Всё, чем занимаются математики

55

В книге известного австралийского математика и популяризатора У. У. Сойера*) раскрывается существо математического мышления, показаны основные идеи и движущие силы математики. Автор островно и в заиматательной форме показывает всю видорность укоренившегося представления о математике как о скучной и формальной науке. Мы помещаем здесь сокращенный пересказ введение к этой книге.

*) У. У. Сойер, Прелюдия к математике, М., «Просвещение», 1965.

56

Почти все математические открытия имеют в основе очень простую идею. Учебники часто скрывают этот факт. Они обычно содержат громоздкие выводы и этим создают впечатление, что математики — это люди, которые все своего жизни просинвают за письменными столами и переводят тонны бумаги. Это чепуха. Многие математики очень успешно работают вванной, в кровати, ожидая поезда или кадаясь на велосипеде (предпочтительно при слабомулином движении). Математические вычисления производятся до или после открытия. Само открытие возникнет из основных идеей.

Немногие представляют себе, как огромна сфера действия современной математики. Вероятно, было бы легче овладеть всеми существующими языками, чем всеми математических знаниями, известными в настоящие время. Мне кажется, что все языки можно было бы вычитать за одну целоечесную жизнь, а всего математику, конечно, нет. К тому же объем математических знаний не остается неизменным. Ежегодно публикуются все новые открытия. Например, в 1951 г. для реферативного изложения всех математических статей, вышедших за год, потребовалось 900 печатных страниц крупного формата. Только за января упомянуто 451 названия, причем реферировались статьи и книги, расматривающие новые проблемы; лишь в немногих из них упоминались известные факты.

Человеку, желающий быть в курсе всего нового в математике, пришлось бы прочитывать ежедневно около 15 статей, весы больших по объему и содержащих сложные математические выкладки. Трудно даже мечтать о выполнения подобной задачи.

Открытия, которые делают математики, стол разнообразны по своему характерау, что однажды кто-то, видимо, в отсутствии предложить математку как «все, чем занимаются математики». Казалось, что только такое широкое определение может охватить все, что относится к математике. Математики решают проблемы, которые в прошлом не считались математически, и трудно предсказать, чем еще они будут заниматься в будущем.

Точнее было бы определение: «Matematika — это классификация всех возможных задач и методов их решения». Это определение, пожалуй, тоже расплывчато, так как оно охватывает бы даже такие рубрики, как газетные объявления «Обращайте со всемими сердечными заботами к тете Минни», что мы никак не имеем в виду.

Для нас достаточно было бы определение: «Matematika — это классификация и изучение всех возможных заходов и методов их решения». Слово «закономерность» здесь использует в таком смысле, с которым много могут не согласиться, а именно в самом широком смысле, как называние любого рода заходоверностей, которые могут быть познаны умом.

Любая математическая теория должна непреемно сочетать в себе мощь метода. Обусловливающего сочетать в себе мощь метода обусловливающего сочетать в себе мощь метода.

ность применения к естественным наукам, и красоту, строяность, стол привлекательную дляума. Нам кажется, что нашей определене математики удовлетворяет общим этим требованиям.

Интересно заметить, что «численные только чувством строности к математической форме, часто приходили к выводам, которые в дальнейшем оказались чрезвычайно важными для науки. Греки изучали свойства эллипса более чем за тысячу лет до того, как Кеплер использовал их идеи для определенения траекторий планет. Математический аппarat теории относительнойности был создан за тридцать — пятыесят лет до того, как Эйнштейн нашел для него применение в физике. Подобных примеров можно было бы привести много. С другой стороны, много стойных теорий и проблем, которые любой «численный» математик причислит к математике, возникли с физикой.

