什么是函数图

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什么是功能安排

柯尔莫哥洛夫

这里介绍一下新品
更普遍的观点
从学校理念中众所周知——
函数及其图形。
本次演讲的开头是文章
《什么是函数》
发表于《Quaent》第一期。
为了理解这篇文章
有必要掌握第一篇文章中定义的概念

1. 提醒和小补充

在该杂志第一期的“什么是函数”一文中，您了解了对函数这个词的现代一般理解：函数是某个集合 $E$ 到另一个集合 $M$ 的完美任意映射。集合$E$称为函数的定义域，集合$M$是其值的集合。要定义具有域$E$的函数，您需要指定该集合的每个元素$x$

1* 3

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$$y = f(x).$$

无论采用哪种方式，我们都会得到一个域为 $E$ 的函数。如果集合$E$由你班上的学生组成，那么你可以，例如，对于任何学生$x$，将其名字的第二个字母作为$y = f(x)$（假设班上没有学生的名字由单个字母组成 - 尽管我认识一个女孩Olya，它只是“O”）。

当以这种方式指定一个函数时，其值的集合$M$将由其自身确定；这是所有对象 $y$ 的集合，其中至少有一个元素 $x$ 集合 $E$ 其中

$$f(x) = y.$$

波兹尼在描述术语“函数”的含义时，不必明确地谈论描述中的含义集。例如，简单地说“函数是一个法则，根据该法则，某个集合$E$的每个元素$x$都对应于对象$y = f(x)$的完整定义。”然而，我们支持最好不要认为所有这些描述都是由他们定义的。如果我们真的想通过“规律”的概念来定义函数的概念，那么我们就需要精确地定义“规律”等术语的含义。我们会认为函数的概念是数学的基本概念之一，它的含义只是解释性的，而不是通过形式定义给出的。

在学校你习惯只和数字打交道，数字的域由数字组成，其值也是数字。 “数值参数的数值函数”这一表述的含义尚未完全定义。毕竟，学校里的数字概念是被建构和概括的。我们将坚持他们和村庄的所有行动体系，这是小学生在九年级时熟悉的。实论证的实函数主要在高中学习。你可以在“数平面”上画出他们的图表。

在学校教科书中，他们写道“数字平面”是一个以新取向、确定的方式引入坐标的平面。如果你从字面上看课本，就会发现有很多数平面。黑板坐标轴上的导线，老师将黑板的平面变成“数平面”；学生在他们的地形页面上创建新的“数字平面”，有时在一页上创建多个！

在本文的第 3 段中，您了解了数学家实际处理的数字平面。但首先我想对“什么是函数”一文的介绍做一点补充说明。

在学校代数课程中，他们最常处理使用公式“分析”定义的函数。除非另有说明，这种函数的定义域被认为是参数的所有值的集合，对于这些值，所有规定的数字运算公式都是可行的。例如，按照学校的惯例，我们考虑

*）从第一篇文章中您知道函数的值不仅可以是数字，还可以是动力，男孩或女孩，一般来说任何对象，或者正如他们所说的“对象”。

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表中符号$V$是“算术”平方根的符号。显然，公式

$$y = f(x) = (\sqrt{x})^2$$

(1)

仅当 $x$ 为非负数时，您才可以根据给定的 $x$ 计算相应的值 $y$（否则“不提取”平方根）。

对于非负 $x$

$$y = f(x) = x.$$

(2)

公式（2）比公式（1）更简单，我们希望将其视为定义我们的函数的公式。但式（2）给出的函数的定义域不仅仅由非负数$x$组成，而是由所有数$x$组成。如果我们想给公式（1）定义的函数一个新的定义，我们需要写

$$y = f(x) = \begin{cases} x \text{ при } x \geq 0, \\ \text{ не определена при } x < 0. \end{cases}$$

(3)

类似地，函数$g(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1}$可以写成如下：

$$g(x) = \begin{cases} x^2 + x + 1 \text{ при } x \neq 1, \\ \text{ не определена при } x = 1. \end{cases}$$

(4)

在学校和大学考试中，此类问题需要完全准确。

2. 活动日程

考虑以下值班表（参见第 1 «Kvant»，第 29 页）：

| | 周一 | 瓦 | 周三 | 星期四 | 周五 | 星期六 | 太阳 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 彼佳 | | | | | | | |
| 科利亚 | | | | | | | |
| 萨莎 | | | | | | | |
| 沃洛达 | | | | | | | |

