Случай с Дедекиндом

25

и к тому же каждое слагаемое в скобках встречается два раза. Таким образом, $\alpha_n$ делится на $2^{2n+2}$, что и требовалось.

Итак, страный феномен делимости чисел $\alpha_n$ на высокие степени двойки в какой-то степени объясен. Но нечего подобное наблюдается и если заменить двойку тройкой, пятеркой, семеркой. Действительно,

$$C_9^3 - C_3^1 = 84 - 3 = 81 = 3^4;$$

$$C_{27}^9 - C_9^3 = 4686825 - 84 = 4686741 = 3^7 \cdot 2143;$$

$$C_{81}^{27} - C_{27}^9 = 2306279447501851002720 - 4686825 = 2306279447501846315895 = 3^{10} \cdot 39057044954221855;$$

$$C_{25}^5 - C_5^1 = 43130 - 5 = 43125 = 5^5 \cdot 69;$$

$$C_{49}^7 - C_7^1 = 85900584 - 7 = 85900577 = 7^5 \cdot 5111.$$

Короче говоря, по-видимому, верно, что при простом $p$ число

$$C_{pn+1}^{p^n} - C_{pn}^{p^n-1}$$

делится на высокую степень числа $p$. Но как это доказать, мы не знаем.

Кстати, если $p$ не простое, то ничего подобного не наблюдается. Например,

$$C_{16}^4 - C_4^1 = 1820 - 4 = 1816$$

не делится даже на $4^2$;

$$C_{36}^6 - C_6^1 = 1947792 - 6 = 1947786$$

не делится даже на $6^2$.

Мы полагаем, что кто-либо из читателей «Кванта» может разобраться в этом сложном вопросе арифметики биомиальных коэффициентов.

СЛУЧАЙ
С ДЕДЕКИНДОМ

Автор наиболее широкого распространения теории irrationalных чисел P. Дедекинд умер, как известно, 12 февраля 1916 года в возрасте 84 лет.

Однако еще в 1904 году в «Книжке памятиных.dat для математиков», опубликованной в качестве приложения к каталогу издательства Teudner и предназначенной для учатников третього международного математического конгресса, состоявшегося в Гейдельберге в том же году, был стечен под датой 4 сентября 1899 г. …день смерти P. Дедекинда.

Послений не заменил написать письмо составитель упомянутой книжки примерно следующего содержания: «Глубокоуважаемый коллега! В Вашей содержательной «Книжке памятиных.dat» Вы любезно вспомнили и обо мне. Я очень благодарен Вам за это. Разрешаю себе, однако, обратить Ваше внимание на то, что в указании даты моей смерти по крайней мере год, должно быть, указаан неверно».