Задачи

42

Задания

1. Может ли выражение $a^2 - b^2 + c^2$ делиться на 5, если ни одно из целых чисел $a, b$ и $c$ не делится на 5?

2. Собираясь в путешествие на автомобилье, я обнаружил неисправность спидометра и заменил его спидометром от другой машины. Когда я отъезжал от дома, на счетчик спидометра было 131313 км. На шоссе у столба с отметкой 100 км он показывал 131460, еще через 70 км — 132558 км. Когда я добавляю места назначения, счетчик показывал 132713 км. Сколько километров я проехал?

3. Расставьте в кругжах фигуры, изображенной на рисунке числа 1, 2,…,11 так, чтобы сумма чисел в вершинах каждой квадрата была одна и та же.

4. Милицонер Степан Степанов обернулся на звук бышшего стекла и увидел четырех подростков, убегаюших от разбитой витрины. Через 5 минут они были в отдельении миллиции.

Андрей заявил, что стекло разбил Виктор, Виктор же утверждал, что вноват Серрей. Серрей заверил, что Виктор лжет, а Юрий твердил, что это сделал не он. Из дальнейшего разговора выяснили, что лишь один из ребят говорил правду. Кто разбил стекло?

5. Покажите, что длина окружности равна длине границ розочки, полученной из нескольких окружностей вдвое меньшего радиуса, проходящих через ее центр (см. рисунок).

Эти задания нам предложили С. М. Усов, А. П. Савин, А. М. Домашенко, С. А. Ляшенко и В. В. Произвольов.