Теорема о трёх синусах

71

Teorema
о трех синуах

И. Г. ГАБОВИЧ

Во многих стереометрических задачах часто приходится определять угол между прямой и плоскостью. Это удобно делать с помощью теоремы о трех синуах, которое вы узнаете, если решите следующее задачу.

1. В одной из граней двугранного угла величины α проведена прямая, составляющая с ребром этого угла угол β. Определите угол, который эта прямая образует с другой граью.

Решение. Пусть ∠ABC — линейный угол данного двугранного угла, равный α (рис. 1) и пусть ∠ADB=β. Опустим перепendlukляр AC на другую грань угла; тогда ∠ADC — искочный. Обозначим ∠ADC через γ и положим AD=x. Треугольник ABD — прямогольный, поэтому AB=x sin β. Треугольник ABC тоже прямогольный, поэтому AC=AB sin α = x sin α sin β. Наконец, из треугольника ADC находится, что AC=x sin γ. Итак,

sin γ = sin α sin β.

Это и есть теорема о трех синуах, который посвязывается в решении задач.

Рис. 1.

72

2. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ основание равно высоте. Найдите угол между диагональю $AB_1$ и плоскостью $AA_1C_1C$.

Решение. Двугранный угол при ребре $AA_1$ равен $\frac{\pi}{3}$ (рис. 2). Диагональ $AB_1$ составляет с ребром $AA_1$ угол, равный $\frac{\pi}{4}$. Пусть $\gamma$ — величины искомого угла. Тогда по теореме о трех синусах

$$\sin \gamma = \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}.$$

Итак, $\gamma = \arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Вот задача последнее.

3. Угол между плоскостью квадрата $ABCD$ и некоторой плоскостью т равен $\alpha$, а угол между сторонам $AB$ и той же плоскостью равен $\beta$. Найдите угол между сторонам $AD$ и плоскостью $\tau$.

Решение. Будем считать, что вершина $A$ квадрата лежит на ребре расматриваемого двугранного угла — см. рисунок 3. Углы $BFB_1$ и $DED_1$ — линейные углы этого двугранного угла: $\angle BFB_1 = \angle DED_1 = \alpha$. Отрезки $AB_1$ и $AD_1$ — проекции сторона $AB$ и $AD$ на плоскость $\tau$. Согласно условия, $\angle BAB_1 = \beta$.

Пусть $\angle BAF = \varphi$ и $\angle DAD_1 = \gamma$. По теореме о трех синусах $\sin \beta = \sin \alpha \sin \varphi$, открываем $\sin \varphi = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$. Следовательно,

$$\cos \varphi = \sqrt{1 - \frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{\sin \alpha} \sqrt{\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta} =$$

Очевидно, что $\angle DAE = 90^\circ - \varphi$. Поэтому из теоремы о трех синусах следует

$$\sin \gamma = \sin \alpha \sin (90^\circ - \varphi) = \sin \alpha \cos \varphi = \sqrt{\sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta)}.$$

Итак,

$$\gamma = \arcsin \sqrt{\sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta)}.$$

Следующая задача предлагалась на вступительном экзамен в МФТИ.

5. Стороны $AB$ и $AC$ равностороннего треугольника расположены соответственно в гранах $P$ и $Q$ острою двугранного угла $\varphi$. Сторона $AB$ образует с ребром двугранного угла острый угол $\alpha$. Найдите величины угла между плоскостью $ABC$ и граны $Q$.

Решение. Сделаем чертеж — рисунок 4. Вершина $A$ равностороннего треугольника приладжит ребру $MN$, стороны $AB$ и $AC$ лежат в гранах $P$ и $Q$; согласно условия, $\angle BAM = \alpha$. Проведем $BO \perp Q$ и соединим точки $O$ и $A$. Обозначим $\angle BAO$ через $\varphi$, а через $\omega$ — обозначим искомый угол, который плоскость $ABC$ образует с $Q$.

Приименив дважды теорему о трех синусах, получаем

$$\sin \gamma = \sin \varphi \sin \alpha$$

и

$$\sin \gamma = \sin \omega \sin \frac{\pi}{3}.$$

Итак,

$$\sin \omega = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \varphi \sin \alpha$$