch vụ bằng các mắt xích của chuỗi vàng. Ví dụ, cũng có. Chàng trai trẻ định cư trong một sân cố định trong 31 ngày và đồng ý với chủ sở hữu trả tiền thường trú hàng ngày cho một mắt xích trong sợi dây chuyền vàng gồm 31 mắt xích mà anh ta đeo quanh cổ. Hỏi anh ta phải tháo bao nhiêu mắt xích nhỏ nhất để có thể nằm thẳng? Khi trả tiền, anh ta có thể lấy đi các liên kết dữ liệu từ chủ sở hữu, thay thế chúng bằng những liên kết khác. Tất nhiên, bài toán này đề cập đến chuỗi chung. Nhưng bạn có thể liên kết các liên kết của chuỗi theo cách (xem hình) khi một liên kết được kéo ra thì tất cả các liên kết khác sẽ được giải phóng.