Практики, как правило, не имеют представления о математике как о способе классификации всех проблем. Общий опыт изучать только те разделы математики, которые уже оказались полезными для их специальности. Поэтому они совершенню беспомощны перед новыми задачими. Вот тогда-то они и обращаются за помощью к математике. (Это разделение труда между инженерами и математиками, вероятоно, оправданное: жизнь слищом коротка для того, чтобы одновременно изучать и абстрактную теорию и инженерное дело.) Встреча

57

математика и инженера обчено очень забавна. Инженер, ежедневно имея дело с машинами, настолько привыкает к ним, что не может понять чувство человека, видящего машину впервые. Он забрасывает своего консульта-математика огромным количеством подробностей, которые для тогоровным счетом ничего не знают. Через некоторое время инженер приходит к выводу, что математик — абсолитный неожидан и что ему нужно обязывать простейшие вещи, как ребенку или Сократу. Но, как только математик появмет, что делает машина и что от нее требуется, он переводит задачу на язык математических терминов. После этого он может заявить инженеру одно из трех:

1. что эта задача известна и уже решена;
2. что это новая задача, которую он может попытаться решить;
3. что это одна из тех задач, которые математики безусловно пытаются решить, и что еще могут пройти века, прежде чем будет сделан хотя бы шаг к ее решению, и что поэтому инженеру придется решать ее эмпирические. К сожалению, третий случай встречает удручающе часть. Но первый и второй случай также довольно части, и вот тогда-то математик, благодар его знанию закономерностей, может привести пользу в тех областях, о которых он в некотором смысл не знает.
   Какими качествами должен обладать математик?
   Для всех математков характерна дерзость ума. Математик не любит, когда ему о чем-нибудь рассказывают, он сам хочет доойти до всего. Конечно, зрелый математик, узнал о каком-нибудь великом открытином открытом и рассказывате им, чтоникто еще не смог разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля, вы непрееменно увидите, что один-дава мальчика останется после уроков и будут пытается найти решение. Το обстоятельство, что в течение двух тысяч летник не решил эту задачу, не помещает им надеться, что они смогут это сделать в течение часового перерыва на обед. Это, конечно, не очень скромно, но и не свидетельствует об их самонадеянности. Они просто не готовы принять любой закон, а ведь в действительности уже доказано, что необходимо разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля. Их попытка найти решение — это же рода, что попытка представить число 2 в виде рациональной дроби.
   Хороший ученик всегда старается забежать вперед. Если ему обязывание дополненем до полного квадрата, он непрееменно заходит узнать, можно ли решить кубическое управление дополненем до полного куба. Остальные ученики класса не задают подобных вопросов. С них хватит и квадратных уравнений, они не шут дополнительных трудностей.
   Вот это желание исследования второй отличной чертеЙ математика. Это одна из сил, содержащихших росту математика. Математик получает удовлетворение от знаний, которые ему овладел. и всегда стремится к новым знаниям.
   Эту мысль можно посянить на примере дробных показателей степени из школьного курса алгебры. Легко представить себе человека, который, поверхностно познаковшись с дробными и отрицательными показателями степени, начинает недоуметь, зачем все это нужно. Ведь приходится предложать столько логических трудностей! Мне представляется, что тот, кто открыл дробные показатели степени, сначала работ над целыми показателями и получил такое большое удовлетворение от этой работы, что ему захотелось развить этот раздел, и он готовы взять на себя логическое риск. Ведь на первых порах новое открытие почти всегда является вопросом веры, и лишь позднее, когда становится ясным, что это действительно открытие, приходится нахождение логического оправдание, которое удовлетворит самых приоритетных критков.
   Интерес к закономерности — третее необходимое качество математика. Уже в самом начале аргументы встречаются закономерности. Например, из четырех камней можно сложить квадрат, а из пятей — нельзя.

58

Математические, как и музыкальные, способности проявляются очень рано, с четырех лет, а иногда и раньше. Один мальшш однажды сказал мне: «Мне нравится слово September (сентябрь), ведь получается sEptEmbEr». Сам я никогда не замечал закономерного черезования гласных и согласных в этом слове. Оно действительное совершенное симметрично. Такому ребенку, конечно, поравится артифметика.

