龙曲线

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曲线
龙

从这篇文章
你会学到有趣的事情
个人家庭，
其中之一
画在这里
和其他几个 -
第 42 和 43 页。

N. B. 瓦西里耶夫、V. L. 古登马赫

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什么是曲线和破碎
龙

取一条长纸条，再次对折。将折叠的条带边缘朝上放在桌子上，然后展开，使每次折叠的角度为 90° (图 1)。如果从上方看，您可以看到图 2、a 或 6 中所示的虚线。

当条带对折三次时，根据条带的折叠方式，会获得显着不同的折线（图2、英寸或2）。如果将条带折叠四次或更多次，然后将其棒条展开至直角，则可以得到许多不同的折线。 图 3 显示了五次对折所产生的虚线之一。

实际上，你无法将一张纸折叠超过七次 - 毕竟，即使折叠第八次，你最终也会得到$2^8 = 256$层！然而，我们很快就会学会如何在没有条带的情况下绘制相当长的折线。第 38 页（下）已画出一条折线，将条带折叠 12 次即可获得该折线。它由 $2^{12} = 4096$ 个链接组成。

很容易看出，如果将一条条对折超过三遍，那么在其中一些展开后，它的角肯定会相互“接触”（图2，in和图3）。由于多次这样的接触，沿着断裂的长度在一些地方获得了网格。要弄清楚折线的走向，您可以将其转角（如 图 3 条彩色线所示）。如果您对 图 3 下显示的折线执行此操作，您将得到上一页上绘制的复杂线条。这个图向美国物理学家约翰·海威提出了“龙曲线”这个名字。任何见过龙的人都可能会相信它长得就是这个样子。

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这种折线（“主龙线”）是从一段线段开始，每次向同一方向转动前一条折线即可得到。 （这对应于对半折叠的方法，如图 2 a、c 所示；这里，条带每次都是“从右上到左”折叠。）在 图 3 上，显示了这条折线的起点（32 个链接），在这个 图 上，有 4096 个链接。如果折线继续以同样的方式继续下去，那么它将慢慢绕着原点转一圈，每 8 个“双打”转一整圈。红点位于对数螺线上（对于熟悉极坐标系的人来说，我们可以写出它的方程：$\varphi = \log_a r$，其中$r$、$\varphi$是极坐标；$a = a^{2:\pi}$）。

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如何画长
破碎的龙？

我们将把一张纸对折$n$次，展开$90^\circ$所得到的任何折线称为龙折线$n$。让我们看看破碎的龙是如何排列的，以及如何将它们画得足够大$n$。

第一种方式

破碎的龙伤口$n$由$2^n$个链接组成，因此有$2^n-1$个顶点（不计算末端）。因此，它在 $(n>0)$ 上也有一个中间顶点，因为顶点数量是奇数。在 图 2 和 3 上，每条虚线的中间顶点偏移一个绿色圆圈。可以注意到，每条折线都由两个相同的部分组成，通过旋转 $90^\circ$ 获得。事实证明，这是一个普遍的模式。

定理1.如果继续任何破损的龙伤 $n$ 结束于点 $O$ 也可以是通过旋转获得的折线 $90^\circ$ 围绕点 $O$，然后你会得到破碎的龙伤 $n+1$，又回来了，爱断龙伤 $n+1$ 来自一些破损的伤口 $n$ 这边走。

事实上，假设我们要折叠一条条带 $n+1$ 倍。首先，将其对折一次。然后它的两半重合，进一步折叠后，它们将完美地弯曲成一半（图 4).现在让我们扩展到 $90^\circ$ 最后的 $n$ 斯蒂布条。让我们得到两个匹配的破碎龙伤 $n$;剩下的就是将他们分开 $90^\circ$ - 我们得到了破碎的龙伤 $n+1$ (图 5）。思考如何从这些消息中导出定理 1 的两个陈述。