我们已经知道这是一个函数图：服务员的名字可以被认为是星期几的函数。由于网络中有一周中的几天，并且有四个男孩，所以我们画了

$$7 \times 4 = 28$$

细胞，但其中只有七个细胞被漆成红色。如果男孩们决定按字母顺序排列他们的名字，那么表格就会是第 6 页上显示的表格。它看起来不同，但显示了相同的职责分配 - 相同的功能。

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在这两个表中，28 个单元格对应 28 个可能的对（星期几，男孩）。

这 28 对中，有 7 对已被识别
（周一，Petya），（周二，Kolya），（cp，Sasha），（周四，沃洛达），
（周五，Petya），（周六，Kolya），（周日，Sasha），

即星期几与这一天的星期几相连的所有对：
（星期几，这一天），

或抽象地：形式对
$(x, f(x))$.

只有这些对的选择对于指定函数来说是必要的。
看了这个例子，你可能认为这个定义没有必要：
函数 $f$ 的图是所有此类对 $*$ 的集合
$(x, y)$,

1. $x$对的第一个元素属于函数的定义域，
2. 该对的第二个元素
   $$y = f(x).$$

| | 周一 | 瓦 | 周三 | 星期四 | 周五 | 星期六 | 太阳 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 沃洛达 | | | | | | | |
| 科利亚 | | | | | | | |
| 彼佳 | | | | | | | |
| 萨莎 | | | | | | | |

在我们的示例中，函数 $f$ 的图形：
$$\Gamma_f = \{(пн, Петя), (вт, Коля), (cp, Саша), (чт, Волода), (пт, Петя), (сб, Коля), (вс, Саша)\}.$$
对于表中指定的函数

| $x$ | $f_1$ | $f_2$ | $f_3$ | $f_4$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $A$ | $A$ | $B$ | $A$ | $B$ |
| $B$ | $A$ | $B$ | $B$ | $A$ |

*) 在本文中，我们指的是“有序对”。 (1,2) 与 (2,1) 不同。一对中的第一和第二元素可以重合：(1,1) 或(2,2) 也是对。

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根据这些定义我们得到图表

$$\Gamma_1 = \{(A, A), (B, A)\}, \quad \Gamma_2 = \{(A, B), (B, B)\}, \quad \Gamma_3 = \{(A, A), (B, B)\}, \quad \Gamma_4 = \{(A, B), (B, A)\}.$$

显然，对于具有有限定义域的函数，图的元素数量（即图中包含的对的数量）等于函数定义域的元素数量。对于具有无限定义域的函数，所有对

$$(x, f(x))$$

无法写出。我们必须使用它们的属性来描述这些对。例如，对于函数

$$y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$$

该图由满足两个条件的所有$(x, y)$对组成

$$x^2 + y^2 = 1 \text{ и } y \geq 0.$$

函数图的定义可以写为

$$\Gamma_f = \{(x, y) | x^2 + y^2 = 1, \ y \geq 0\}.$$

函数$f$的图形的非常一般的定义可以写成以下公式的形式*)：

$$\Gamma_f = \{(x, y) | y = f(x)\}.$$

通过将函数图定义为一组对，每个对由一个参数值和与该参数值对应的函数值组成，我们将图的概念从所有随机的事物中解放出来。在这种抽象理解中，每个函数都有一个图。

3. 数值平面

让我们转向学校里最常见的实变量的实函数。在学校里，您了解到这样一个函数$f$的图形是数平面上坐标$x$和$y$满足等式的点$P(x, y)$的集合

$$y = f(x).$$

这一表述与上面第 2 段中给出的时间表的一般定义相似，但略有不同。第 2 节讨论了对集合 $(x, y)$，以及在一般学校定义中 - 关于坐标为 $x$ 和 $y$ 的点集 $P$。但这两种表述是否有可能完全一致呢？

*）我们使用集合论中采用的标准符号。

$$\{x | A(x)\}$$

表示满足条件$A(x)$的所有对象$x$的集合。例如，$\{x | x^2 = 1\}$是所有$x$的集合，其中$x^2 = 1$，即两个数字的集合：$\{1, -1\}$。

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事实证明这很简单。这个简单的解决方案已在现代科学文献中广泛传播。根据定义，数平面被认为是所有实数对的集合。数平面表示为$R^2$。它的定义可以用符号来写

$$R^2 = \{x, y \mid x \in R, y \in R\}.$$

稍加思考后，您会亲眼看到，通过数平面的定义，实变量实函数图的通常学校定义成为第 2 段中给出的一般定义的一部分。

坐标为 $x$ 和 $y$ 的点的符号 $P(x, y)$ 现在是多余的。新理解中数平面的点是简单的 сaml 数对 $(x, y)$。我们可以简单地谈论“点$(0, 0)$”（原点），点$(1, 2), (-2, -1)$等。