Способность к обобщению — один из самых важных факторов, определяющих математика. Чем шпре круг вопросов, к которым применим какой-нибудь общий принцип, тем чаще он нам помогет выпутаться из затруднений. Пуанкаре говорил: «Предположим, я заналялся сложным вычислением и с большим трудом наконеч получил результат; но все мои услуги оказутся направными, если они не помогут предвидеть результат в других аналогичных вычислениях, если они не даут возможность проводить их с увеличностью, избегая тех ошибок и заблудений, с которых я должен быть мириться в первыя раз».

После обобщения результат становится более полезным. Вас, возможно, удивит, что обобщение почти всегда также упрощает результат. Большое выбор легче воспринять, чем менее обширий. Общая теорема редко содержит что-нибудь запутанное; ее цель — обратить ваше внимание на действительное важные факты.

В элементарной математике мы встречаем смесь всяких важных и неважных

деталей. В высшей математике мы пытаемся разделить различные элементы и изучить каждый в отдельности. В этом смысле выщая математика, быть может, горячдо проще, чем элементарная.

Все, о чем мы говорили выше, имею цель расширить область вопросов, подвластных математике. Исследование, открытие закономерностей, объяснение смысла каждой закономерности, изобретение новых закономерностей по образу уже известных — все эти виды деятельности расширяют область действия математики. С практической точки зрения становится исключительно трудным следить за всеми полученными результатами, и нельзя сказать, чтобы наромождение не связаны между собой теорем представляло отладное зрелшение. Будучи и деловыми людьми и художниками одновременно, математики чувствуют потребность собрать все эти разрозненные результаты.

Не удивительно, что все истории математики состоит из чередушихся процессов «расширини» и «сокращений». Например, внишние математков привлекает какая-нибудь задача, пишутся сотни статей, каждая из которых освещает лишь одну сторону истинны. Вопрос разрастиется. Затем какой-нибудь геней, опираясь на все данные, собраны с таким трудом, заявляет: «Все, что мы знаем, становится почти очень удобным, если посмотреть на это вот с такой точки зрения». После этого никакому, кроме источников математики, нет уже необходимости изучать сотни отдельных статей. Разроззенные выводы объединяются в одну простую доктрину, важные факты отделяются от шелухи, и прямой путь к желаемому выводу открыт для всех. Объем сведений, которые нужно изучать, сокращился. Но это еще не конец. После того как новый метод стал всеобходим достоянием, возникнет новые вопросы, для решения которых он недостаочен, и снова начинаются понски ответов, снова публикуются статьи, снова начинается процесс «расширини».

Если бы можно было свести все знания к двум общим законом, математик не был бы удовлетворен. Он не успокоился бы до тех пор, пока не доказал бы, что оба эти закона основываются на одном принципе. Но и тогда он не был бы счастливым, наоборот, он стал бы нечастным, так как ему нечего было бы делать. Но перспективна такая часть законом невероятна. Жизнь такова, что решение одной проблемы всегда создает новую проблему; иначе жизнь была бы невыносима. Всегда есть и всегда будет материал для изучения и трудности, которые нужно проделать.

И так будет всегда. И если бы оказалось, что все существенные математika рассматривают только явления со свойствами A, B и C, математики немедленно просили бы: «А что случайся, если какой-нибудь предмет будет обладать только одним из этих свойств? А если ни один из них?» И они снова погрузились бы в работу.

60

Вательности $a_k$, соответствующие $b_k$ равно $10000101000=144+13+5=162$, $k=b_k-a_k=-100010100=55+5+2=62$, т. е. $100=a_{62}$.

