关于温度的对话

12

身体由热转寒。在所有没有发生这种情况的情况下，您都可以找到系统“开放”的位置。因此，就冰箱而言，其冷却是由于从发电厂或最终从冷却的太阳接收到的能量而发生的。

读者
在我看来，你所说的一切都是绝对清楚的。

作者
我已经警告过：最深的源头——每一个都很大程度上是由从发电厂接收的能量驱动的，或者最终是从冷却的太阳接收的能量。

读者
在我看来，你所说的一切绝对非常重要 - 每个人都受到从发电厂或最终从冷却的太阳获得的能量的驱动。

通常，当实验结果与理论相矛盾时，必须纠正该理论。如果实验与热力学第二定律相矛盾，或者实验有错误。并且始终遵循所谓的“热力学第二定律”（“第一定律”是能量守恒定律），或者说“能量递增定律”。

通常，当实验结果与理论相矛盾时，必须纠正该理论。并且始终遵循所谓的“热力学第二定律”（“第一定律”是能量守恒定律），或者说“能量递增定律”。

热力学第二定律指出：“在封闭的过程系统中，温度是均衡的。”换句话说，热量从热体传递到冷体。第一个是制冷，第二个是制热。

为了以更热的身体来响应能量，必须付出努力。这不仅意味着从“无”开始运转的“第一城永动机”是不可能的，而且也意味着热力学第一定律——能量守恒定律的问题。这也是不可能的，也不矛盾这个“第二城市永动机”的定律，我们通过热力学第二定律很快形成了它，做功，冷却工作，冷却海洋、海洋、材料。它们的热能储备实际上取之不尽、用之不竭，但遗憾的是却难以获取。自己的进程有什么可以二次开始的！

因此，在封闭的过程系统中，温度是均衡的。

当温暖的东部气温相同时，这个过程结束。然后就会出现平衡状态，但不是机械平衡，而是热力学平衡。

但这立即引出了关于“宇宙的泰利安死亡”的结论，这个结论属于德国科学家克劳西斯。迟早，所有的恒星都会冷却下来，世界各地都会建立相同的温度，任何过程都将变得不可能——世界将变成一个没有生命、空虚的地方。在广义相对论出现之前，所有试图理解为什么在宇宙存在期间这种情况不会发生的尝试都是免费的！

读者
但根据相对温度理论，难道不是均衡的吗？

作者
不，答案并不那么简单。但为了理解广义相对论如何处理热寂，我们需要谈谈该理论的基本概念。

读者
而你现在说，这是一个小学生无法接触到的……

作者
相反，我确信它是可以访问的。我相信，物理或数学思想越深入，就越容易在不使用任何特殊知识的情况下表达它。

读者
那么请告诉我们广义相对论。

作者
这应该是一个单独对话的主题。今天我们谈论温度，对我来说重要的是要表明，通过思考温度计如何改变温度，您可以

13

但回到爱因斯坦的理论；让我看看通过阅读学校物理可以看到多少问题和观点。正如您所看到的，考虑温度是非常有成效的。什么是温度？

读者
根据你的说法，我了解到温度是两个物体接触时达到平衡的原因。在学校里我们被告知温度是一个与分子平均动能成正比的量：

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2} kT,$$

其中 $k \approx 10^{-21} \text{ } \partial x/\partial p \text{ — постоянная Больцмана.}$

发生温度均衡是因为在碰撞过程中，能量从具有较高能量的粒子转移到具有较低能量的粒子。

作者
您认为绝对零温度下晶体中粒子之间相互作用的势能是多少？

读者
我们通过将晶体转化为气体来提供这种能量。这意味着每个原子的能量大约等于 $kT_k$，其中 $T_k$ 是沸点。

作者
绝对正确的评价。那么，在您看来，处于绝对零温度的晶体可以加热温度低于晶体沸点的气体？

读者
当然不是。我指的不是总能，而是动能，温度越高动能就越高。

作者
美好的。例如，考虑一块冰。当然，在它上面有水蒸气。由于温度均衡，冰和蒸汽在平衡时具有相同的温度。这意味着蒸气和冰晶中分子的平均速度是相同的。

读者（困惑）。

不，这很奇怪。毕竟，在融化的冰中，分子几乎是不动的，但它们以极快的速度移动。我记得很清楚，当液体蒸发时，它就会冷却。甚至还有一种获得极低温度的方法——液体凝胶的蒸发。这是可以理解的。只有最快的分子才能飞出液体中分子接受的界限。其余的慢速对应于较低的温度。

