Вступительные экзамены по математике в Московском институте стали и сплавов 1969 года

29

Вступительные экзамены по математике в Московском институт стали и сплавов, типичны для большинства технических узов.

На факультетах МЧМИС (металургии черных металлов и сплавов) и МЦРМИС (металургии цветных металлов и сплавов) профиляруются дисциплинами являются математика письменная, физика и химия; на факультетах ФХ (физико-химический) и ПМП (полупроводниковых материалов и приборов) — математика письменная и устная и физика. Конкурс на все факультеты проводится разделно.

Отметим, что около 19% (179 человек) нового состава студентов было набран в промышленных центрах: Бекабаде, Волгограде, Запорожье, Норильское, Орске, Череповце.

Содержание билетов для письменных и устных экзаменов строго соответствовал программатом по математике для поступающих вузы.

Разберем один из вариантов, предлагавшихся на факультетах МЧМИС и МЦРМИС.

Вариант 1.

1. Решить уравнение
   $$\sec^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 16 \text{ ctg } x.$$

2. Решить неравенство
   $$\frac{3x^2 - 2x - 1}{\lg(x - 1)} < 0.$$

3. Упростить
   $$\left[ 4(a + 1) + \left( \frac{\sqrt{ab^2} + \sqrt{a}}{\sqrt{3}a + \sqrt{3}b} + \frac{\sqrt{6}a}{3} \right)^3 \right]^{1/2}$$

4. Пусть $E$ — середина стороны $AB$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Доказать, что площадь треугольника $ECD$ равна половине трапеции $ABCD$.

5. Куб с ребром $a$ вписан в правильную четырехугольную парамиду так, что четыре его вершины находятся на боковых ребрах, а четыре другие вершины — на основании парамиды. Боковые грани парамиды наклоны к плоскости основания под углом $\alpha$. Определить объем парамиды.

Решение

1. Определем ОДЗ уравнения:
   $$x \neq \pi l \quad (l = 0, \pm 1, \dots).$$

Приступаем к решению уравнения. Имеем
$$\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{2}} = 16 \frac{\cos x}{\sin x},$$
откуда
$$\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \sin^2 \frac{x}{2} = 16 \frac{\cos x}{\sin x}$$
или
$$\frac{4}{\sin^2 x} = 16 \frac{\cos x}{\sin x}.$$

Поскольку $\sin x \neq 0$, получаем
$$4 \sin x \cos x = 1$$
или
$$\sin 2x = \frac{1}{2},$$
откуда
$$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n,$$

30

или

$$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$
$$(n = 0, \pm 1, \dots).$$

Полученные решения входят в ОДЗ уравнения.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$
$$(n = 0, \pm 1, \dots).$$

2. Для решения неравенства
   $$\frac{3x^2 - 2x - 1}{\lg(x - 1)} < 0$$

заметим, что дробь будет отрицательной, если числитель и знаменатель ее имеют разные значки. Таким образом, это неравенство равно сльно двум системам неравенств:

$$\begin{cases} 3x^2 - 2x - 1 > 0, \\ \lg(x - 1) < 0 \end{cases}$$

или
$$\begin{cases} 3x^2 - 2x - 1 < 0, \\ \lg(x - 1) > 0. \end{cases}$$

Решая эти системы, находим соответствующее

$$\begin{cases} x < -\frac{1}{3}, x > 1, \\ 0 < x - 1 < 1, \\ x - 1 > 1, \end{cases}$$

то есть
$$\begin{cases} x < -\frac{1}{3}, x > 1, \\ 1 < x < 2, \\ x > 2. \end{cases}$$

Вторая система решения не имеет, а решения первой служит инвервал $1 < x < 2$.

Ответ: $1 < x < 2$.