К статье «Закон сохранения магнитного потока»

1. Ток не изменяется.
2. Скорость изменения магнитного потока через катушки пропорциональна скорости изменения тока, то есть постоянна. Это означает, что постоянна э. d. с. индукции во второй катушке. Постоянен и ток.
3. Полный поток через контур должен равен нулю. Поток через первую катушка равен по абсолотной величины $0,4\pi \frac{I_1 n_1^2}{l_1 S_1}$.
   а через вторую $0,4\pi \frac{I_2 n_2^2}{l_2 S_2}$ ($I_1$ и $I_2$ – величины токов в катушках). Приравнивая эти выражения, получим $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}$.
   Учитывая, что $I_1 + I_2 = I$, найдем

$$I_1 = I \frac{\left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}}{1 + \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}}$$

$$I_2 = I \frac{1}{1 + \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}}$$

4. Заряд, протекающий по витку, пропорционален изменению произвольного его магнитного потока:

$$I \sim \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}.$$

Изменение же магнитного потока пропорционально изменению площади контура.

Если колюцо не сложили, а скалли так, что получилась «восмерка», то новое значение магнитного потока $\Phi_1$ будет равно $\frac{S_1}{S} \Phi = \frac{5}{8} \Phi$ ($\Phi$ – начальный поток через контур), $\Phi_1$ – $\Phi = -\frac{3}{8} \Phi$, поэтому $Q_1 = -\frac{3}{8} Q$.

Если пережав виток, перевернуть еще меньшешую окружность, то

$$\Phi_1 - \Phi = -\frac{3}{8} \Phi - \frac{1}{16} \Phi +$$

$$+ \left(-\frac{1}{16} \Phi\right) = -\frac{1}{2} \Phi и Q_2 = -\frac{1}{2} Q$$

Если переворивали большешую окружность, то

$$\Phi_1 - \Phi = -\frac{3}{8} \Phi - \frac{9}{16} \Phi +$$

$$+ \left(-\frac{9}{16} \Phi\right) = -\frac{3}{2} \Phi и Q_3 = -\frac{3}{2} Q$$

3нак минус ознакомает, что направление движения заряда противоположно тому, в котором он протекал при включении поля.

5. Если колюцо сверхпроводящее, то при его движении ток в колюце будет нарастать так, чтобы общий поток магнитной индукции через колюцо не изменяется. направление тока в колюце будет таким, что колюцо начинает отталкивать от магнитна. В некоторых момент сила, действующая на колюцо со стороны магнита, уравновесит все колюца, но поскольку колюцо будет иметь в этом момент какую-то скорость, то оно просочит положение равновесия кольцо будет иметь скорость, направленную в сторону. Колюцо опять пройдет через положение равновесия и т. д. Так как при проходении тока по сверхпроводнику тепло не выделяется, то возникнет колебания относительно положений равновесия.

К статье «Вступительные эксперименты»

1. $2 \sin 3\alpha \sin 5\alpha \cos \alpha$.
2. $\lg \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$.
4. $\log_3 2 - 1 < x < 2$.
5. $x_1 = 0, x_2 = 4$.
6. $\frac{9}{8} < x < 2$.
7. $\frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}$.
8. $x_1 = 5; y_1 = 0,6; x_2 = 14; y_2 = 6$.
9. $x_1 = 8; y_1 = 1; x_2 = 1; y_2 = 8$.
10. $x = a \sqrt{3} \sqrt{b}, y = \frac{a}{\sqrt{3} \sqrt{b}}$.
11. $-1 < a < 1$.
12. $a < -3, a > 1$.
13. $2 < a < \frac{10}{3}$.
14. $-\frac{1}{12} \leq a \leq 4$.
15. $-1 < m < 3$.
16. $S_6 = \frac{1}{4} \pi b^2 \frac{\sin 2\alpha}{\cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta)}$
17. $V = -\frac{8}{3} l^3 \frac{\cos \frac{\beta}{2} \cos \beta}{\sin^3 \frac{\beta}{2}}$

61

26. $x_1 = \frac{\pi}{4} + k\pi, x_2 = 2\pi n$
    $(k, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$.