作者
但部分能量不会被消耗在液体中的前分子吸收上吗？分子会以与开始旅程相同的速度从液体飞入蒸气吗？

读者
老实说，争论是件好事。没想到，争执中竟然诞生了真理！我想我完全明白了一切！事实上，那些很快被冲走的分子会蒸发，所以液体首先冷却。在接受之前，分子会失去速度，就像一个飞向月球的包裹一样。因此，气体也不由破纪录的快速分子组成，并且气体和液体中分子的平均速度是一致的。由于蒸发，总温度得以确定。如果逃逸的、以前快速的分子被带走，如在泵送蒸发过程中，可以实现液体温度的显着降低。

作者
晶体中分子的速度怎么样？

读者
在晶体中，分子以与其上方的一对分子相同的平均速度移动，但它们不像气体那样进行自由平移运动，被稀有分子稍微扭曲，而是在晶格中的标准位置周围振荡……

14

作者
…这称为网格节点。完全正确。
但我还是会继续纠缠你。随着时间的推移，你将学会自己做这件事。一种对他的任何想法都敏感的写字狂色彩——这位科学家首先用日语开始，并可能提出反驳。
所以，他们说温度决定了分子的平均速度。这意味着任何物体中分子的平均速度，无论其成分和状态（水、铁、空气）如何，在相同温度下都是相同的。在绝对零时，速度为零。但是即使在绝对零温度下仍保持液态的凝胶该怎么办呢？
读者
但我读到绝对零是无法实现的。顺便问一下，为什么？

作者
为了理解其中的原因，我们需要讨论熵。这将大大增加我们的方向。而“零”是不可能实现的事实在我们的例子中并不存在。原则上，我们可以尽可能接近它。对我们来说唯一重要的是，在几开氏度的温度下，凝胶原子的平均速度已经微弱地依赖于温度，当温度从 1 度变化到 10⁻⁶ 度时，它实际上没有变化，尽管看起来它应该减少一千倍。
读者
也许这是由于凝胶的特殊性质，即超流动性？

作者
这些现象之间存在一些社会关系。然而，保持绝对零液体不仅仅是凝胶的特性。如您所知，金属良好的电子传导性归功于自由电子。它们的平均动能实际上并不取决于金属的温度，如果我们用公式$$\frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2} kT$$在该温度下计算，我们会发现它对应的温度为10⁵—10⁶度，即恒星内部的温度！
读者
也许金属和电子的温度不匹配？
作者
不，正如我们所说，在平衡状态下，温度总是趋于平稳。这里的重点是不同的。您分享的温度定义是正确的 - 但仅限于经典力学。像温度这样一个“简单”、众所周知的基本量，严格来说，是具有量子性质的！这是由于凝胶的超流动性以及它在大气压下永远不会取代的事实——这两种特性都是纯粹的量子特性。正如您所看到的，为了寻找重要的量子效应，没有必要寻找进入微观世界的方法——这些效应就在您的眼前。
不幸的是，在量子情况下，温度的含义并不像经典情况下那样清晰。让我们从绝对零温度开始，考虑纯粹的量子效应 - 我们确定绝对零的动能，即在经典理论中完全等于零的量。这使我们能够了解是否所有物质在零温度下都保持固态，压力的增加是否总是促进凝固，以及地球内部和恒星深处的物质状态如何。
所有这些结论都可以从一个非常重要的量子定律——不确定性原理中推导出来。
读者
我知道应用于粒子坐标和动量的不确定性原理。位置和动量无法准确测量，因为它们同时不具有特定值。测量它们时

15

脉冲粒子$p$和坐标$x$我们找出这些量的值，有一些误差$\Delta p$和$\Delta x$。
这两个量的性质是不可能使这些误差（有时称为“不确定性”）的乘积小于 $\hbar$ - 普朗克常数除以 2π

$$\left( h = \frac{h}{2\pi} \approx 10^{-32} \frac{\partial \hbar}{\partial e_k} \right): \quad \Delta p \Delta x \geq \hbar.$$

