Признаки делимости на 19 и 7

10

13. Каким условиям должны удовлетворять числа базисной последовательности $q_1, q_2, q_3, \dots$, чтобы в записи чисел встречались только две цифры: 0 и 1? Какое еще условия на эти числа $q_1, q_2, \dots$ нужно наложить, чтобы при этом никакие две единицы не шли подряд?

14. Последовательность чисел

$$q_0 = 1, \quad q_1 = 2, \quad q_2 = 3,$$

$$q_3 = 5, \quad q_4 = 8, \quad q_5 = 13, \dots,$$

где $q_{n+1} = q_n + q_{n-1}$, называется последовательностью Фибоначчива. Докажите, что «Фибоначчива» система чисел удовлетворяет всем условиям предыдущей задачи. Найдите в этой системе сумму чисел

a) $\underbrace{100 \dots 00}_{k} + \underbrace{100 \dots 00}_{l}$;

b) $\underbrace{10101 \dots 01}_{2m+1} + 1$;

c) $\underbrace{10101 \dots 01}_{2m+1} + \underbrace{100 \dots 00}_{2m+1}$.

15. Можно ли разить все натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … на две такие возрастящие последовательности $a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$ и $b_1, b_2, b_3, b_4, \dots$, что $b_k - a_k = k$ для любого $k = 1, 2, 3, \dots$?

После некоторых размышлений вы, кнечно, договорается, как выбрать такие последовательности (это можно сделать единственным образом)

$$\begin{array}{cccccccc} a_1 & b_1 & a_2 & a_3 & b_2 & a_4 & b_3 & a_5 & a_6 & b_4 & a_7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ a_8 & b_5 & c_9 & b_6 & \dots \\ 12 & 13 & 14 & 15 & \dots \\ \end{array}$$

Не удовлетворяют в образованни пар $(a_k, b_k)$ не так-то просто. Как узнать, например, к какой из двух последовательностей $-a_k$ или $b_k$ — относится 100, какому номеру оно соответствует, какое число будет с ним в пале (не выписьвая все предыдущие $a_k$ и $b_k$)?

Оказывается, чтобы формулировать эту закономерность, нужно записать эти последовательности не в десятичной, а в Fibonacci системе численения. Попробуйте ее обнаружить и доказать.

10