3. Находим прежде всего допустимые значения $a$ и $b$:
   $$a \geq 0, b \geq 0, a \neq -b.$$

Заметим, далее, что
$$\sqrt[6]{ab^2} + \sqrt{a} = \sqrt[6]{a} \left( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \right).$$

Учитывая, что $a + b \neq 0$, и, сокращая дробь на $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$, получим

$$\left[ 4(a + 1) + \left( \frac{\sqrt[6]{ab^2} + \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} + \sqrt[6]{a} \right)^3 \right]^{1/2} =$$
$$= \left[ 4(a + 1) + \left( 2\sqrt[6]{a} \right)^3 \right]^{1/2} =$$
$$= 2\left[ \left( \sqrt{a} + 1 \right)^2 \right]^{1/2} = 2\left( \sqrt{a} + 1 \right).$$

4. Дано (рис. 1): $ABCD$ — трапеця, $AE = EB$.

Доказать:
$$S_{ECD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}.$$

Доказательство. Проведем среднюю линию $EF$ трапеции.

Тогда $S_{ABCD} = EF \cdot H$, где $H$ — высота трапеции. С другой стороны,

$$S_{ECD} = S_{ECF} + S_{EFD} = \frac{1}{2} EF \cdot \frac{H}{2} +$$
$$+ \frac{1}{2} EF \cdot \frac{H}{2} = \frac{1}{2} EF \cdot H.$$

32

= 180° - 2α, по теореме синусов нахождения, что
AC = 2R sin (180° - 2α) = 2R sin 2α. Позтому
AO₁ = $\frac{1}{2}$ AC = R sin 2α.

Из △ AEO₁ определяем высоту прямоды:
EO₁ = H = AO₁ · tg α = R sin 2α · tg α.

Площадь основания прямоды равна
S_{ABCD} = 2 (S_{AO₁B} + S_{BO₁C}) =
= 2 [$\frac{1}{2}$ AO₁² sin β +

• $\frac{1}{2}$ AO₁² sin (180° - β)] =
  = 2R² sin² 2α sin β.

Обыем прямоды V будет равен
V = $\frac{1}{3}$ 2R² sin² 2α sin β · R sin 2α · tg α =
= $\frac{2}{3}$ R³ sin³ 2α tg α sin β.

Ответ:
V = $\frac{2}{3}$ R³ sin³ 2α tg α sin β.

2. Заметив, что
   cos 2x - sin 2x =
   = sin ($\frac{\pi}{2}$ - 2x) - sin 2x =
   = $\sqrt{2}$ sin ($\frac{\pi}{4}$ - 2x),

перепишем уравнение в виде
$\sqrt{2} \sin 10x = \sqrt{2} \sin (\frac{\pi}{4} - 2x)$

или
sin 10x + sin (2x - $\frac{\pi}{4}$) = 0,

откуда
sin (6x - $\frac{\pi}{8}$) cos (4x + $\frac{\pi}{8}$) = 0.

Приравнивая нулю каждой из компонентов, получим
x₁ = $\frac{\pi}{48}$ (8n + 1) (n = 0, ±1, …),
x₂ = $\frac{\pi}{32}$ (8k + 1) (k = 0, ±1, …).

3. Рассмотрим два случая: 3x + 4 > 1 и 0 < 3x + 4 < 1.

В первом случае получим
$$\begin{cases} 3x + 4 > 1, \\ x^2 < 3x + 4, \\ x^2 > 0 \end{cases}$$ или $$\begin{cases} x > -1, \\ -1 < x < 4, \\ x \neq 0, \end{cases}$$

откуда нахождение
-1 < x < 0, 0 < x < 4.

Во втором случае имеем
$$\begin{cases} 0 < 3x + 4 < 1, \\ x^2 > 3x + 4, \\ x^2 > 0 \end{cases}$$

или
$$\begin{cases} -\frac{4}{3} < x < -1, \\ x < -1, x > 4, \\ x \neq 0, \end{cases}$$

откуда получим

• $\frac{4}{3} < x < -1$.

Ответ:

• $\frac{4}{3} < x < -1$;
• -1 < x < 0; 0 < x < 4.

При решении этой задачи многое неучтывали условия x ≠ 0 и потому вместе двух последних интегровалов получали -1 < x < 4.