作者
在由相同原子组成的物体中，所有原子也都是活跃的，因此它们的位置改变的精度不能大于它们之间的距离。如果$\Delta x \sim a$，动量的最小可能值是多少？

读者
当然是$\frac{\hbar}{a}$！例如，如果我说动量小于 0.1 $\frac{\hbar}{a}$，那么这意味着以 0.1 $\frac{\hbar}{a}$ 的精度改变它，这是不可能的！

作者
这意味着尽可能低的动能…

读者
…等于$\frac{mv^2}{2} = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2ma^2}$，即质量越小越大！我想知道这个能量在经典力学中对应的温度是多少？金属中原子和电子之间的平均距离为$a \approx 10^{-10}$m，电子的质量为$10^{-27}$e，氦原子的质量为$10^{-23}$e。由公式可知

$$\frac{3}{2} kT = \frac{mv^2}{2} = \frac{\hbar^2}{2ma^2}$$

我们发现对于电子来说温度是

$$T = \frac{\hbar^2}{3kma^2} = \frac{10^{-64}}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-21} \cdot 10^{-30} \cdot 10^{-20}} \approx 2,5 \cdot 10^6 \text{°K}.$$

大万度！对于氦气，我们可以用同样的方式得到温度 $1^\circ \text{K}$。

作者
正是之前讨论过的数字。现在，您不再难了解一种物质在零温度下会是什么样子——固体与否。但首先，想一想为什么在低温下顶骨一般很难硬化。

读者
显然，因为在低温下粒子的动能变小。

作者
小是什么意思？与什么相比？

读者
显然，与粒子之间相互作用的势能相比。当势能明显大于动能时，它会迫使原子占据晶格中的某些位置。因此，为了说出物质在零温度下会是什么样子，您需要知道粒子之间相互作用的势能如何取决于它们之间的距离。

现在我清楚了，应该在具有轻原子和弱相互作用的物质中寻找一种在绝对零温度下不冻结的液体——进一步增加原子动能并放置潜在的相互作用能$U$。氦是最轻的惰性气体，其原子之间的相互作用很弱（事实上，与其他原子的相互作用 - 这就是它们的“惰性”）。显然，它满足一般条件。

在电子气的情况下，相互作用的势能符合库仑定律：$U(a) = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}$，其中$e$是电子电荷，大约等于$1,6 \cdot 10^{-18} \text{K}$和$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx$

16

$$\approx 9 \cdot 10^9 \frac{m^2}{\kappa}.$$

$a \approx 10^{-10} m$时电子的最小动能

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{\hbar^2}{2ma^2} \approx \frac{10^{-64}}{2 \cdot 9 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-20}} \approx 5 \cdot 10^{-15} \text{ дж}, a$$

$$U(a) \approx \frac{2,6 \cdot 10^{-36} \cdot 9 \cdot 10^9}{10^{-10}} \approx 2,3 \cdot 10^{-16} \text{ дж}.$$

$U(a)$ 与电子的最小动能大致相同！因此，电子气不能凝固。

作者

有趣的是，不确定性原理已经意味着原子核中不存在电子，其大小$R$的数量级为$10^{-13} \text{ cm}$。在那里它的速度必须是$v \geq \frac{\hbar}{mR} \sim 6 \times 10^{11} \frac{m}{\text{сек}}$，即光速的2000倍！

现在您可以追踪当压力增加（即机械距离减小）时，$T=0$ 处的物质会发生什么情况。

读者

嗯，是的，一切都是由势能和动能之间的对应关系决定的：$U(a)$和$\frac{\hbar^2}{2ma^2}$。如果$2ma^2U(a) \gg \hbar^2$，你会得到一个水晶；否则，您会得到液体或气体。

作者

如果某种物质被压碎到足以“压碎”并降低原子的程度，则 $U(a)$ 与 $\frac{1}{a}$ 成正比。

读者

因此，在$a \rightarrow 0$时，它会变得越来越气态！压力导致熔化——非常有趣！

作者

在非常高的压力下，当原子核分裂时，势能

$$E_2$$

$$E_1$$

$$E_0$$

图 1.

