Задачи LII Московской математической олимпиады

73

$$\omega = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{3}} \sin \alpha\right).$$

Надеюсь, что теорема о трех синуах окажется полезной вам при подготовке к вступительным экзаменам. В заключение — еще несколько задач.

1. Катет равноведренного прямоугольного треугольника наklonen к плоскости $\alpha$, проходящей через гипotenузу, под углом $30^\circ$. Доказите, что угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью треугольника равен $45^\circ$.

2. Сторона $AB$ ромба $ABCD$ с тупым углом $120^\circ$ лежит в некоторой плоскости $\tau$, составляющей с плоскостью ромба угол $45^\circ$. Площадь ромба равна $72 - \sqrt{3} \text{ cm}^2$. Определите расстояние от стороны $CD$ до плоскости $\tau$ и угол, который составляет большая диагональ ромба с этой же плоскостью.

3. Прямая $AB$ параллельна плоскости $\tau$. Прямая $CD$ пересекает прямую $AB$ под углом $\alpha$ и образует с плоскостью $\tau$ угол $\varphi$. Определите угол между плоскостью $\tau$ и плоскостью, в которой лежат прямые $AB$ и $CD$.

Рис. 4.

4. В прямоугольном треугольнике через bicсекториу прямого угла проведена плоскость, которая составляет с плоскостью треугольника угол $\alpha$. Какие углы эта плоскость составляет с катетами треугольника?

5. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которого равна $\alpha$ и образует с боковой гранию угол $\alpha$.

Описание

Задание LII Московской математической олимпiadы

7 класс

1. Квадрат расчерчен на 16 равных клеток. Каждый из буку $A, B, C, D$ расставьте в этих клетках по четыре раз таким образом, чтобы на любой горизонтали, любой вертикали и двух больших диагональных не было одинаковых букв.

2. Проведяя наименьшее количество линей (окружностей и прямых с помощью циркуля и линейки), построите прямую, проходящую через данную точку параллельно заданной прямой.

3. В темной комнате на полке в беспорядке лежат 4 пары носов двух разных размеров и двух разных цветов. Какое наименьшее число носов необходимо, не выходя из комнаты, переложить с полки в чемодан, чтобы в нем оказались две пары различного размера и цвета?

4. Турист выехал из турбазы на байдарке в 10 часов 15 минут с обязательством вернуться обратно не позднее 13 часов того же дня. Известно, что скорость реки 1,4 км/ч, скорость байдарки в стоячей воде 3 км/ч. На какое максимальное расстояние турист может отъехать от турбазы, если через каждые 30 минут гребли он 15 минут отдыхает, не причасти к берегу, и может повернуть назад только после отдыха?

5. Найдите все натуральные числа $x$, удовлетворяющие условиям: произведение цифр числа $x$ равно $4 \cdot x - 86868$, а сумма цифр является кубом натурального числа.

8 класс

1. Решите уравнение
   $$(x^2 + x)^2 + \sqrt{x^2 - 1} = 0.$$

2. Часть клеток бесконечной клетчатой бумаги покрашена в красный цвет, остальные — в белый (не обязательно в шахматном порядке). По красным клеткам прягает кузнечик, по белым — блюxa, причем каждай пряжок может быть сделан на любое расстояние по вертикали или горизонтали. Доказите, что кузнечик и блюxa могут оказаться рядом, сделав в общей сложности (в сумме) не более трех пряжков.

3. Проведяя наименьшее количество линей (окружностей и прямых с помощью циркуля и линейки), построите перpendикуляр к данной прямой, проходящей через данную точку a) вне этой прямой; 6) на ней.

4. Подмножество $X$ можно есть «двузначны» чисел 00, 01, …, 98, 99 таково, что в любой бесконечной последовательности цифр найдется две цифры, стоящие рядом и образующие числа из $X$. Какое наименьшее количество чисел может содержаться в $X$?