[习题 M11—M15; F12—F17]

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M11。围成一圈的 44 棵树上，栖息着 44 只欢快的黄雀（每棵树上有一只黄雀）。 From time to time, two siskins simultaneously fly to neighboring trees in opposite directions (one clockwise, the other counterclockwise, see 图1).证明黄雀永远不会聚集在一棵树上。

如果有黄雀和树木$n$怎么办？
莫斯科国立大学高等医学院*)

M12。哪些四边形可以用直线截成两个相似的四边形？

*) 请参阅本期杂志第 61 页。

读者提交的问题的最佳解决方案将在期刊上发表。 We will be able to consider decisions that will be received by the editors no later than a month and a half after the publication of the corresponding issue of the journal.

M13。 Prove that if the difference between the largest and smallest $n$ real numbers $a_1, a_2, \dots, a_n$ is $d$, and the sum of the models of all $\frac{n(n-1)}{2}$ pairwise differences of these numbers

$$\sum_{i<j} |a_i - a_j|$$

等于$s$，则

$$(n-1)d \leqslant s \leqslant \frac{n^2}{4}d.$$

M14。凸白色多边形的一些面显示为黑红色，因此没有两个黑色面具有公共边 ​​(图2)。证明如果至少满足下列条件之一：
a) 一半以上的黑人面孔；
b) 黑边的面积大于多边形半表面面积的一半，

那么球不能内接于这个多边形。

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M15。 A square table is filled with $n \times n$ non-negative numbers so that the sum of the numbers in each row and the sum of the numbers in each column is 1. Prove that from the table you can select $n$ positive numbers, no two of which appear in any column or row.

F12。 Two identical heavy steel balls rotate on light rods of length $l$ and $2l$ around a point $O_1$, and $O$ the distance between which is $3l$ (图 3).初始时刻，球位于$A$和$B$，速度分别为$v$和$2v$。在时间$t$中，球会碰撞多少次？球碰撞 $k$ 次需要多长时间？球的冲击被认为是绝对弹性的。

G·L·科特金

F13。两个相同的带活塞的气缸通过管子 (图 4) 连接。气缸内有水。装有等量水的相同圆柱形玻璃被放置在活塞顶部。然后，将质量体$m$放入其中一个玻璃杯中，将不下沉的质量体$M$放入另一个玻璃杯中。

当系统达到平衡时，活塞末端和玻璃杯中的水位彼此之间的距离是多少？太阳眼镜的面积为$S_1$，活塞的面积为$S_2$。

F14。将截面为$S_1$和$S_2$的两根管道相互连接，并用质量为$m_1$和$m_2$（图5）的活塞塞住。活塞之间的空间发生爆炸后，活塞飞出管道。其中一架以$v$的速度飞了出去。如果：a）管道是固定的并且不能混合，b）管道不是固定的并且它们的总质量为$M$，那么第二个以什么速度飞出？忽略活塞与管壁的摩擦力。

F15。一小时内透过冰箱壁的热量为$Q = 190$千卡。冰箱内温度$T_1 = +5^\circ\text{C}$，房间内$T_2 = +20^\circ\text{C}$。从网络上看这款冰箱最低功耗是多少？

V·N·科皮洛夫

图 3

图 5.

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F16。一辆重量为 $P$ 的汽车，其两个车轴都被驱动，开始移动。自动发动机以$W$恒定功率运行，车轮与路面的摩擦系数为$k$。找出自动速度对时间的依赖性并绘制该依赖性的图表。忽略机构中的空气阻力和摩擦。

A·T·德罗兹多夫

F17。将具有电荷$q$的极板放置在短路扁平电容器的极板之间。板以 $x$ (图 6) 的距离平行于自身移动。如果电容器极板之间的距离为 $d$，则电容器的外部电路会流过多少电荷？