Bài toán Olympic Toán học LII Moscow

73

$$\omega = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{3}} \sin \alpha\right).$$

Tôi hy vọng định lý ba xoang sẽ hữu ích cho các bạn trong việc chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh. Tóm lại, thêm một vài bài toán.

1. Chân của tam giác vuông đều nghiêng với mặt phẳng $\alpha$, đi qua cạnh huyền một góc $30^\circ$. Chứng minh rằng góc giữa mặt phẳng $\alpha$ và mặt phẳng của tam giác bằng $45^\circ$.

2. Cạnh $AB$ của hình thoi $ABCD$ có góc tù $120^\circ$ nằm trong một mặt phẳng nhất định $\tau$ tạo một góc $45^\circ$ với mặt phẳng của hình thoi. Diện tích của hình thoi là $72 - \sqrt{3} \text{ cm}^2$. Xác định khoảng cách từ cạnh $CD$ đến mặt phẳng $\tau$ và góc mà đường chéo chính của hình thoi tạo với cùng một mặt phẳng.

3. Đường thẳng $AB$ song song với mặt phẳng $\tau$. Đường thẳng $CD$ cắt đường thẳng $AB$ ở góc $\alpha$ và tạo thành góc $\varphi$ với mặt phẳng $\tau$. Xác định góc giữa mặt phẳng $\tau$ và mặt phẳng chứa các đường thẳng $AB$ và $CD$.

Hình 4.

4. Trong một tam giác vuông, một mặt phẳng được vẽ đi qua cung bic của góc vuông, tạo thành một góc $\alpha$ với mặt phẳng của tam giác. Mặt phẳng này tạo với các cạnh của tam giác những góc nào?

5. Tìm thể tích của một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $\alpha$ và tạo thành một góc $\alpha$ với mặt bên.

Sự miêu tả

Nhiệm vụ LII của Olympic Toán Moscow

lớp 7

1. Hình vuông được chia thành 16 ô bằng nhau. Đặt mỗi chữ cái $A, B, C, D$ vào các ô này bốn lần để không có chữ cái nào giống hệt nhau trên bất kỳ hàng ngang, dọc và hai đường chéo lớn nào.

2. Vẽ số đường thẳng nhỏ nhất (hình tròn và đường thẳng bằng compa và thước), dựng một đường thẳng đi qua một điểm cho trước song song với một đường thẳng cho trước.

3. Trong một căn phòng tối, 4 cặp mũi với hai kích cỡ khác nhau và hai màu sắc khác nhau nằm lộn xộn trên kệ. Hỏi số mũi nhỏ nhất phải chuyển từ kệ vào vali mà không rời khỏi phòng để có hai cặp kích cỡ và màu sắc khác nhau là bao nhiêu?

4. Khách du lịch rời địa điểm cắm trại trên thuyền kayak lúc 10:15 sáng với nghĩa vụ phải quay lại muộn nhất là 1 giờ chiều. cùng ngày. Được biết, vận tốc của sông là 1,4 km/h, vận tốc của ca nô khi nước lặng là 3 km/h. Khoảng cách tối đa mà một du khách có thể đi từ địa điểm cắm trại là bao nhiêu nếu cứ sau 30 phút chèo thuyền anh ta nghỉ 15 phút, không chạm vào bờ và chỉ có thể quay trở lại sau khi nghỉ ngơi?

5. Tìm tất cả các số tự nhiên $x$ thỏa mãn điều kiện sau: tích các chữ số của số $x$ bằng $4 \cdot x - 86868$ và tổng các chữ số là lập phương của số tự nhiên.

lớp 8

1. Giải phương trình
   $$(x^2 + x)^2 + \sqrt{x^2 - 1} = 0.$$

2. Một số ô của giấy ca rô vô hạn được sơn màu đỏ, số còn lại có màu trắng (không nhất thiết phải có họa tiết bàn cờ). Một con châu chấu bám trên các ô vuông màu đỏ, và màu xanh lam trên các ô vuông màu trắng, và mỗi chiếc khóa có thể được thực hiện ở bất kỳ khoảng cách nào theo chiều dọc hoặc chiều ngang. Chứng minh rằng châu chấu và bluexa có thể ở gần nhau bằng cách tạo tổng cộng không quá ba khóa.

3. Vẽ số đường thẳng ít nhất (hình tròn và đường thẳng dùng compa và thước kẻ), dựng đường vuông góc với một đường thẳng cho trước đi qua một điểm cho trước a) nằm ngoài đường thẳng này; 6) trên đó.

4. Tập hợp con $X$ có thể là các số “có hai chữ số” 00, 01, …, 98, 99 sao cho trong bất kỳ dãy vô hạn các chữ số nào cũng có hai chữ số đứng cạnh nhau và tạo thành các số từ $X$. Số lượng nhỏ nhất mà $X$ có ​​thể chứa là bao nhiêu?