随着$a$的减小，物质能量迅速增加，物质再次凝固。然后，在与中子星直接对应的超高密度区域，引力相互作用的能量变得决定性，并且可能发生新的熔化。

有些恒星的亮度会发生变化，其大小约为 10 公里，质量与太阳质量相当。它们有一个固体树皮（其密度从$10^6$到$5 \cdot 10^{13} \text{ e/cm}^3$变化）和一个密度为$5 \cdot 10^{14} \text{ e/cm}^3$的液体核心。

读者

这一切都很有趣，但我仍然不明白从量子力学的角度来看温度是什么。

作者

到目前为止，我们仅确定了原子或分子的最小能量。然而，这还不能确定物质的动能。需要记住的事情。根据量子力学定律，粒子的能量不可能是任意的。它只能呈现完全定义的值，或者正如我们所说，粒子可以处于某些能量水平。它们通常以水平线的形式描绘，水平线位于另一条之上（图1）。能量水平系统就像一个带架子的书柜。书可以放在书架上，但不能放在书架之间。

读者

颗粒物在货架层之间的分布是否完全是随机且无序的？

18

科学，也为了技术。在著名的量子发生器——激光器和微波激射器中——它们专门创造了一个负温度，就像你所说的那样，然后快速“突出”积累的能量。

读者
温度是否仅在量子力学中通过能级决定粒子的分布？

作者
当然不是。这在经典力学中也是如此。例如，“经典”理想气体的分子能量分布如图 4所示。它由以下公式确定
$$\frac{n}{n_0} = e^{-\frac{E}{kT}}.$$
这里$n_0$是我们开始状态下的粒子数，没有粒子$E$的能量； $n$是能量为$E$的粒子数； $e = 2,718$是自然对数的底，$k$是玻尔兹曼常数，$T$是气体温度。

读者
如果我们变换这个公式，继续等式两边的押韵，那么它将采取以下形式
$$\ln \frac{n}{n_0} = -\frac{E}{kI}.$$

图 4.

图 5.

从这里
$$T = -\frac{E}{k(\ln n - \ln n_0)}.$$

如果我们向气体提供能量，我们就会提高其温度，将越来越多的能量从较低能级转移到较高能级。这样做，我们可以确保$n$变为$n_0$并且$\ln n$大于$\ln n_0$。这意味着气体温度为负！在我看来，我们已经到了荒谬的地步。因此，谈论理想气体的负温度是没有意义的。

作者
如果我们只考虑几个能级，那么我们可以使较高的能级比较低的能级具有更多的气体分子。然而，不可能确保分子的能量分布与 图 5 中所示的相同：部分的数量对能量的依赖性是指数级的，并且处于非常高水平的部分比处于较低水平的部分更多。

重点是，我们关于负温度可能性的结论不适用于任何粒子系统，而仅适用于这样的粒子系统。

19

它具有有限数量的能级。毕竟，能量通常包括临床能量作为组成部分，而且可以大得多。用量子语言来说，这意味着能级的数量无限大。但在这种情况下，甚至不可能将有限数量的粒子均匀地分布在无限多的能级上，更不用说获得负温度了。这意味着我们的计算对于能量与临床能量无关的系统是正确的。

读者
这很难理解。我从来没有听说过有人拿在手上或看到过负体温的尸体。

作者
这并不奇怪。在稳定的平衡状态下，负温度是不可能的。正如他们所说，负温度状态是亚稳态。一旦它出现，它通常不会存在太久（尽管也有非常持久的亚稳态，例如玻璃，其在平衡状态下是不透明的晶体）。例如，当激光器的工作物质中产生负温度时，它很快就会转变为正温度状态：高能级的粒子移动，仿佛“落”到较低能级，在这种情况下损失的能量以激光束的形式释放。

读者
但我想回到那个温度。如果我理解正确的话，温度是一个有很多不同侧面的概念。一方面，温度是表征身体状态、身体更换的量，因此当系统过渡到平衡时，系统的所有部分都是相同的。另一方面，温度与构成身体的粒子的平均临床能量有关。最后，在量子力学中，它充当确定粒子能量状态分布的量。很容易注意到，在这三种表现形式中，温度与另一个物理量——能量的联系最为密切。但之前你提到了另一个我完全陌生的量——熵。是不是也和温度有关系呢？

作者
最直接的事情。如果不谈论熵，关于温度的故事就不可能完整。但熵所占用的空间应该总是不小于现在要完成的空间。