[Gửi độc giả tạp chí]

57

đi qua một điểm. Chứng minh rằng điểm này là trực giao của một tam giác có các đỉnh tại giao điểm thứ hai của các đường tròn này.

Lời giải. Gọi $H$ là điểm chung của ba đường tròn, $A, B$ và $C$ là điểm thứ hai của giao điểm theo cặp của chúng (hình 8). Vì đường tròn đi qua $B, C$ và $H$ đối xứng với đường tròn ngoại tiếp $ABH$ nên nó chứa giao điểm của các đường cao của tam giác $ABH$. Tương tự, đường tròn đi qua các điểm $A, C, H$ chứa giao điểm các đường cao của tam giác $ABH$. Do đó, $C$ là giao điểm các đường cao của tam giác $ABH$.

Nhiệm vụ độc lập lời giải

1. Điểm $A, B, C$ và $D$ được cho trên mặt phẳng sao cho $\angle ABC = \angle ADC, \angle BCD = \angle BAD$. Tứ giác $ABCD$ có nhất thiết phải là hình bình hành không?

2. Cho một hình tam giác $ABC$. Tìm tất cả các điểm $M$ của mặt phẳng sao cho $ABM, BCM$ và $CAM$ là các tam giác bằng nhau.

3. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng $AA_1, BB_1$ và $CC_1$ ($A_1, B_1$ và $C_1$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC, CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$) cắt nhau tại một điểm và được chia tại điểm này theo cùng một tỷ lệ thì các đoạn thẳng này là các tam giác trung tuyến.

4. Bên trong hình vuông $ABCD$ một điểm $M$ được lấy sao cho $\angle MBD = \angle MDC = \alpha$. Tìm $\angle MAD$.

5. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng tùy ý đi qua một điểm cố định bên trong một tam giác cho trước chia chu vi và diện tích của nó thành những tỷ lệ bằng nhau thì điểm cố định đó là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đó.

6. Cho một tứ giác lồi $ABCD$. Các góc đã biết: $\angle BCA = 40^\circ, \angle BAC = 50^\circ, \angle BDA = 20^\circ, \angle BDC = 25^\circ$. Tìm góc giữa hai đường chéo của tứ giác này.

7. Gọi $M$ là một điểm tùy ý của mặt phẳng, $a, b, c$ các cạnh của tam giác $ABC$ ($BC = a, CA = b, AB = c$). Chứng minh rằng bất đẳng thức $aMA^2 + bMB^2 + cMC^2 \geq abc$ đúng. Đối với mỗi điểm trong mặt phẳng, sự đẳng thức có đúng không?

8. Cho một tam giác nhọn $ABC$. Tìm quỹ tích các điểm $M$ sao cho $\angle MAB = \angle MCB, \angle MAC = \angle MBC$.

Bạn đọc thân mến!

Nghiêm túc mà nói, chúng tôi một lần nữa kêu gọi bạn đưa ra yêu cầu: vui lòng bổ sung đăng ký hàng năm cho năm hiện tại.

Chúng ta hãy nhớ lại cái trước. Giấy phép tăng âm lượng «Kvant» (độc giả của chúng tôi liên tục yêu cầu mở rộng phạm vi của tạp chí) đã được nhận vào mùa thu năm ngoái, khi một số người đăng ký đã đăng ký. Các biên tập viên phải đối mặt với một tình thế tiến thoái lưỡng nan: hoặc đợi đến năm 1990, hoặc mạo hiểm và tăng số lượng đã có từ năm 1989. Tại sao lại phải mạo hiểm? Có, bởi vì với sự gia tăng về số lượng, chi phí giấy, công việc in ấn, phí tác giả và sự vắng mặt của Soyuzpechat cũng tăng lên. Theo đó, chi phí và giá thành của tạp chí sẽ tăng lên.

Tuy nhiên, bày tỏ sự tin tưởng đối với độc giả của mình, các biên tập viên không chỉ ra sự thất bại của phần bổ sung vì lý do kỹ thuật thuần túy - việc một số bưu điện từ chối chấp nhận phần bổ sung này. Theo suy nghĩ của độc giả thì có khá nhiều người hầu như vậy. Và điều này bất chấp thực tế là cơ quan Soyuzpechat đã không gửi chỉ thị liên quan nhiều lần (ví dụ: tin nhắn điện thoại số 1 ngày 3 tháng 4 năm 1989).

Các biên tập viên của tạp chí của chúng tôi và cơ quan Soyuzpechat mang đến cho người đọc «Kvant» việc loại trừ việc trích xuất để giao hàng miễn phí.

Một lần nữa chúng tôi yêu cầu một tin nhắn từ những độc giả đã đăng ký với mức giá 40 kopecks. mỗi phòng, đừng thử nhập phụ phí tương ứng - 5 kopecks. mỗi phòng. Khoản thanh toán bổ sung là tùy chọn tại một ngân hàng riêng biệt ở dạng SP-6 có ghi “Thanh toán bổ sung - «Kvant»”.

Ban biên tập tạp chí «Kvant» Azentstvo “Soyuzpechat”