值得注意的是，“数轴”一词现在必须被赋予新的含义：数轴只是实数$R$本身的集合。当然，数轴上的点必须被视为简单实数。显然这在学校教科书中并没有直接说，而是在应用于数字时经常用几何语言来表示：一组数字

$$[a, b] = \{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$$

称为“段”，他们说“点”2属于“段”[1, 3]，等等。

我们将数平面上的任何点集称为位于数平面上的几何图形。例如，这是一个以 $(0, 0)$ 为圆心、半径为 1 的圆：这是一组点，即数对 $(x, y)$，其中

$$x^2 + y^2 = 1.$$

自然地，数平面上的点和几何图形可以在图中直观地描绘出来。为此，在真实平面（纸张或黑板）上选择坐标轴，并将数值平面 $(x, y)$ 的点描绘为坐标为 $x$ 和 $y$ 的真实点。当然，这样的图像只能是近似的。纸上或黑板上绘制的图形只是“真实”函数图的近似图像，在我们的理解中，函数图是数平面的简单子集。这些“真实”图表包括函数完全由其图表决定的陈述。

设有一组对

$$M = \{(x, y)\}.$$

例如，这样的集合是数平面上的任何“图形”。要使这组对成为某个函数的图形，还需要什么附加要求？

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答案并不复杂：为此，在集合$M$中不可能找到具有共同的第一个元素$x$和不同的第二个元素$y_1 \neq y_2$的两对$(x, y_1)$和$(x, y_2)$是必要且充分的。 （自己证明一下。）在图1上，红色曲线是函数的图形，但黑色曲线不是函数的图形。

$(x, y)$的集合，其中不存在$(x, y_1), (x, y_2), y_1 \neq y_2$形式的两对，可以称为函数图。请注意，我们现在定义了“函数图”，但没有使用“函数”的概念。从这个角度来看，是否有可能对我们认为是基本的、即不受形式定义约束的函数概念给出一个公式化的定义？我不想在这里回答这个问题。这并不完全简单。在我们的期刊中，我们将有机会回顾关于函数概念的现代思想及其历史。

4. 几何变换

为了摆脱对“函数”一词的广泛普遍理解，让我们考虑一些更简单的几何变换。

要围绕点 $O$ (图 2) 旋转平面 funkru，可以将函数的轮廓转移到放置在绘图平面上的描图纸上，用大头针将描图纸固定在点 $O$ 处，然后旋转描图纸，将函数副本的轮廓从描图纸转移到绘图平面上（例如，使用复写纸）。旋转时，所有funcra点沿相同方向绕$O$旋转相同角度。

让我们表示

$$Q = R_0^\alpha(P)$$ (1)

逆时针旋转$\alpha$角度后点$P$的位置。如果给定点$O$和角度$\alpha$，则根据公式（1），每个点$P$对应于点$Q$的完整定义。很明显，根据我们的定义，$R_0^\alpha$是一个函数。它的定义域是平面$P$的多线点。

旋转角度用符号表示。在图，从点$P$转向$120^\circ$可得到3个点$Q_2$，通过转向$-120^\circ$（或转向$240^\circ$）可得到点$Q_1$。如果点$P$旋转$\alpha$度得到点$Q$，则$Q$旋转$-\alpha$度可以得到点$P$：如果

$$Q = R_0^\alpha(P),$$

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$$P = R^{-\alpha} o(Q).$$

我们看到旋转$R_0^\alpha$始终是可逆函数。

当应用于旋转时，人们经常谈论“映射”。旋转$R_0^\alpha$的逆是旋转$R_0^{-\alpha}$。我们可以象征性地写：

$$R_0^{-\alpha} (R_0^\alpha(P)) = P,$$
$$(R_0^\alpha)^{-1} = R_0^{-\alpha}.$$

旋转将一组平面点映射到其自身上。如果我们假设一个平面只不过是其点的集合（这就是现代几何表示中所做的），那么我们可以说旋转是平面到其自身的可逆映射。

平面到其自身的可逆映射称为平面的几何变换。您在我们杂志的页面上多次遇到几何变换。现在，我们将再给出一个平面几何变换的例子。平行平移是将平面映射到其自身上

$$P \rightarrow Q = T(P),$$

其中所有点 $P$ 都沿相同方向移动相同的距离 (图 4)。

5. 载体

尽管事实证明您已经通过熟悉新概念和不寻常的解释而建立了您已经知道的概念，但我们将做出另一个成功的概念。让我们尝试理解什么是并行传输图$P \rightarrow Q = T(P)$。根据一般定义，这是所有此类点对的集合