4. Имеем
   $$(a + x^{1/2})^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{a + \sqrt{x}}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{(a - 1) + 2\sqrt{a - 1} + 1}} =$$
   $$(a - x^{1/2})^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{a - \sqrt{x}}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{(a - 1) + 2\sqrt{a - 1} + 1}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{(a - 1) - 1} + 1} =$$

33

$$\frac{1}{\sqrt{a-1}-1} = \frac{1}{1-\sqrt{a-1}},$$

поскольку $1 < a < 2$, т. е. $\sqrt{a-1} < 1$.

Окончательно получаем

$$\left(a + x^{1/2}\right)^{-1/2} + \left(a - x^{1/2}\right)^{-1/2} = \frac{1}{1+\sqrt{a-1}} + \frac{1}{1-\sqrt{a-1}} = \frac{2}{2-a}.$$

При решении этой задачи многое забывали про условие $1 < a < 2$ и потому ошибались при извлечении корня.

Писменные экзамены показали следующие наиболее места у построаюших:

1. Все еще много ошибок допускается при упрощении алгебраических выражений: абитуренты плохо владействиями со степенями, ошибаются там, где надо пользоваться определенным аргументческою корня (см. задачу 4 из разобранного выше варианта 2).

2. У многох поступаюших нет свободного владения трионометрических формулам, в результате чего возникали ошибки при решении трионометрической задачи или же избирался далеко не самый короткий путь решения такой задачи.

3. При решении неравенств допускались ошибки, связанные с незначением как свойств неравенств, так и свойств функций. Очень часто, например, абитуренты не учитывали ОДЗ входящих в неравенство функций (см. задачу 2 из варианта 1, задачу 3 из варианта 2).

4. При решении stereometрических задачи часто камнем преткновения служило незначение основных понятий stereometрики. Например, часто поступавшие неправильно находили линейный угол дугранного угла между смежными боковыми граями параметры. Многие ошибочно считали, что линейным углом будет в этом случае угол при вершине лежшего в основании параметры многоугольника.

Попробуйте теперь сами решить некоторые задачи из других вариантов вступительных экзаменов.

Задачи, предлагавшие на факультетах МЧМИС и МЦРМИС.

1. Преобразовать в произведение

$$\sin 5\alpha \cdot \sin 4\alpha + \sin 4\alpha \cdot \sin 3\alpha - \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha.$$

2. Найти $tg \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = 1,4$; $0 < \alpha < 45^\circ$.

3. Доказать то жество

$$\frac{1}{1 + tg \alpha tg 2\alpha} = \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right).$$

4. Вычислить $18 \sin \frac{3}{2} x \sin \frac{x}{2}$, если $\cos x = \frac{2}{3}$.

5. Доказать равенство

$$\cos 10^\circ \sin 20^\circ - 2 \sin 70^\circ = 1.$$

6. Решить неравенство

$$3^{x+1} + 18 \cdot 3^{-x} < 29.$$

7. Решить уравнение

$$\log_2 \left(4^{x-2} + 1\right) - x + 4 = \log_2 17.$$

8. Решить неравенство

$$\log_3 \frac{5x-3}{2-x} > 0.$$

9. Решить неравенство

$$\log_x \frac{15}{1-2x} < -2.$$

10. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{3}{y} = 7,5, \\ \frac{7}{x} + \frac{y}{6} = 1,5. \end{cases}$$

11. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} \sqrt[3]{\frac{x}{y}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 2,5, \\ x + y = 9. \end{cases}$$

12. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} 2 \log_a x + \log_a y = 3, \\ \log_b x - \log_b y = 1. \end{cases}$$

13. Найти все действительные значения $a$, при которых система уравнения

$$\begin{cases} x^2 - y^2 = 1, \\ y = ax \end{cases}$$

имеет действительные решения.

14. Найти все значения $a$, при которых трехлен

$$(a^2 - 1)x^2 + 2(a - 1)x + 2$$

будет положитель при всех действительных значениях $x$.

34

15. Найти, при каких значениях $a$ решение системы
    $$\begin{cases} x + y = 3, \\ ax + 4y = 6 \end{cases}$$
    удовлительяет неравенствам $x > 1, y > 0$.