利用定理1，很容易画出长的多边形龙线。

由于龙的绘制遵循方格的线条，因此在方格纸上绘制龙很方便。

让我们取任何短龙线（例如，只是一段）。让我们一致认为，它的一个极值点是开始，另一个极值点是结束。让我们继续使用相同的折线，相对于其末端顺时针（或逆时针）旋转 $90^\circ$。我们以同样的方式从末端继续得到新的折线；我们会尽可能多次地这样做。如果您手头有描图纸，或者更好的是，有稍微透明的格子纸，则可以自动快速完成此操作。 （想想如何！）

显然，用同样的方法我们可以立即画出龙的两侧和脖子：每次只需要把中间的蘑菇修圆即可。

所有龙曲线的显着特性是它们不相交，或者相同的是，龙曲线永远不会沿着同一线段两次。因此，虽然龙的破坏者可以通过同一点（网格的顶点）两次，但它击中同一点的次数不会超过两次。

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从定理1来看，如何证明龙线不会沿着同一条线段经过两次并不是显而易见的——相反，你画的折线或曲线越长、越复杂，它们的“突起”和“山谷”的配合程度就越令人惊讶（参见第43页的“机车”龙曲线）。

然而，证明这一点并不困难*)，使用另一个关于龙多边形“加倍”的定理，顺便说一下，它给出了一种绘制长多边形的方法。

第二种方式

在 图 6 上，黑色龙线的顶点由红色线段相互连接。我们看到红色的部分再次组成了龙的折线。事实证明，这也是一个普遍的模式。

为了精确地表达它，那么每个红色线段也是一个等腰直角三角形的斜边，其腿是原始折线的链接（在图处，三角形有轻微的阴影），并且每两个相邻的这样的三角形是通过围绕它们的公共顶点旋转90°而获得的；换句话说，如果你沿着龙的红色折线走，那么这些

*) 请参阅文章末尾的问题 9。

三角形将交替出现在右侧，然后出现在左侧。

定理2.如果在龙的折线n的每个环节上，作为zinotenuse，构造一个直角等腰三角形，并且对于两个相邻的环节，这些三角形相对于公共顶点旋转90°而成为两个三角形之一，那么所构造的三角形的石子就构成了龙的折线n+1。反之亦然，每条折线n+1都可以通过这种方式从一些折线n获得。

事实上，让我们按照最后一个步骤，将条带对折。为了方便起见，我们将参考条件图7。我们要将条带对折n+1次。我们先将它折叠n次并画出它的轮廓（图7处的红线）。然后再次将其对折，并将最后的折叠旋转 90°（同一图* 上的黑线）。纸张从蘑菇 A 到蘑菇 B，然后再返回，不是沿着斜边，而是沿着等腰直角三角形 ABC 的边。让我们展开所有其他折叠

图 6

线段为等边直角三角形的斜边，直角边为原折线的连线（图处三角形有轻微阴影），每两个相邻的直角三角形绕顶点旋转90°得到；换句话说，如果你沿着龙的红色折线走，那么这些

最大 90°（在 图 8 处，显示了如何展开单独的折叠）。那么长方形的石子就形成了龙折线n+1，斜边就形成了n。

使用这些消息，很容易证明定理 2 的两个陈述。您可以尝试给出另一个证明：从定理 1 导出定理 2。

*）在我们的图上，黑线比红线长$\sqrt{2}$倍，但这并不重要，因为我们感兴趣的是折线的形状，而不是它的大小。

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利用定理2，从每条龙的等级$n$的折线可以得到两条不同的等级$n+1$的折线：这完全取决于第一个连杆的哪一侧来完成三角形。

请注意，当我们根据定理1从$n$等级的折线移动到$n+1$等级的折线时，折线的长度变为原来的两倍，而每个链接的长度不变；如果我们用定理 2 来“加倍”，那么折线的长度就会增加$\sqrt{2}$倍，而连线的长度就会减少$\sqrt{2}$倍。

现在练习使用定理 2 绘制多边形龙线。

字

如果我们从稍微偏蓝的角度来观察龙线（或者，如果你愿意的话，折叠一张纸的方式），定理 2 中讨论的性质可以得到非常简单的解释。

让乌龟沿着龙的折线（图9）爬行。每次她到达山顶时，她都必须向左或向右转$90^\circ$。从海龟的角度来看，它的路径将由一系列转弯决定。例如，对于 图 2、$a$（从红点开始）处的折线，此序列将如下所示：左、左、右。