27. $-3 < x < -1; \frac{1}{2} < x < 1$

28. $x < 0, x > 1$.

29. $\frac{2}{\sqrt{5}} < x < 1, -1 < x < -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

30. $0 < x < \frac{1}{3}; \frac{1}{3} < x < 2$.

31. $\frac{1}{2^{\sqrt{2}}} < x < \frac{1}{2}; 1 < x < 2^{\sqrt{2}}$.

32. $x = \frac{2a^3}{b(a^2 + 1)}$.

33. $x = 2$.

34. $x = 4, y = 3$.

35. $0 < t \leq 1$.

К статье «Графики движения»

1. См. рисунок 1. Любая из кривых на верхнем рисунке удовлетворяет графику скорости. Если известно, что $x = 0$ при $t = 0$, то решением является линей $AB$. Отрицательное $t$ характеризует момент времени, предшествующие тому, которое считается начальным.

На нижнем рисунке показан график咏коения.

2. См. рисунок 2.

3. См. рисунок 3.

4. См. рисунок 4.

5. Из точки $t = 0$ и $t = 10$ нужно проверить одинаково наклоненные прямые, характеризующие движения первого тела на первом и третьем этапах (белые линии на рисунке 5). Прямая, соединяющая концы проведенных линей, соответствует движения на втором этапе, а скорость на этом этапе $V_2 = tg\alpha_2$ (если $t$ и $x$ откладываются в одном масштабе). Голубой линей изобразено движения второго тела, пересечение линей определяет место и время встречи. 1) $V_2 = 1$ м/сек; 2) $t_1 = 0,5$ сек, $t_2 = 7$ сек, $x_1 = 1,1$ м, $x_2 = 6$ м, 3) $S = 8 + 8 = 16$ м

Рис. 1.

62

6. 1. Желая линия на рисунке 6 — график скорости первого волосипедства, а красная — второго. $t = 18$ сек с момента выезда первого волосипедства, $S_2 = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32$ м;

2. $V = 8$ м/ сек; 3) $S_1 = \frac{5 \cdot 10}{2} + 5 \cdot 10 = 75$ м.

7. Скорости в конце движения одинаковы. Это следует из закона сохранения энергии. Время движения второго шарика меньше (он движется в среднем с большей скоростью).

63

Примерные графики скоростей движения шариков показаны на рисунке 7. Так как шарики проходят одинаковые пути, то площади фигур под графиками скоростей должны быть одинаковыми. Для этого $t_1$ должно быть больше $t_2$.

Ответы на вопросы, помещенные в разделе «Сместь»

1. Число имеет вид $30a \pm b$, где $b=1, 7, 11$ или 13. Поэтому квадрат числа имеет вид $120c+1$ или $120c+49$. Четвертая степень (в обих случаях) имеет вид $480k+1$.

Поэтому остаток от деления $N^4$ на 480 равен 1.

2. Если цена блокнота $x$ коп. (ясно, что $x < 100$), то
   $$500-5x=100a+b, 2500-31x=100b+a.$$
   Отсюда $3000-36x=101(a+b)$,
   $$12(250-3x)=101(a+b),$$
   позному $250-3x$ делится на 101. $250-3x=101k$. При $k=1$ получаем $3x=149$ — это невозможно (149 не делится на 3), при $k=2$ имеем: $250-3x=202$, $x=16$. (Система
   $$\begin{align*} 500-80=420=100a+b, 2500-496=2004=100a+b \end{align*}$$
   имеет очевидное решение $a=4$, $b=20$.

К задаче «Признак делимости на 7»
Верно. Разность между расматриваемыми числами делится на 7, т. к.
$$10^n-3^n=(10-3)\cdot(10^{n-1}+10^{n-2}\cdot3+\ldots+10\cdot3^{n-2}+3^{n-1}).$$
В каждом разряде выносится множество число 7.