16. При каких значениях $a$ уравнения $3x^2 - x - a = 0$ и $4x^2 + 8x + a = 0$ оба имеют действительные корни?

17. В каком промежутке должно изменяться число $m$, чтобы она корня уравнения $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ были заключены между -2 и 4?

18. Доказать, что если медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, делят угол на три равные части, то треугольник — прямойольный.

19. Доказать, что в правильном пятиугольнике один из отрезков пересекающих диагоналей равен стороне пятиугольника.

20. Треугольник $ABC$ врашается вокруг биссектрисы $AD$. Доказать, что площади поверхностей, описанных при этом сторонами $AB$ и $AC$, относятся как объемы, полученные вращением частей $ABD$ и $ACD$.

21. Доказать, что если в усеченной конус можно вписать шар, то объем конуса равен произведению его полной поверхности на $1/6$ высоты.

22. Доказать, что объем конуса равен произведению его полной поверхности на $1/3$ радиуса вписанного шара.

Задачи, предлагавшие на факультах ФХ и ПМП.

23. В цилиндр вписан прямойольный параллелепипед, у которого одна из сторон основания равна $b$. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с боковой гранью, проходящей через данную сторону основания, угол $\beta$. Определить боковую поверхности цилиндра.

24. Определить объем правильной четырехугольной парамиды, боковое ребро которого равно $l$, а двумя уголами угол между смежными боковыми гранями равен $\beta$.

25. Вычислить без помощью таблицы
    $$\text{tg} 9^\circ - \text{tg} 27^\circ - \text{tg} 63^\circ + \text{tg} 81^\circ.$$

26. Решить уравнение
    $$\sec^2 x = \frac{2 - \cos x - \sin x}{1 - \sin x}.$$

27. Решить неравенство
    $$x^2 + \frac{5}{2} x - \frac{3}{2} < 1.$$

28. Решить неравенство
    $$\frac{|x - 2| - |x + 2|}{x - 1} < 0.$$

29. Решить неравенство
    $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_3 \log_2 \left(x^2 - \frac{4}{5}\right)} < 1.$$

30. Решить неравенство
    $$\lg \left| \frac{3x - 1}{2x + 1} \right| < 0.$$

31. Решить неравенство
    $$\log_2 x 2 \log_2 x 2 \log_2 (4x) > 1.$$

32. Доказать, что при $n^2 < a < 2n^2(n > 0)$
    $$\left(\sqrt{a + 2n \sqrt{a - n^2}} + \sqrt{a - 2n \sqrt{a - n^2}}\right):$$
    $$\left(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a + 1}} + \frac{1}{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{a + n - 1} + \sqrt{a + n}}\right) = 10^{\lg 2} + \lg \left(\sqrt{a} + \sqrt{a + n}\right).$$

33. Решить уравнение
    $$\sqrt{a^2 + bx} + \sqrt{a^2 - bx} = \sqrt{2abx}$$
    при $a > 0, b > 0$.

34. Упростив, решить уравнение
    $$\frac{\left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1} + 2\right)(2x - \sqrt{x^2 - 1})}{(x + 1)^{3/2} + (x - 1)(x - 1)^{1/2}} = \sqrt{x^2 - 1} \left(\frac{\log_a x}{\log_ab x} - \log_a b\right).$$

35. Решить систему уравнений
    $$\begin{cases} 3 |x| - 5y = 3, \\ 2x + |y| = 11. \end{cases}$$

36. Доказать, что
    $$\left[ \frac{1}{2^{1/4} + 2^{1/8} + 1} + \frac{1}{2^{1/4} - 2^{1/8} + 1} - 2 \cdot \frac{2^{1/4} - 1}{2^{1/2} + 2^{1/4} + 1} \right] \cdot \frac{2^{1/2} + 2^{1/4} + 1}{2} = 1 + \lg 4 + \sqrt{4 \lg^2 2 + \lg 5 - \lg 8}.$$

37. При каких значениях параметра $t$ уравнение
    $$1 + \sqrt{x + 2 \lg t} = \sqrt{x - 1}$$
    имет действительные решения?

В. В. Гальдбере