我们将用字母$R$表示向右转弯，用字母$L^*$表示向左转弯）。那么整条断线就会被写成下面的“字”：

LLR

（数学和逻辑的许多分支中的“单词”仅指任何字母序列）。以同样的方式，您可以将字母$L$和$R$写成一个单词。

要从折线$\delta$（图2）得到折线$a$，您需要将纸片“向左”再折叠一次（参见图2、$\delta$和10）。在这种情况下，在虚线$a$的每两个顶点之间都会多一个转弯，并且在图10处可以清楚地看到这些新的转弯将通过

*）我们选择了英语单词right（右）和left（左）的第一个字母，因为俄语字母P和L彼此太相似（顺便说一下，德语Rechts和链接以相同的字母开头）。

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从该段开始，将“加倍”过程重复12次，并顺时针和逆时针旋转，就得到了这条曲线。为了更好地展示这条曲线的走向，我们每次旋转的不是90°，而是95°（黑线）；如果将角度减小到 90°，就会得到龙曲线，它描绘在同一条 图 彩色线上；它用均匀的图案填充一个等边直角三角形。

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这条十二级龙曲线有一个特殊的名字“父、母、子”。找到它的中间。您能想象曲线从这一点开始发展成两个完全相同的部分，通过旋转 90° 形成彼此吗？为了相信这一点，我们必须用彩色铅笔从头到尾忠实地描绘曲线。

在这里，两半之一，即曲线（“它被称为“机车”），被绘制在彩色背景上，以显示这两条曲线如何相互“舞台”。其中一半绕中点旋转 90° 后，将与另一半重合

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屈服；因此我们得到
$$L L R \rightarrow L L R L R R,$$

即，记录断线 6 的单词。再向左弯曲一次，我们将得到一条以单词为特征的断线

$$L L R L L R R \rightarrow L L R L R L R R,$$

画出这条虚线。这是四阶龙的主断线。如果你愿意，可以按照黑伟的建议，扭转它的角。

如果再次对收到的最后一个单词继续进行相同的操作（再次以$L$开始交错字母序列），您将得到31个字母的单词 - 5级主龙线的记录，如图3所示。

当然，相交的字母序列可以不以 $L$ 开头，而是以 $R$ 开头 - 这将导致其他断线。

很容易看出，我们从等级$n$的折线单词构造等级$n+1$的折线单词的方法完全对应于定理2中讨论的几何加倍方法（新字母对应足够的动词）。一般来说，断龙线的整个“理论”不能以几何方式构建——使用旋转、获得三角形等，而是“代数”——使用两个单词的运算

图 10

字母$L$和$R$，破碎龙的“记录”*)。

读者将能够部分地遵循这条路径，并熟悉单词所具有的许多有趣的模式——龙曲线的记录，并解决以下问题。

任务

1. 您需要取一条长条多长时间，才能将其对折 30 次后，相邻折叠之间的距离为 1 厘米？地球到月球的距离是大还是小？

2. 如果把纸条的另一边放在桌子上，龙的线条会发生什么变化？写断线的字会发生怎样的变化？

3. a) 有多少条不同的（彼此不相似的）4 级破龙？把它们都画出来。写出字母$L$和$R$对应的单词。

6. 等级$n$的不同折线有多少条？

4. 假设乌龟沿着龙的断线爬行，并从字母$L$和$R$中找到了单词。如果她沿着这条断线向相反的方向爬行，她会读到什么词？

5. 令 $s$ 为字母 $L$ 和 $R$ 中的某个单词。让我们用$s$表示从$s$获得的单词，如果我们以相反的顺序重新排列其中的字母，然后将$L$放在$R$上，将$R$放在$L$上。 （例如，如果 $s=LLR$，则$s=LRR$）。

令$s$和$t$是字母$L$和$R$的一些单词。如果单词 $s$ 和 $t$ 并排书写，我们将用 $st$ 表示获得的单词。 （例如，如果 $s=LLR$、$t=RL$，则$st=LLRRL$）。