$$(A, B),$$

为此

$$B = T(A).$$

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3. 公式中应添加什么附加条件？
   $$f(x) = 1,$$
   获得某些功能
   $$f_4(x) = (\sqrt{x})^2 + (\sqrt{1-x})^2?$$

注 e.在问题1-3中，符号$V$被理解为“算术”平方根，即非负数。

2. 函数图

3. 域 1、2、3 中存在多少个函数，其图形是对集合的子集
   $$\{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,3)\}$$

(cm. 图 6)?
这些函数中有多少个有反函数？

5. 证明反函数 $f^{-1}$ 的图像由下式给出
   $$\Gamma_{f^{-1}} = \{(x, y) | (y, x) \in \Gamma_f\}.$$
   （当然，函数 $f$ 被假设有一个反函数。）

6. 数平面

7. 描述狄利克雷函数图的结构：
   $$D(x) = \begin{cases} 1, если x рационально, \\ 0, если x irrationalно. \end{cases}$$

7*) 段 [0; 中的数字 $x$; 1] 分解为无限轨道分数
$$x = 0, x_1 x_2 x_3 \dots (x_n = 0, 1, 2).$$

函数$y = C(x)$的值由双分数决定
$$y = 0, y_1 y_2 y_3 \dots (y_n = 0, 1)$$
如下：
如果$x_n = 0$则$y_n = 0$，
如果$x_n = 1$或$x_n = 2$，则：
$$y_n = 1$$，前提是$x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$中没有数字，
$$y_n = 0$$ 前提是在数字$x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ 中已经遇到过一个单位。

尝试画出这个函数的图形。证明它包含无限多个水平线段。如果您熟悉可理解的函数连续性，请尝试证明我们的函数是连续的。

注 e.在这个问题中，我们并没有避免三元分数，其中从某些开始，所有符号都是二，以及双分数，其中从某些开始，所有符号都是一。比如我们在三元系中写
$$0,2222 \dots = 1; 0,1222 \dots = 0,200000 \dots$$

在双元体系中我们相信
$$0,1111111 \dots = 1; 0,01011111 \dots = 0,01100000 \dots$$

*) 这是一项艰巨的任务（参见书中第 15 节：S.V. Fomin “Number Systems”, 1968。

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4. 几何变换

5. 用几何术语描述与公式问题类似的数平面变换：

a) $(x, y) \rightarrow (-y, x)$,
b) $(x, y) \rightarrow (x, -y)$,
c) $(x, y) \rightarrow (y, -x)$,
d) $(x, y) \rightarrow (x+1, y)$,
e) $(x, y) \rightarrow (x+a, y+a)$.

9. 证明绕中心$O$旋转的公式

$$R_O^\alpha [R_O^\beta (P)] = R_O^{\alpha+\beta}(P).$$

(1)

10. 证明对于任何中心 $O_1$ 和 $O_2$ 变换

$$F(P) = R_O^\alpha [R_O^{-\alpha}(P)]$$

将是并行传输。多远以及朝什么方向？

5. 向量

6. 证明公式

$$T_a [T_b(P)] = T_{a+b}(P).$$

(2)

12. 表明变换

$$F(P) = T_a [R_O^\alpha(P)]$$

是通过角度 $\alpha$ 的旋转。围绕什么中心？

评论。公式（1）和（2）简写为

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^{\alpha+\beta},$$

$$T_a T_b = T_{a+b}.$$

从函数中获取函数在很多方面与乘法类似。但这是一个特殊的话题，在这个国家它的发展并没有减少。我们将在问题 13 和 14 中使用这个简短的符号来表示函数的函数（映射的组合）。

13. 证明你总是

$$T_a T_b = T_b T_a$$

和

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^\beta R_O^\alpha$$

绕中心转动时。举例说明，一般来说，

$$R_O^\alpha R_O^\beta \neq R_O^\beta R_O^\alpha$$

当绕中心$O_1, O_2$转动时。

14. 彻底弄清楚什么时候的问题

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^\beta R_O^\alpha.$$