证明：

a) 对于任何单词$s$和$t$

$$\overline{st} = \overline{t} \overline{s}.$$

6. 如果$s_{n+1}$是对应等级$n+1$的龙系的单词，则

$$s_{n+1} = s_n x \overline{s}_n,$$

其中$s_n$是对应于等级$n$的龙折线的一些单词，$x$是对应于一个字母的单词。

*) 加拿大数学家高德纳 (Knuth) 和戴维斯 (Davis) 正是从他们的手稿《数字表示和龙曲线》(Ch. Davis, D. E. Knuth) 中选择了这种表示方法，文章的作者首先认识了弯曲的龙。该手稿还研究了一系列图长度的龙曲线。

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c) 如果$s_n$是对应龙纹的单词，则$s_n$与$s_n$仅相差一个中间字母。

d) 写出等级$n$的龙折线的单词，可以通过任意指定该单词中应该出现在数字$2^k$的位置的$n$字母，其中$k=0,1,2,...,n-1$（即在第一，第二，第四，第八，…，$2n^{-1}-m$位置）以独特的方式构造；之后，要查找第$m$位是哪个字母，需要将$m$表示为$m=2^k(2l+1)$，其中$k$和$l$是整数；如果$l$是偶数，则第$m$位与第$2^k$位具有相同的字母，如果$l$是奇数，则相反的字母。

e) 两个单词 $s_n'$ 和 $s_n''$ 定义相同形状（相似）的断龙，当且仅当在划掉中间字母后，这两个单词重合，或者通过用 $R$ 替换 $L$ 和用 $L$ 替换 $R$ 来获得一个。 （例如，单词 LLRLLRR、LLRRLRR、RRRLRRLL 定义相同的虚线。）

6. 让我们得到一条等级为$n$的龙的折线。使用定理1（将折线的一端或另一端作为点$O$）或定理2（沿一个方向或另一个方向延伸三角形），您可以从中获得两条等级为$n+1$的折龙线。这两种情况都会产生相同的两条$n+1$级破龙，还是一般来说会产生不同的破龙？如何从给定的$n$断线的单词中获取他们的单词？

7. 给定平面上的两点 $A$ 和 $B$。画一个正方形，中心位于线段的中间 $AB$，其中一侧相等 $2AB$ 并平行于线段 $AB$。证明任何端点为点的龙折线 $A$ 和 $B$ 位于这个广场之内。证明对于任意点 $M$ 在这个正方形内和任何正数 $e$ 你可以找到这样一条有末端的断龙线 $A$ 和 $B$，从点经过 $M$ 在更远的距离 $e$ （用数学语言来说，“一条龙的所有断线的并集，其端点为点 $A$ 和 $B$”).她的第一个 $2^n$ 链接形成损坏的排名 $n$.

证明：

a) 这样一条等级$n$的折线的末端将在点处

$$\left( \frac{n}{2} \cos \frac{\pi n}{4}, \frac{n}{2} \sin \frac{\pi n}{4} \right)$$

（第 38 页图 上的红点）。

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6. 记录下这条断线的单词可以这样快速写下来。首先，我们通过数字写出字母$L$和$R$，并在它们之间为缺失的字母留出空格：

L_R_L_R_L_R_L_R_L_R...

然后我们进行如下操作。我们用左手的手指指向第一个字母，用右手将其写在第一个间隙中，然后用左手指向第二个字母，用右手将其插入第二个间隙，用左手插入第三个……依此类推，依次遍历所有字母（不遗漏新的字母），然后用右手将每个指示的字母插入第一个空闲间隙。

$$LLRLLRLLLRRLRLLLRL$$

c) 如果像问题 10 一样，我们从一个点释放 4 条等级为 ∞ 的主折线，那么沿着网格的每一段，这些折线之一的一个链接将会通过 (图 11)。

（这是一个困难的定理；它首先由 D. E. Knuth 证明。）

图 11.

文学

M. Gardner，数学游戏，《科学美国人》216，1967 年，3 月 (124-125)，Appel (118-120)，7 月 (115)。